2026-2027学年高二数学上学期第一次月考数学试卷02

2026-2027（全国通用（考试时间：120分 试卷满分：150分测试范围：A版选择性必修第一册第一章~3节第一部分（选择题共58分8540分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要x3y50的倾斜角是（ B． A12Bm6两点的直线的方向向量为14，则实数m（ B．

在四面体OABC中，设OAOBbOCMABON2NC，则MN（1 1 2

1 1 ab

ab

ab

ab2ABCD-A1B1C1D1EABF为棱CC1D1EBF所成角的余弦值为（）

2

3A14的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（x−y3C4xy0xy5

xy5D4xy0x−y3A(43B(22，直线lP(1,1AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是（k1或k

k1或k

4k

4k1P−ABCDPAABCDABCDPAAB，则下列数量积最大的是（）BD

BC

ABCD−A1B1C1D1外接球的表面积为48πPQABCDEFB1C1A1D1EFB1C1PEFQ的体积为（）

163618分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部60分．下列说法正确的是（→100是坐标平面Oxy →→ 已知abc是空间的一组基底，则{abaac}已知直线l1：xaya0和直线l2：ax2a3y10，下列说法正确的是 l始终过定点21

若

l，则a3 3 若l1l2，则a D．当a0时，l1始终不过第三象说法正确的是（）若λμ1PABD的距离为 若λ10μ1DPABD所成角为θ，则sinθ36 3 第二部分（非选择题共92分3515在空间四边形OABCP满足OP

OBλOCλRPAPBPC 面，则λ 若P，Q分别为两平行直线l1：3x4y10，l2：6xmy30上任意一点，则m的值 ；的最小值 唐代诗人李颀的《古从军行开头两句为“白日登ft望烽火黄昏饮马傍交河”其中隐含了一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军白天观望烽火台，黄昏时从ft脚下某处出发先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，已知将军从ft脚下的点A,0处出发，军营所在的位置为B,，河岸线所在直线的方程为y3x2，则“将军饮马”的最短总路程为 .577分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15（13分）若直线l2Axy2倍，求直线l216（15以→

AD

AA

BDAC的长17（1518（17求证：直线lP2,1到直线l的距离最大，求a若直线l与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求l19（17P−ABCDABCDPAABAD2，PABDAB120MPBPDACMDABPABPDACMPABC2PDPAC2026-2027学年高二数学上学期第一次月（全国通用（考试时间：120分钟，分值：150分测试范围：A版选择性必修第一册第一章~3节第一部分（选择题共58分​8540分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求x3y50的倾斜角是（ B． 【答案】【答案】x3y50的斜率k3设直线的倾斜角为α，所以3又0α180，所以α30故直线的倾斜角为30A12Bm6两点的直线的方向向量为14，则实数m（ B．C． D．【答案】【答案】因此4m118，所以m3在四面体OABC中，设OAOBbOCMABON2NC，则MN（1 1 2

1 1 ab

ab

ab

abcc 1 1 2OAOBOCab1–– 1––→––所以MNONOM OCOA 1––→––OC，又点M为AB的中点，所以OM OAOB 【详解】因为ON2NC，所以ON【答案】2ABCD-A1B1C1D1EABF为棱CC1D1E所成角的余弦值为（【答案】【答案】DDAxDCyDD1z轴，建立空间直角坐标系，因为正方体棱长为2，则各点坐标为：D0,0,0,D10,0,2,A2,0,0,B2,2,0,C0,2,0,C10,2,2D1E20,10022,12BF0222,1020,1，D1E22102212222202 3 2

2

3A14的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（x−y3C4xy0xy5

xy5D4xy0x−y3【答案】【答案】1y4x，即4xy0 1141，解得a3 故所求直线方程为4xy0x−y30.D项正确.A43B22，直线lP(1,1AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是（k1或k

k1或k

4k

4k14或k 则l的斜率k满足k11134, 121【答案】即即l的斜率k的取值范围是k1或k4P−ABCDPAABCDABCDPAAB，则下列数量积最大的是（）PA+PAAC+ABPA+AB1+0+0+1222 BCPCBCPA+ACBCPA+BCAC0+12 PAPCPAPA+ACPA+PAAC1+0BDPCBDPA+ACBDPA+BDAC0+0【答案】PAAB1PAABCDPAACPAABPABDPABCAB 2 PBPCPA+ABPA+

BC

B1C1A1D1EFB1C1PEFQ的体积为（

16【答案】【答案】3a由题意可得48π4π

，解得a4 DDADCDD1xyzP420Q020Ex44,x04，EFB1C1Fx04EF040FPQ的距离为d

QF QP400QFx24QF

QF

25PQF的法向量为nabc→––

nQP4a则→–––

，取b2，则a0cPQF的法向量为n02,1

8设三棱锥EPQF的高为h，则h 因为

1

h114258532P E

3 PEFQ32​3618分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选60分．下列说法正确的是（→100是坐标平面Oxy →→ 已知abc是空间的一组基底，则{abaac}【答案】B→100是坐标平面OzyB错误；→→性表示，易得 →→→中任何一个向量也不能用另外两个向量线性表示a, a,a

xy（x,yR，满足axbayac，则有xy

，该方程无解CDAB(104)211)296)27AC

(42)2(41)2(93)27，CB

(102)2(14)2(63)272AB2AC2BC2ABAC，则VABCD正确.已知直线l1：xaya0和直线l2：ax2a3y10，下列说法正确的是 l始终过定点21

若ll，则a3 3 若l1l2，则a D．当a0时，l1始终不过第三象，解得，解得a3BB，若l1l2，则有3321，得x ，y ，l2始终过定点 ，故A正确3y1x2y由【答案】A，直线l2ax2y3y10Cl1l2，则aa2a30，解得a0或a2C错误；对于D，取a1，直线l1xy10过第三象限，故D错误．说法正确的是（）若λμ1PABD的距离为 若λ10μ1DPABD所成角为θ，则sinθ36 3 【答案】【答案】A1DACB1A1C1A1DA1A1C1A1DA1C1D，ACB1A1C1DAPACB1APA1C1DABBBC200BB1002，APBC1BC，λμ1P10,1BA022BD220A

BA1n2y12z1设平面

的法向量为nx1,y1,z1，则–––→ 则P到平面ABD的距离

223C D，当λ10μ1P202μDP022μ，CABD→1,1,1，

2

则sinθ

DP,

DP3

23

1

1μ 当0μ1sinθ3

1

311μ23

1μ1因因fxx 2，则0则3sinθ32 6，则当0μ1时，3 6，故D正确 第二部分（非选择题共92分3515 11λ1，解得λ7PAPBPCPABC 11λ1，解得λ7PAPBPCPABC 【详解】因为OP ；的最小值 【答案】【答案】 1：两条直线平行的条件是：对于l1A1xB1yC10l2A2xB2yC20A1B2A2B13m64)3x4y12：两平行直线上任意两点距离的最小值，就是两平行线之间的距离l16x8y20l26x8y3d62 51 即|PQ|1|AB|(214)2(38)25所以|AB|(214)2(38)25所以(|AC||BC设饮马点为C y5xxx 则【答案】A(xyAy3x2577分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15（13分）若直线l2Axy2倍，求直线l2（1）A34B32AB的斜率为421 因为l1AB，故直线l1则直线l1y−03x−1，即3x−y−30（2）0时，直线l2方程为4x3y00时，不妨设直线lxy 又直线lA，故341，即b5，所以直线lx2y50 综上，所求直线l2方程为4x3y0x2y5016（15ABCDABCDABAD2AA3BAD90BAADAA60

BDAC的长2929AC的长为29AC44902231223129–– ACABADAA2AB·AD2AB·AA2BDACBD（3）由（1）ACABADAA04231402310ABAB·AD （2）由（1）BD·ACADAB·ABADAAAD·ABAD【答案】(1)BDADABACABADAA；(2)答案见解析；(3)（1）在VABDBDADABACACCCABADAA17（153x3y，取x1，3x3y，取x1， n1,1,则sinθ→–––→nn113nAC1 3xznAB→–– ，ABC→xyzAB30,1AC1330A1B33,1BCACC1A1AC1ACC1A1BCAC1，AC1ABC1ABC1A1BC．（2）C为坐标原点，CACC1，CBx，y，z【答案】(1)答案见解析；(2)所以sinAOB所以sinAOBsinBOCBC 22在△AOB 3sin，解得sinABO3209ABABC20932ABABC209ABC1A1BCA1BABC1内的射影即直线OB因为AC3，四边形 是正方形，所以AC321OAOC19BC所以OBBC2OC21232 ，ABBC2AC212322求证：直线lP2,1到直线l的距离最大，求a若直线l与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求l【答案】【答案】(1)答案见解析；(2)a2；(3)2xy4（1）证明：由直线la1y2a3x1ay2axy3x10，即ay2xy3x10y2x x则由y3x10，即y2 当动直线l满足定点Q12P2,1的连线垂直于l时，P2,1到直线l的距离最大，因为

211，则k1 1 因为la1y2a3x1，故

2a31，解得a2a由la1y2a3x1y0x

2a

x0y

a1 2a

，解得1a3 a

S1

1

22a3

a 22a25a3y2a25a32y2a25a32

5

S

当a 时，y2a25a3取最小值，此时面积取最小

21 8 此时直线方程为51y253x1，即2xy40 19（17PDACMDABPABPDACM【答案】(1)证明见解析；(2)215（1【答案】(1)证明见解析；(2)215（1）ACBDO，先证明MOPDPDACMAACM的法向量nDACM的距离d，PDACMPDACMDACM的距离，即可得解；PDACMPDACMPACM的距离h，进而转化为BACM的距离，再利用等体积法计算即可；ACBDO，连接OMABCD为菱形，所以OBD在VPBD中，因为MPBOM为VPBD的中位线，故MOPD，又因为MO⊂ACMPDACM，所以PDACM（2）AABxABCDAABy轴，AABCDz,PABPPHABBAHDHPHABCDPHz.因为PABDAB120，所以∠PAHDAH60，PAADAHAH，所以VPAHVDAH，PHDHDHAPHADHABDHy在RtVPAHPA2AHPAcos60∘1PHPAsin60∘3DHD1,30P10,3，因为MPB中点，所以M103 2 3

AM20,2AD1,30 ACM的法向量为nxyz→→n·AC

x

3y则→––– ，即

x

zx

3y1z1→

DACM的距离为d2 133102则d

2 312 由（1）PDACMPDACMDACMPDACM215由（1）PDACMPDACMPACM的距离，设为h因为MPBPACMBACM的距离，即VPACMVBACMVMABC，PABPHABBAHHB中点M，MM,CM，则MMPH，PHABCD，所以MMABCD，又CMABCD，所以MMCM在RtVPAHPA2AHPAcos60∘1PHPAsin60∘3所以M到平面ABC的距离为MM1PH 3 HBHAAB3BM3由余弦定理可得MC2BM2BC22BMBCcos6013在RtVMMCCMM