山西省晋城市陵川县2027届数学九年级第一学期期末综合测试试题含解析

山西省晋城市陵川县2027届数学九年级第一学期期末综合测试试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题（每题4分，共48分）1．抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝ax+c（a≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（）A． B．C． D．2．如图，等腰直角三角形的顶点A、C分别在直线a、b上，若a∥b，∠1=30°，则∠2的度数为（）A．30° B．15° C．10° D．20°3．已知的三边长分别为、、，且满足，则的形状是（）．A．等边三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．直角三角形4．如果等腰三角形的面积为10，底边长为x，底边上的高为y，则y与x的函数关系式为（）A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝5．如图，AB与CD相交于点E，点F在线段BC上，且AC//EF//DB，若BE＝5，BF＝3，AE＝BC，则的值为()A． B． C． D．6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，则图中相似三角形共有()A．1对 B．2对 C．3对 D．4对7．若函数y＝的图象在其象限内y的值随x的增大而增大，则m的取值范围是（）A．m>2 B．m＜2 C．m>-2 D．m＜-28．如图，正方形ABCD的边长为4，点P、Q分别是CD、AD的中点，动点E从点A向点B运动，到点B时停止运动；同时，动点F从点P出发，沿P→D→Q运动，点E、F的运动速度相同．设点E的运动路程为x，△AEF的面积为y，能大致刻画y与x的函数关系的图象是（）A． B． C． D．9．如图，点E为菱形ABCD边上的一个动点，并延A→B→C→D的路径移动，设点E经过的路径长为x，△ADE的面积为y，则下列图象能大致反映y与x的函数关系的是（）A． B．C． D．10．圆锥的底面半径为2，母线长为6，它的侧面积为（）A． B． C． D．11．方差是刻画数据波动程度的量．对于一组数据，，，…，，可用如下算式计算方差：，其中“5”是这组数据的（）A．最小值 B．平均数 C．中位数 D．众数12．小明使用电脑软件探究函数的图象，他输入了一组，的值，得到了下面的函数图象，由学习函数的经验，可以推断出小明输入的，的值满足（）A．， B．， C．， D．，二、填空题（每题4分，共24分）13．在一个不透明的袋子中只装有n个白球和2个红球，这些球除颜色外其他均相同．如果从袋子中随机摸出一个球，摸到红球的概率是，那么n的值为___．14．方程x2=8x的根是______．15．如图所示，等腰三角形，，，…，（为正整数）的一直角边在轴上，双曲线经过所有三角形的斜边中点，，，…，，已知斜边，则点的坐标为_________．16．如图，是的切线，为切点，，，点是上的一个动点，连结并延长，交的延长线于，则的最大值为_________

17．过⊙O内一点M的最长弦为10cm，最短弦为8cm，则OM=cm.18．关于的方程=0的两根分别是和，且=__________．三、解答题（共78分）19．（8分）2019年第六届世界互联网大会在乌镇召开，小南和小西参加了某分会场的志愿服务工作，本次志愿服务工作一共设置了三个岗位，分别是引导员、联络员和咨询员．请你用画树状图或列表法求出小南和小西恰好被分配到同一个岗位进行志愿服务的概率．20．（8分）某次数学竞赛共有3道判断题，认为正确的写“”，错误的写“”，小明在做判断题时，每道题都在“”或“”中随机写了一个.（1）小明做对第1题的概率是；（2）求小明这3道题全做对的概率.21．（8分）已知，点P是等边三角形△ABC中一点，线段AP绕点A逆时针旋转60°到AQ，连接PQ、QC．（1）求证：△BAP≌△CAQ．（2）若PA＝3，PB＝4，∠APB＝150°，求PC的长度．22．（10分）如图，抛物线y=-x2+bx+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中点A（-1，0）．过点A作直线y=x+c与抛物线交于点D，动点P在直线y=x+c上，从点A出发，以每秒个单位长度的速度向点D运动，过点P作直线PQ∥y轴，与抛物线交于点Q，设运动时间为t（s）.（1）直接写出b，c的值及点D的坐标；（2）点E是抛物线上一动点，且位于第四象限，当△CBE的面积为6时，求出点E的坐标；（3）在线段PQ最长的条件下，点M在直线PQ上运动，点N在x轴上运动，当以点D、M、N为顶点的三角形为等腰直角三角形时，请求出此时点N的坐标．23．（10分）如图，一般捕鱼船在A处发出求救信号，位于A处正西方向的B处有一艘救援艇决定前去数援，但两船之间有大片暗礁，无法直线到达．救援艇决定马上调整方向，先向北偏东方以每小时30海里的速度航行，同时捕鱼船向正北低速航行．30分钟后，捕鱼船到达距离A处海里的D处，此时救援艇在C处测得D处在南偏东的方向上．求C、D两点的距离；捕鱼船继续低速向北航行，救援艇决定再次调整航向，沿CE方向前去救援，并且捕鱼船和救援艇同达时到E处，若两船航速不变，求的正弦值．参考数据：，，24．（10分）解方程：x2﹣6x+8＝1．25．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，连接，位于轴右侧且垂直于轴的动直线，沿轴正方向从运动到（不含点和点），且分别交抛物线、线段以及轴于点，，．连接，，，，．（1）求抛物线的表达式；（2）如图1，当直线运动时，求使得和相似的点点的横坐标；（3）如图1，当直线运动时，求面积的最大值；（4）如图2，抛物线的对称轴交轴于点，过点作交轴于点．点、分别在对称轴和轴上运动，连接、．当的面积最大时，请直接写出的最小值．26．先化简，再求值：，其中﹣2≤a≤2，从中选一个你喜欢的整数代入求值．

参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、D【分析】可先由一次函数y=ax+c图象得到字母系数的正负，再与二次函数y=ax2+bx+c的图象相比较看是否一致．【详解】A．一次函数y=ax+c与y轴交点应为(0，c)，二次函数y=ax2+bx+c与y轴交点也应为(0，c)，图象不符合，故本选项错误；B．由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，a的取值矛盾，故本选项错误；C．由抛物线可知，a＜0，由直线可知，a＞0，a的取值矛盾，故本选项错误；D．由抛物线可知，a＜0，由直线可知，a＜0，且抛物线与直线与y轴的交点相同，故本选项正确．故选：D．本题考查了抛物线和直线的性质，用假设法来解答这种数形结合题是一种很好的方法．2、B【解析】分析：由等腰直角三角形的性质和平行线的性质求出∠ACD=60°，即可得出∠2的度数．详解：如图所示：∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠BAC=90°，∠ACB=45°，∴∠1+∠BAC=30°+90°=120°，∵a∥b，∴∠ACD=180°-120°=60°，∴∠2=∠ACD-∠ACB=60°-45°=15°；故选B．点睛：本题考查了平行线的性质、等腰直角三角形的性质；熟练掌握等腰直角三角形的性质，由平行线的性质求出∠ACD的度数是解决问题的关键．3、D【分析】根据非负数性质求出a,b,c，再根据勾股定理逆定理解析分析.【详解】因为所以a-5=0,b-12=0,13-c=0所以a=5,b=12,c=13因为52+122=132所以a2+b2=c2所以以的三边长分别为、、的三角形是直角三角形.故选：D考核知识点：勾股定理逆定理.根据非负数性质求出a,b,c是关键.4、C【解析】试题解析：∵等腰三角形的面积为10，底边长为x，底边上的高为y，∴y与x的函数关系式为：故选C．点睛：根据三角形的面积公式列出即可求出答案.5、A【分析】根据平行线分线段成比例定理得可求出BC的长，从而可得CF的长，再根据平行线分线段成比例定理得，求解即可得.【详解】又，解得又故选：A.本题考查了平行线分线段成比例定理，根据定理求出BC的长是解题关键.6、C【解析】∵∠ACB=90°，CD⊥AB，∴△ABC∽△ACD，△ACD∽CBD，△ABC∽CBD，所以有三对相似三角形．故选C．7、B【分析】先根据反比例函数的性质列出关于m的不等式，求出m的取值范围即可．【详解】∵函数y＝的图象在其象限内y的值随x值的增大而增大，∴m−1＜0，解得m＜1．

故选：B．本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数y＝（k≠0）中，当k＜0时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大是解答此题的关键．8、A【详解】当F在PD上运动时，△AEF的面积为y=AE•AD=2x（0≤x≤2），当F在DQ上运动时，△AEF的面积为y=AE•AF==（2＜x≤4），图象为：故选A．9、D【解析】点E沿A→B运动，△ADE的面积逐渐变大；点E沿B→C移动，△ADE的面积不变；点E沿C→D的路径移动，△ADE的面积逐渐减小．故选D.点睛：本题考查函数的图象.分三段依次考虑△ADE的面积变化情况是解题的关键.10、B【分析】根据圆锥的底面半径为2，母线长为6，直接利用圆锥的侧面积公式求出它的侧面积．【详解】根据圆锥的侧面积公式：rl＝×2×6＝12，故选：B．本题主要考查了圆锥侧面积公式．熟练地应用圆锥侧面积公式求出是解决问题的关键．11、B【分析】根据方差公式的定义即可求解.【详解】方差中“5”是这组数据的平均数.故选B．此题主要考查平均数与方差的关系，解题的关键是熟知方差公式的性质.12、D【分析】由图象可知，当x＞0时，y＜0，可知a＜0；图象的左侧可以看作是反比例函数图象平移得到，由图可知向左平移，则b＜0；【详解】由图象可知，当x＞0时，y＜0，∴a＜0；∵图象的左侧可以看作是反比例函数图象平移得到，由图可知向左平移，∴b＜0；故选：D．本题考查函数的图象；能够通过已学的反比例函数图象确定b的取值是解题的关键．二、填空题（每题4分，共24分）13、1．【分析】根据概率公式得到，然后利用比例性质求出n即可．【详解】根据题意得，解得n＝1，经检验：n＝1是分式方程的解，故答案为：1．本题考查了概率公式：随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．14、x1=0，x2=1【解析】移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【详解】解：x2=1x，x2-1x=0，x（x-1）=0，x=0，x-1=0，x1=0，x2=1，故答案为x1=0，x2=1．考查了解一元二次方程，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．15、【分析】先求出双曲线的解析式，设=2，=2，分别求出和的值，从中找到规律表示出的值，据此可求得点的坐标.【详解】解：∵，是等腰三角形，∴==4，∴的坐标是（-4，4），∴的坐标是（-2，2），∴双曲线解析式为，设=2，则=2，∴的坐标是（-4-2，2），∴的坐标是（-4-，），∴（-4-）=-4，∴=（负值舍去），∴=，设=2，则=2，同理可求得=，∴=，……，依此类推=，∴==，∴=+++……+=4+++……+=∴的坐标是（，），故答案是：（，）.本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．也考查了等腰直角三角形的性质．16、【分析】根据题意可知当ED与相切时，EC最大，再利用△ECD∽△EBA，找到对应边的关系即可求解.【详解】解：如图，当CD⊥DE于点D时EC最大．∵CD⊥DE，是的切线∴∠EDC=∠EAB=90°又∵∠E=∠E∴△ECD∽△EBA∴∴则∵，，∠EAB=90°∴CD=AC=1在Rt△ABE中利用勾股定理得即则∴可化为，解得或（舍去）综上所述，的最大值为．本题考查了切线和相似的性质,能通过切线的性质找到符合要求的点,再能想到相似得到对应边的关系是解答此题的关键.17、3【解析】试题分析：最长弦即为直径，最短弦即为以M为中点的弦，所以此时考点：弦心距与弦、半径的关系点评：18、2【分析】根据一元二次方程根与系数的关系即可解答.【详解】∵方程=0的两根分别是和，∴，，∴=，故答案为：2.此题考查根与系数的关系，熟记两个关系式并运用解题是关键.三、解答题（共78分）19、【分析】分别用字母A，B，C代替引导员、联络员和咨询员岗位，利用列表法求出所有等可能结果，再根据概率公式求解可得．【详解】分别用字母A，B，C代替引导员、联络员和咨询员岗位，用列表法列举所有可能出现的结果：小西小南ABCA（A，A）（A，B）（A，C）B（B，A）（B，B）（B，C）C（C，A）（C，B）（C，C）由表中可以看出，所有可能的结果有9种，并且这9种结果出现的可能性相等，所有可能的结果中，小南和小西恰好被分配到同一个岗位的结果有3种，即AA，BB，CC，∴小南和小西恰好被分配到同一个岗位进行志愿服务的概率=＝．考查随机事件发生的概率，关键是用列表法或树状图表示出所有等可能出现的结果数，用列表法或树状图的前提是必须使每一种情况发生的可能性是均等的．20、（1）；（2）【分析】（1）根据概率公式求概率即可；（2）写出小明做这3道题，所有可能出现的等可能的结果，然后根据概率公式求概率即可．【详解】解：（1）∵第一题可以写A或B，共2种结果，其中作对的可能只有1种，∴小明做对第1题的概率是1÷2=故答案为；（2）小明做这3道题，所有可能出现的结果有：，，，，，，，，共有8种，它们出现的可能性相同，所有的结果中，满足“这3道题全做对”（记为事件）的结果只有1种，∴小明这3道题全做对的概率为1÷8=．此题考查的是求概率问题，掌握概率公式是解决此题的关键．21、（1）见解析；（2）1【分析】（1）直接利用旋转的性质结合全等三角形的判定与性质得出答案；

（2）直接利用等边三角形的性质结合勾股定理即可得出答案．【详解】（1）证明：∵线段AP绕点A逆时针旋转60°到AQ，∴AP＝AQ，∠PAQ＝60°，∴△APQ是等边三角形，∠PAC+∠CAQ＝60°，∵△ABC是等边三角形，∴∠BAP+∠PAC＝60°，AB＝AC，∴∠BAP＝∠CAQ，在△BAP和△CAQ中，，∴△BAP≌△CAQ（SAS）；（2）∵由（1）得△APQ是等边三角形，∴AP＝PQ＝3，∠AQP＝60°，∵∠APB＝110°，∴∠PQC＝110°﹣60°＝90°，∵PB＝QC，∴QC＝4，∴△PQC是直角三角形，∴PC＝＝＝1．此题主要考查了旋转的性质以及全等三角形的判定与性质和勾股定理等知识，正确应用等边三角形的性质是解题关键．22、（1）b=2，c=1，D（2，3）；（2）E(4，-5)；（3）N(2，0)，N(-4，0)，N(-2.5，0)，N(3.5，0)【分析】（1）将点A分别代入y=-x2+bx+3，y=x+c中求出b、c的值，确定解析式，再解两个函数关系式组成的方程组即可得到点D的坐标；（2））过点E作EF⊥y轴，设E（x，-x2+2x+3），先求出点B、C的坐标，再利用面积加减关系表示出△CBE的面积，即可求出点E的坐标.（3）分别以点D、M、N为直角顶点讨论△MND是等腰直角三角形时点N的坐标．【详解】（1）将A（-1,0）代入y=-x2+bx+3中，得-1-b+3=0，解得b=2，∴y=-x2+2x+3，将点A代入y=x+c中，得-1+c=0，解得c=1，∴y=x+1，解，解得，（舍去），∴D（2,3）.∴b=2，c=1，D（2,3）.（2）过点E作EF⊥y轴，设E（x，-x2+2x+3）,当y=-x2+2x+3中y=0时，得-x2+2x+3=0，解得x1=3，x2=-1（舍去），∴B(3，0).∵C(0，3)，∴，∴，解得x1=4,x2=-1（舍去），∴E(4，-5).（3）∵A(-1，0),D(2，3),∴直线AD的解析式为y=x+1,设P（m，m+1），则Q（m，-m2+2m+3），∴线段PQ的长度h=-m2+2m+3-（m+1）=，∴当=0.5，线段PQ有最大值.当∠D是直角时，不存在△MND是等腰直角三角形的情形；当∠M是直角时，如图1，点M在线段DN的垂直平分线上，此时N1（2,0）；当∠M是直角时，如图2，作DE⊥x轴，M2E⊥HE，N2H⊥HE,∴∠H=∠E=90,∵△M2N2D是等腰直角三角形，∴N2M2=M2D,∠N2M2D=90,∵∠N2M2H=∠M2DE,∴△N2M2H≌△M2DE,∴N2H=M2E=2-0.5=1.5，M2H=DE，∴E(2，-1.5)，∴M2H=DE=3+1.5=4.5，∴ON2=4.5-0.5=4，∴N2(-4，0)；当∠N是直角时，如图3，作DE⊥x轴，∴∠N3HM3=∠DEN3=90,∵△M3N3D是等腰直角三角形，∴N3M3=N3D,∠DN3M3=90，∵∠DN3E=∠N3M3H，∴△DN3E≌△N3M3H，∴N3H=DE=3，∴N3O=3-0.5=2.5，∴N3(-2.5，0)；当∠N是直角时，如图4，作DE⊥x轴，∴∠N4HM4=∠DEN4=90,∵△M4N4D是等腰直角三角形，∴N4M4=N4D,∠DN4M4=90，∵∠DN4E=∠N4M4H，∴△DN4E≌△N4M4H，∴N4H=DE=3，∴N4O=3+0.5=3.5，∴N4(3.5，0)；综上，N(2，0)，N(-4，0)，N(-2.5，0)，N(3.5，0).此题是二次函数的综合题，考查待定系数法求函数解析式；根据函数性质得到点坐标，由此求出图象中图形的面积；还考查了图象中构成的等腰直角三角形的情况，此时依据等腰直角三角形的性质，求出点N的坐标.23、（1）CD两点的距离是10海里；（2）0.08【分析】过点C、D分别作，，垂足分别为G，F，根据直角三角形的性质得出CG，再根据三角函数的定义即可得出CD的长；如图，设渔政船调整方向后t小时能与捕渔船相会合，由题意知，，，过点E作于点H，根据三角函数表示出EH，在中，根据正弦的定义求值即可；【详解】解：过点C、D分别作，，垂足分别为G，F，在中，，海里，，四边形ADFG是矩形，海里，海里，在中，，，，海里．答：CD两点的距离是10海里；如图，设渔船调整方向后t小时能与捕渔船相会合，由题意知，，，过点E作于点H，则，，，在中，．答：的正弦值是．本题主要考查了解直角三角形的应用方向角问题，掌握解直角三角形的应用