2026-2027学年高二数学上学期第一次月考数学试卷01

PAGE1PAGE1/2026-2027（全国通用（考试时间：120分钟，分值：150分测试范围：A版选择性必修第一册第一章~第二章第一部分（选择题共58分8540分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要y3x1，则该直线的倾斜角是（A． B．C． D．若直线x(1m)y20和直线mx2y20平行，则m的值为 关于空间向量，以下说法错误的是（

C．1或

D．→→ →→ 若ab0，则ab若对空间中任意一点O，有OP

若直线l1x2ym0(m0)与直线l2xny30之间的距离是5，则mn（ C．

PAGE2PAGE2/1yxb1

有两个不同的交点，则b的取值范围是 A．

2,

B．

2,C．1,2

D．1,2

已知AB2,3,23，AC在AB的投影向量为AB，且BC5，则cosAB,AC（

2

1P所构成的曲线为C列结论不正确的是（C的方程为x22y2在C上不存在点MMO2C上的点到直线3x4y130向同时与向量，垂直（如图1所示．在平行六面体中（如图2所示，下列结论错 B.C.D.3618分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部60分． B．OAOB若 ，且→AB，则t D．若→ 且n4,2, AB，则k已知直线lkxyk0，圆Mx2y24x2y10，则下列说法中正确的是（圆心坐标为对kR，直线l与圆M直线l被圆M截得的最短弦长为当k1时，圆M4个点到直线l空间直角坐标系O−xyz中，已知向量→abcabc0Px,yz，且法向量为u 0xx0yy0zz0，根据上面的材料，以下选项说法正确的是（ 若直线lx1y2z3H35,8在直线l 已知平面αxyz1，平面βx2yz6，则这两平面所成角的正弦值为第二部分（非选择题共92分3515 直线与直线相交于点，对任意实数直线分别恒过定点，则的最大值 577分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15（13分） ab求ab

bxbx的值1616（15PAGE5PAGE5/已知V

A40B67、C03若直线lB，且l2倍，求直线l的方程1717（15PAGE6PAGE6/ABCD−ABCDABADAA

2，AABAADBAD60.令––– →111 →→

AB用a、b、cA1CA1C1818（17PAGE7PAGE7/如图，直线PD垂直于梯形ABCD所在的平面，ADCBAD90，F为线段PA上一点，PD ABAD1CD1PDCEFPAACDEFABPCFBCP1PF1919（17PAGE8PAGE8/已知直线l4x3y+10=02的圆C与l相切，圆心Cx轴上且在直线l求圆C过点M10的直线与圆CAB两点（Ax轴上方xNx轴平分ANBN的坐标；若不存在，请说明理由．PAGE1PAGE1/2026-2027（全国通用（考试时间：120分钟，分值：150分测试范围：A版选择性必修第一册第一章~第二章第一部分（选择题共58分8540分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要y3x1，则该直线的倾斜角是（A． B．C． D．【答案】【详解】由题设知直线y3x1的斜率 ，设该直线的倾斜角为α，则 又因为0α180，故α60若直线x(1m)y20和直线mx2y20平行，则m的值为 【答案】

或

D．【分析】由两直线平行，根据平行的判定求m的值即可【详解】Qx1my20和直线mx2y20121m)m0，解得m1或2，经检验m1时两条直线重合舍去，所以m2．PAGE2PAGE2/关于空间向量，以下说法错误的是（→→ →→ 若ab0，则ab若对空间中任意一点O，有OP

【答案】【详解】A选项，设两个共线的向量为a和b，第三个向量为c因为a和b共线，所以存在实数λ→λb→λb根据向量共面定理，向量a、b、cAB选项，若2abca是共面的向量，则存在实数m，nca2manb，即c(2m1)anb，与abcB选项正确；a→a→DOPxOAyOBzOCxyz1D112

若直线l1x2ym0(m0)与直线l2xny30之间的距离是5，则mn（ C．

【答案】【详解】∵直线l1x2ym0(m0)与直线l2xny30之间的距离为5n m

yxbx

1有两个不同的交点，则b1A．

2,

B．

2,C．1,2

D．1,2【答案】11

是以00为圆心，以1当b1yx−1yxb相切时，可得00xyb0的距离为

1，因为b0，解得b ，所以b

2,1

AB2323ACAB

ABBC5，则

AB,AC（【答案】

2

AB

5ACAB的投影向量为→449

AB5ABACAB

所以

5ACAB

AB10

AC

2ACABBC5ACAB

AB25

2520AC25

AC

所以

25AC25

1P所构成的曲线为C列结论不正确的是（C的方程为x22y2C．在C上不存在点MMO2DC上的点到直线3x4y130【答案】C，设Mxyx24xy20x y2x24x50D，求出C的圆心到直线3x4y13 求出C上的点到直线的最小距离xx12x22A10B20

， x24xy20，即x22y24A2120对于B，点1,12120所以圆上的点到点1,1的距离范围为102,102，因为3102,102B x2 C，设MxyMOx2

，即3x2

3y240 x1 x1x24xy20x1y2x24x50 故不存在点MMO2MA，C3232对于D，C的圆心2,0到直线3x4y3232所以C上的点到直线的最小距离为1929D错误 向同时与向量，垂直（如图1所示．在平行六面体中（如图2所示，下列结论错 B.C.D.【答案】【分析】A.根据三角形的面积公式，结合新定义公式，即可判断；B.B.根据条件求，即可判断；D.根据新定义和数量积的几何意义，即可判断【详解】对于A，，而，故，正确；对于B，，当时，有意义，则，正确；对于C，因为，，所以，，所以，错误；对于 的模长即为平行六面体底面OACB的面积且方向垂直于底面由数量积的几何意义可知就是在垂直于底面的方向上的投影向量的模长（即为平行六面体的高）乘以3618分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部60分． B．OAOB若 ，且→AB，则t D．若→ 且n4,2, AB，则k【答案】A(121B(0,1,1，原点O(000)(1)2(1)2(1)211AABAB

6ABOAOB1021110211BC：已知n42t，且nAB，因此AB4(12(1t22t60，解得t3C选项D：已知m(1,1,k)，且 ，因此11k，解得k2≠2，因此D错误m//

已知直线lkxyk0，圆Mx2y24x2y10，则下列说法中正确的是（圆心坐标为对kR，直线l与圆M直线l被圆M截得的最短弦长为当k1时，圆M4个点到直线l【答案】C，设直线到圆心距离为d，求出d的最大值，可得弦长最小值；对于Ax2y24x2y10x22y1222，从而圆心坐标为2,1A1220Bkxyk0kx11220

2BC：设直线到圆心距离为dlr.AB分析可得r21且该点到圆心距离 d

，则直线l被圆M截得的最短弦长为l

r2r2d11D：当k1时，直线xy11

D连接MD并延长交圆于C，由垂径定理可得MCAB.易得MC2MD

2,DC2 0.591AB上存在两点到直线l1AB上也存在两点到直线l1 综上圆M4个点到直线l1D正确空间直角坐标系O−xyz中，已知向量→abcabc0Px,yz，且法向量为u 0xx0yy0zz0，根据上面的材料，以下选项说法正确的是（ 若直线lx1y2z3H35,8在直线l 已知平面αxyz1，平面βx2yz6，则这两平面所成角的正弦值为【答案】AB，根据题设定义求出两平面的法向量，再由面面角C，根据条件，求出平面的法向量及内一个点的坐标，再由点面距的向量法，D，根据条件，求出直线l的方向向量及平面γ的法向量，再由线面角的向量法，即可求解.A，因为直线lx1y2z3315283 H35,8不在直线lA

B，因为平面αxyz1，所以平面α→11,1，又平面βx2yz6，所以平面β的法向量为121，所以

→

→ m m

33

7B112 3 所以平面α的法向量→345N110在平面αNM02,1设点M1,1,1到平面α的距离为d，则d

NM

3553

C又平面β的方程为2xyz0，所以平面β的法向量b2,1,1→ 设直线l的方向向量为ex,y,z，则有→ x3y5z1，则351，又因为平面γxyz0所以平面

设直线l与平面

→e,

→→e→e

33所以

1

111052

D第二部分（非选择题共92分3515 x2y21x7y 【详解】设VOABx2y2DxEyF0（D2E24F0D82D2EF 则10D3EF0，解得E F

F所以VOABx2y21x7y0 121202BC ABBC21200(1)2

向量AB在直线BC上的投影长度为––– |AB|AB 2222202d

8直线与直线相交于点，对任意实数，直线分别恒过定点，则的最大值为 8【答案】线垂直，即，即可得，即可根据基本不等式得出答案 ， ，即直恒过点，即点直线化 ， ，即直恒过点，即点,即，,,4.577分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15（13分） ab求ab若b→xbx的值 【答案】(2)（1）由垂直关系推得数量积为零，注意两个向量均为非零向量所以ab1102,1022,1 ab

3222222aab1202113(1)202(1)202 →

aab 3 aa

a,a

→

→ 2 所以abπ 因为2ab与axb垂直，所以2abaxb0，即11x22x2133x0x1，此时，bxb x1.16（15已知V

A40B67、C03(1)AC(2)若直线lB，且l2倍，求直线l的方程【答案】(1)AC边上的中线所在直线方程为11x8y10

，中线长度为185(2)直线ly7

或2xy190 2BD

3 37(62

7 2116 （2）若直线l的斜率不存在，则直线lx6B67但直线lB处不满足l2倍,若直线l过坐标原点，则其斜率为k707，此时直线ly7x6 若直线l不过坐标原点，由题意设直线lx

由直线lB676

1，解得a19，直线l的方程为2xy−190综上所述，直线ly7x或2xy−19017（15如图在平行六面体ABCD−ABCD中，ABADAA2，AABAADBAD60.令––– →111 →→

AB用a、b、cA1CA1C【答案】(1)ACb2 (2)（1）（2）利用平面向量的数量积求两条直线夹角的余弦（1）ACACAAABADAAb → → → aA1C

c

2，abbcca2aababc2a 2a→b

2（2）由（1）A1C2BCADb

→

→

bc

2bc

2226，所以BC1

→ →

→

bcbc

1121122 所以

=

2×2×A1CBC1夹角的余弦值为618（17如图，直线PD垂直于梯形ABCD所在的平面，ADCBAD90，F为线段PA上一点，PD ABAD1CD1PDCE为矩形．FPAACDEFABPCFBCP1PF【答案】(1)证明：如图，连接CPDE于点G，连接GFPDCE为矩形，所以点G为CP中点.在VACPFPA的中点，所以GFAC.因为GFDEFACDEFACDEF(2)(3)（1）连接CPDE于点G，连接GF，可得GFAC，再利用线面平行的判定定理即可证明ABPBCPABPC的余弦值（1）PDABCDADCDDCDADPxyz轴建立空间直角坐标系, AB100BP11,2BC110mAB

x1则0，即xy2z0 令y ，则x0，z1，所以→0,2,1 BCP的法向量为nx2y2z2

xynBC

则0，即x

0 z2x1y1，所以1,1,2cos→

010121102221212122mm→所m→

3ABPCABPC的余弦值为6