初三上册数学-第15讲-反比例函数与反比例函数图像（培优）-教案

学科教师辅导讲义学员编号：年级：九年级课时数：3学员姓名：辅导科目：数学学科教师：授课主题第15讲---反比例函数与反比例函数图像授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标=1\*GB3①理解反比例函数的概念，能判断两个变量之间的关系是否是反比例函数关系；=2\*GB3②能根据已知条件确定反比例函数的表达式及作出函数图像；=3\*GB3③掌握函数图像的性质与系数k的几何意义。授课日期及时段T（Textbook-Based）——同步课堂体系搭建体系搭建一、知识框架二、知识概念（一）反比例与反比例函数1、反比例如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个非零常数，那么这两个变量成反比例，用数学符号语言记为xy=k，或(k≠0）。成反比例的关系式不一定是反比例函数,但是反比例函数中的两个变量必成反比例关系。2、反比例函数（1）定义一般地，形如（为常数，）的函数称为反比例函数。还可以写成。也可以写成xy＝k,它表明在反比例函数中自变量x与其对应函数值y之积，总等于已知常数k.（2）反比例函数解析式的特征=1\*GB3①等号左边是函数，等号右边是一个分式。分子是不为零的常数（也叫做比例系数），分母中含有自变量，且指数为1.=2\*GB3②比例系数=3\*GB3③自变量的取值为一切非零实数。=4\*GB3④函数的取值是一切非零实数。（3）待定系数法反比例函数解析式的确定：利用待定系数法（只需一对对应值或图像上一个点的坐标即可求出）。（二）反比例函数的图像与性质1、图像的画法：描点法列表（应以O为中心，沿O的两边分别取三对或以上互为相反的数）描点（有小到大的顺序）连线（从左到右光滑的曲线）2、图像特征：（1）反比例函数的图像是双曲线，（为常数，）中自变量，函数值，所以双曲线是不经过原点，断开的两个分支，延伸部分逐渐靠近坐标轴，但是永远不与坐标轴相交。（2）反比例函数的图像是是轴对称图形（对称轴是或），也是中心对称图形。（3）系数的几何意义：过双曲线（）上任意引轴轴的垂线，所得矩形面积为。典例分析典例分析考点一：反比关系与反比例函数定义例1、下列函数关系中是反比例函数的是（）A.等边三角形面积S与边长的关系B.直角三角形两锐角A与B的关系C.长方形面积一定时，长与宽的关系D.等腰三角形顶角A与底角B的关系【解析】C例2、下列函数是不是反比例函数，为什么？（1）（2）（3）xy＝21（4）（5）（6）（7）y＝x－4（8）【解析】（2）（3）（5）（8）是反比例函数。例3、当m取什么值时，函数是反比例函数？【解析】m的取值必须满足两个条件，即m－2≠0且3－m2＝－1；解得m＝－2考点二：反比例函数的表达式例1、如果函数y=m是一个经过二、四象限的反比例函数，则求m的值和反比例函数的解析式．【解析】m2﹣5=﹣1，m＜0，解得m=﹣2，∴解析式为y=．例2、已知函数y=2y1﹣y2，y1与x+1成正比例，y2与x成反比例，当x=1时，y=4，当x=2时，y=3，求y与x的函数关系式．【解析】设y1=k1（x+1），y2=∵y=2y1﹣y2，∴y=2k1（x+1）﹣∴y=（x+1）﹣，即y=x++考点三：反比例函数的图像与性质例1、反比例函数（m为常数）当x＜0时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是（）A．m＜0 B． C． D．m≥【解析】根据题意得：1﹣2m＜0，解得：m＞．故选：C．例2、如图，正比例函数y1=k1x的图象与反比例函数y2=的图象相交于A，B两点，其中点A的横坐标为2，当y1＞y2时，x的取值范围是（）A．x＜﹣2或x＞2 B．x＜﹣2或0＜x＜2C．﹣2＜x＜0或0＜x＜2 D．﹣2＜x＜0或x＞2【解析】∵反比例函数与正比例函数的图象均关于原点对称，∴A、B两点关于原点对称，∵点A的横坐标为2，∴点B的横坐标为﹣2，故选D．例3、关于x的函数y=k（x+1）和y=（k≠0）在同一坐标系中的图象大致是（）A． B． C． D．【解析】D．考点四：系数“k”的几何意义（初步）例1、如图，直线y=x﹣2与y轴交于点C，与x轴交于点B，与反比例函数y=的图象在第一象限交于点A，连接OA．若S△AOB：S△BOC=1：2，则k的值为（）A．2 B．3 C．4 D．6【解析】∵直线y=x﹣2与y轴交于点C，与x轴交于点B，∴C（0，﹣2），B（2，0），∴S△BOC=OB•OC=×2×2=2，∵S△AOB：S△BOC=1：2，∴S△AOB=S△BOC=1，∴×2×yA=1，∴yA=1，把y=1代入y=x﹣2，得1=x﹣2，解得x=3，∴A（3，1）．∵反比例函数y=的图象过点A，∴k=3×1=3．故选B．例2、如图，A、B是双曲线y=上的两点，过A点作AC⊥x轴，交OB于D点，垂足为C．若△ADO的面积为1，D为OB的中点，则k的值为（）A． B． C．3 D．4【解析】过点B作BE⊥x轴于点E，∵D为OB的中点，∴CD是△OBE的中位线，即CD=BE．设A（x，），则B（2x，），CD=，AD=﹣，∵△ADO的面积为1，∴AD•OC=1，（﹣）•x=1，解得k=，故选：B．P(Practice-Oriented)——实战演练实战演练实战演练课堂狙击1、下列表达式中，表示是的反比例函数的是（）①②.③④是常数，A.①②④B.①③④C.②③D.①③【解析】D.2、如果直角三角形的面积一定，那么下列关于这个直角三角形边的关系中，正确的是（）A．两条直角边成正比例 B．两条直角边成反比例C．一条直角边与斜边成正比例 D．一条直角边与斜边成反比例【解析】B．3、若是反比例函数，则、的取值是（）A.B.C.D.【解析】D.4、函数是反比例函数，则m的值是（）A．m=±1 B．m=1 C．m=± D．m=﹣1【解析】m﹣1≠0，m2﹣2=﹣1．故选：D．5、已知函数y=的图象如图，以下结论：①m＜0；②在每个分支上y随x的增大而增大；③若点A（﹣1，a）、点B（2，b）在图象上，则a＜b；④若点P（x，y）在图象上，则点P1（﹣x，﹣y）也在图象上．其中正确的个数是（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【解析】①②④正确，③错误，故选：B．6、如图，已知点A是双曲线y=在第一象限的分支上的一个动点，连接AO并延长交另一分支于点B，过点A作y轴的垂线，过点B作x轴的垂线，两垂线交于点C，随着点A的运动，点C的位置也随之变化．设点C的坐标为（m，n），则m，n满足的关系式为（）A．n=﹣2m B．n=﹣ C．n=﹣4m D．n=﹣【解析】由反比例函数的性质可知，A点和B点关于原点对称，∵点C的坐标为（m，n），∴点A的坐标为（，n），∴点B的坐标为（﹣，﹣n），根据图象可知，B点和C点的横坐标相同，∴﹣=m，即n=﹣．故选：B．7、如图，在平面直角坐标系中，点A是x轴正半轴上的一个定点，点P是双曲线y=（x＞0）上的一个动点，PB⊥y轴于点B，当点P的横坐标逐渐增大时，四边形OAPB的面积将会（）A．逐渐增大 B．不变 C．逐渐减小 D．先增大后减小【解析】设点P的坐标为（x，），∵PB⊥y轴于点B，点A是x轴正半轴上的一个定点，∴四边形OAPB是个直角梯形，∴四边形OAPB的面积=（PB+AO）•BO=（x+AO）•=+=+•，∵AO是定值，∴点P的横坐标逐渐增大时四边形OAPB的面积逐渐减小．故选：C．8、如图，正比例函数y1=k1x的图象与反比例函数y2=的图象相交于A，B两点，其中点A的横坐标为2，当y1＞y2时，x的取值范围是（）A．x＜﹣2或x＞2 B．x＜﹣2或0＜x＜2C．﹣2＜x＜0或0＜x＜2 D．﹣2＜x＜0或x＞2【解析】D．9、某种灯的使用寿命为1000小时，它的可使用天数与平均每天使用的小时数之间的函数关系式为.【解析】y＝10、已知函数y=（5m﹣3）x2﹣n+（n+m），（1）当m，n为何值时是一次函数？（2）当m，n为何值时，为正比例函数？（3）当m，n为何值时，为反比例函数？【解析】（1）当函数是一次函数时，2﹣n=1，且5m﹣3≠0，解得：n=1且m≠；（2）当函数y=（5m﹣3）x2﹣n+（m+n）是正比例函数时，，解得：n=1，m=﹣1．（3）当函数y=（5m﹣3）x2﹣n+（m+n）是反比例函数时，，解得：n=3，m=﹣3．11、如图，一次函数y=﹣x+4的图象与反比例函数y=（k为常数，且k≠0）的图象交于A（1，a），B两点．（1）求反比例函数的表达式（及点B的坐标）；（2）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，求满足条件的点P的坐标及△PAB的面积．【解析】（1）把点A（1，a）代入一次函数y=﹣x+4，得a=﹣1+4，解得a=3，∴A（1，3），点A（1，3）代入反比例函数y=，得k=3，∴反比例函数的表达式y=，两个函数解析式联立列方程组得，解得x1=1，x2=3，∴点B坐标（3，1）；（2）作点B作关于x轴的对称点D，交x轴于点C，连接AD，交x轴于点P，此时PA+PB的值最小，∴D（3，﹣1），设直线AD的解析式为y=mx+n，把A，D两点代入得，，解得m=﹣2，n=5，∴直线AD的解析式为y=﹣2x+5，令y=0，得x=，∴点P坐标（，0），S△PAB=S△ABD﹣S△PBD=×2×2﹣×2×=2﹣=．课后反击1、若y与x成正比例，x与z成反比例，则y与z之间的关系是（）．A.成正比例B.成反比例C.不成正比例也不成反比例D.无法确定【解析】B2、有以下判断：①圆面积公式S=πr2中，面积S与半径r成正比例；②运动的时间与速度成反比例；③当电压不变时，电流强度和电阻成反比例；④圆柱体的体积公式V=πr2h中，当体积V不变时，圆柱的高h与底面半径r的平方成反比例，其中错误的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解析】B．①②正确，③④错误3、下列函数，①y=2x，②y=x，③y=x-1，④y=是反比例函数的个数有（）．A．0个B．1个C．2个D．3个【解析】B4、函数是反比例函数，则m的值为（）A．0 B．﹣1 C．0或﹣1 D．0或1【解析】m2+m﹣1=﹣1且m+1≠=0，故选：A．5、已知函数y=（m+2）是反比例函数，且图象在第二、四象限内，则m的值是（）A．3 B．﹣3 C．±3 D．﹣【解析】B．6、在反比例函数y=图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），x1＜0＜x2，y1＜y2，则m的取值范围是（）A．m＞ B．m＜ C．m≥ D．m≤【解析】B．7、若ab＜0，则正比例函数y=ax与反比例函数y=在同一坐标系中的大致图象可能是（）A． B． C． D．【解析】B．8、若点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）都是反比例函数y=﹣图象上的点，并且y1＜0＜y2＜y3，则下列各式中正确的是（）A．x1＜x2＜x3 B．x1＜x3＜x2 C．x2＜x1＜x3 D．x2＜x3＜x1【解析】D．9、一批零件300个，一个工人每小时做15个，用关系式表示人数x与完成任务所需的时间y之间的函数关系式为________．【解析】y＝EQ\F(300,15x)10、已知关于x的一次函数y=kx+1和反比例函数y=的图象都经过点（2，m），则一次函数的解析式是________．【解析】y=x+111、已知反比例函数y=的图象的一支位于第一象限．（1）判断该函数图象的另一支所在的象限，并求m的取值范围；（2）如图，O为坐标原点，点A在该反比例函数位于第一象限的图象上，点B与点A关于x轴对称，若△OAB的面积为6，求m的值．【解析】（1）根据反比例函数的图象关于原点对称知，该函数图象的另一支在第三象限，且m﹣7＞0，则m＞7；（2）∵点B与点A关于x轴对称，若△OAB的面积为6，∴△OAC的面积为3．设A（x，），则x•=3，解得m=13．12、如图，点A（1，a）在反比例函数（x＞0）的图象上，AB垂直于x轴，垂足为点B，将△ABO沿x轴向右平移2个单位长度，得到Rt△DEF，点D落在反比例函数（x＞0）的图象上．（1）求点A的坐标；（2）求k值．【解析】（1）把点A（1，a）代入反比例函数（x＞0）得a=3，则A点坐标为（1，3），（2）因为将△ABO沿x轴向右平移2个单位长度，得到Rt△DEF，所以D点坐标为（3，3），把D（3，3）代入y=得k=3×3=9．直击中考直击中考1、【2013•安顺】）若是反比例函数，则a的取值为（）A．1 B．﹣1 C．±l D．任意实数【解析】A．2、【2014•天津】已知反比例函数y=，当1＜x＜2时，y的取值范围是（）A．0＜y＜5 B．1＜y＜2 C．5＜y＜10 D．y＞10有【解析】C3、【2009•日照】已知点M(－2，3)在双曲线上，则下列各点一定在该双曲线上的是()A．(3，-2) B．(-2，-3)C．(2，3) D．(3，2)【解析】A4、【2009•漳州】）矩形面积为4，它的长与宽之间的函数关系用图象大致可表示为（）【解析】B5、【2014•抚州】如图，在平面直角坐标系中，过点M（0，2）的直线l与x轴平行，且直线l分别与反比例函数y=（x＞0）和y=（x＜0）的图象交于点P、点Q．（1）求点P的坐标；（2）若△POQ的面积为8，求k的值．【解析】（1）∵PQ∥x轴，∴点P的纵坐标为2，把y=2代入y=得x=3，∴P点坐标为（3，2）；（2）∵S△POQ=S△OMQ+S△