高考数学一轮复习 微专题11　空间几何体中的截面和轨迹问题 教用

空间几何体中的截面和轨迹问题截面问题例1(1)在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别为棱AA1，BC，CC1的中点，则平面EFG被正方体所截得的截面面积为__eq\f(3\r(3),4)__．【解析】如图，延长GF交B1B的延长线于点N，连接EN交AB于点P，连接PF．取D1C1的中点K，D1A1的中点J，连接KG，EJ，KJ，则KG∥EP，EJ∥GF，KJ∥PF．故平面EFG被正方体所截得的截面图形为正六边形，且边长为eq\f(\r(2),2)，所以截面面积为6×eq\f(1,2)×eq\f(\r(2),2)×eq\f(\r(2),2)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3\r(3),4)．(2)如图，已知正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为1，M，N分别是线段BB′，DD′上靠近B，D的三等分点．过点A′，M，N作该正方体的截面，则截面图形的周长为__eq\r(13)＋eq\f(\r(2),2)__，面积为__eq\f(7\r(17),24)__．【解析】如图，在棱长为1的正方体ABCD－A′B′C′D′中，延长A′M交AB的延长线于E，延长A′N交AD的延长线于F，连接EF交BC于G，交CD于H，连接MG，NH，则五边形A′MGHN是过点A′，M，N的该正方体的截面．因为平面A′MN∩平面BCC′B′＝MG，平面A′MN∩平面ADD′A′＝A′F，平面BCC′B′∥平面ADD′A′，则MG∥A′F，eq\f(MG,A′F)＝eq\f(EM,A′E)＝eq\f(EG,EF)＝eq\f(EB,EA)＝eq\f(BM,AA′)＝eq\f(1,3)．同理，NH∥A′E，eq\f(NH,A′E)＝eq\f(FN,A′F)＝eq\f(FH,EF)＝eq\f(FD,FA)＝eq\f(DN,AA′)＝eq\f(1,3)，因此AE＝AF＝eq\f(3,2)，GH＝eq\f(1,3)EF＝eq\f(1,3)×eq\r(2)AE＝eq\f(\r(2),2)，A′E＝A′F＝eq\r(12＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))2)＝eq\f(\r(13),2)，MG＝ME＝NH＝NF＝eq\f(1,3)A′E，所以截面周长为A′M＋MG＋A′N＋NH＋GH＝A′E＋A′F＋GH＝eq\r(13)＋eq\f(\r(2),2)．等腰三角形A′EF底边EF上的高为h＝eq\r(A′E2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)EF))2)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(13),2)))2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(2),4)))2)＝eq\f(\r(34),4)，则△A′EF的面积S△A′EF＝eq\f(1,2)EF·h＝eq\f(1,2)×eq\f(3\r(2),2)×eq\f(\r(34),4)＝eq\f(3\r(17),8)．显然△EMG∽△EA′F，S△EMG＝eq\f(1,9)S△A′EF，同理S△FNH＝eq\f(1,9)S△A′EF，所以截面面积S＝S△A′EF－2S△EMG＝eq\f(7,9)S△A′EF＝eq\f(7,9)×eq\f(3\r(17),8)＝eq\f(7\r(17),24)．作多面体截面的方法(1)直接法：有两点在几何体的同一个面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面实际就是找交线的过程；(2)若面上只有一个已知点，应设法在同一平面上再找出第二个确定的点；(3)若两个已知点分别在相邻的面上，应找出这两个相邻平面的交线与截面的交点；(4)同一个平面有两个点，可以连线并延长至与其他平面相交找到交点；(5)平行线法：过直线与直线外一点作截面，若直线所在的面与点所在的平面平行，可以通过过点找直线的平行线找到几何体的截面的交线；(6)若已知点在几何体内部，则可通过辅助平面找出面上的交点，再找出棱上的交点．变式1(1)在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是棱A1D1的中点，过C1，B，M作正方体的截面，则这个截面的形状是__等腰梯形__，截面的面积是__eq\f(9,2)__．【解析】如图，取AA1的中点N，连接MN，NB，MC1，BC1，AD1，则MN∥AD1，AD1∥BC1，故MN∥BC1，且MN＝eq\f(1,2)BC1＝eq\r(2)，所以截面MNBC1为梯形，且为等腰梯形．易得MC1＝BN＝eq\r(5)，可得梯形的高为eq\f(3,\r(2))，所以梯形的面积为eq\f(1,2)×(eq\r(2)＋2eq\r(2))×eq\f(3,\r(2))＝eq\f(9,2)．(2)已知三棱柱ABC－A1B1C1中，M，N分别为棱BB1，A1C1的中点，过A，M，N作三棱柱的截面交B1C1于点E，且B1E＝2，则B1C1＝__6__．【解析】如图，连接AM并延长与A1B1的延长线交于点P，连接NP与直线B1C1的交点即为点E．因为AM与NE相交于点P，所以A，M，N，E四点共面．因为M是BB1的中点，且AA1＝BB1，AA1∥BB1，所以MB1＝eq\f(1,2)AA1，MB1∥AA1，所以MB1是△AA1P的中位线，则B1是A1P的中点．又因为N为A1C1的中点，所以NB1∥C1P，NB1＝eq\f(1,2)C1P．易知△NEB1∽△PEC1，则eq\f(B1E,EC1)＝eq\f(NB1,C1P)＝eq\f(1,2)，所以B1C1＝3B1E＝6．轨迹问题例2(1)在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，P是棱BC的中点，点Q满足eq\o(CQ,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(CC1,\s\up6(→))，点F在侧面BB1C1C内，且A1F∥平面APQ，则点F的轨迹长度为__eq\f(\r(13),3)__．【解析】如图，取BB1上靠近B1的三等分点G，B1C1的中点H，连接A1H，A1G，GH，则在正方形BB1C1C中，可得GH∥PQ．又GH⊄平面APQ，PQ⊂平面APQ，所以GH∥平面APQ．同理可由A1H∥AP，得A1H∥平面APQ．因为A1H，GH⊂平面A1GH，A1H∩GH＝H，所以平面A1GH∥平面APQ．又点F在侧面BB1C1C内，且A1F∥平面APQ，所以GH即为点F的轨迹，且GH＝eq\r(B1H2＋B1G2)＝eq\r(12＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2)＝eq\f(\r(13),3)．(2)设P为棱长是2eq\r(,5)的正方体ABCD－A1B1C1D1的内切球O球面上的动点，M为B1C1的中点．若DP⊥BM，则动点P的轨迹的长度为__4π__．【解析】根据题意知，该正方体的内切球半径为r＝eq\r(5)．如图，取BB1的中点N，连接CN，DN，则CN⊥BM．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，BM⊥平面DNC，所以点P的轨迹为过D，C，N的平面与内切球的交线．因为正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2eq\r(5)，所以点O到过D，C，N的平面的距离为1，所以截面圆的半径为eq\r(\r(5)2－1)＝2，所以点P的轨迹的长度为2π×2＝4π．(3)已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，M为A1D1的中点，动点P在正方形ABCD内(包含边界)运动，且MP＝eq\r(,5)，则动点P的轨迹长度为__π__．【解析】取AD的中点N，连接MN(图略)．因为M，N分别为A1D1，AD的中点，所以MN∥AA1，且MN＝AA1＝2．因为AA1⊥平面ABCD，所以MN⊥平面ABCD．由NP⊂平面ABCD，得MN⊥NP．在Rt△MNP中，NP＝eq\r(MP2－MN2)＝1，则可知动点P的轨迹是以点N为圆心，半径为1的半圆，所以动点P的轨迹长度为eq\f(1,2)×2π×1＝π．(4)(2025·九江一模)在棱长为eq\r(3)的正方体ABCD－AB1C1D1中，点P在正方体内(包含边界)运动．若直线A1P与DC所成角为eq\f(π,6)，则动点P所围成的图形的面积是(B)A．eq\f(π,4) B．eq\f(π,2)C．eq\f(3π,4) D．π【解析】如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，DC∥A1B1，由直线A1P与DC所成的角为eq\f(π,6)，知直线A1P与直线A1B1所成的角为eq\f(π,6)，故动点P所围成的图形是高为eq\r(3)，底面半径为1，母线长为2的圆锥侧面的四分之一，则动点P所围成的图形的面积为eq\f(1,4)×π×1×2＝eq\f(π,2)．(5)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，动点P在正方形ABCD及其边界上运动，且满足〈eq\o(D1A,\s\up6(→))，eq\o(D1P,\s\up6(→))〉＝eq\f(π,6)，则动点P的轨迹为(B)A．抛物线的一部分B．椭圆的一部分C．双曲线的一部分D．以上都不对【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则D1(0,0,1)，A(1,0,0)，P(x，y,0)，x，y∈[0,1]，可得eq\o(D1A,\s\up6(→))＝(1,0，－1)，eq\o(D1P,\s\up6(→))＝(x，y，－1)．又因为〈eq\o(D1A,\s\up6(→))，eq\o(D1P,\s\up6(→))〉＝eq\f(π,6)，所以eq\f(\r(3),2)＝eq\f(x＋1,\r(2)×\r(x2＋y2＋1))，整理得(x－2)2＋3y2＝3，即得eq\f(x－22,3)＋y2＝1，x，y∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，1))，动点P的轨迹为椭圆的一部分．动点轨迹问题，若不能直接判断轨迹形状，则可以通过建系的办法来计算，通过位置或长度关系得到动点在对应平面内的方程，从而结合平面几何知识确定轨迹的位置和形状．变式2(多选)如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是CC1的中点，N是底面正方形ABCD内的动点(包括边界)，则下列说法正确的是(BD)A．不存在点N满足∠A1NM＝eq\f(π,2)B．满足A1N＝eq\r(,5)的点N的轨迹长度是eq\f(π,2)C．满足MN∥平面A1BC1的点N的轨迹长度是1D．满足B1N⊥A1M的点N的轨迹长度是eq\r(,2)【解析】如图，建立空间直角坐标系，则有A(2,0,0)，M(0，2,1)，N(x，y,0)，A1(2,0,2)，B(2，2,0)，C1(0,2,2)，B1(2,2,2)．对于A，若∠A1NM＝eq\f(π,2)，则eq\o(NA,\s\up6(→))1·eq\o(NM,\s\up6(→))＝0，且eq\o(NA,\s\up6(→))1＝(2－x，－y,2)，eq\o(NM,\s\up6(→))＝(－x，2－y,1)，则eq\o(NA,\s\up6(→))1·eq\o(NM,\s\up6(→))＝(2－x)·(－x)＋(－y)·(2－y)＋2＝(x－1)2＋(y－1)2＝0，即x＝1，y＝1，所以存在点N(1，1,0)满足∠A1NM＝eq\f(π,2)，故A错误．对于B，因为A1N＝eq\r(5)，所以AN＝1，所以点N在底面正方形ABCD内轨迹的长度是以A为圆心，1为半径的圆周长的eq\f(1,4)，故长度为eq\f(1,4)×2π＝eq\f(π,2)，故B正确．对于C，eq\o(A1B,\s\up6(→))＝(0,2，－2)，eq\o(A1C1,\s\up6(→))＝(－2,2,0)，设平面A1BC1的法向量为n＝(x1，y1，z1)，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n·\o(A1B,\s\up6(→))＝2y1－2z1＝0，,n·\o(A1C,\s\up6(→))1＝－2x1＋2y1＝0，))令x1＝1，则n＝(1,1,1)．因为MN∥平面A1BC1，所以eq\o(MN,\s\up6(→))·n＝0，又eq\o(MN,\s\up6(→))＝(x，y－2，－1)，故eq\o(MN,\s\up6(→))·n＝x＋y－3＝0，所以点N的轨迹方程为x＋y－3＝0．因为0≤x≤2,0≤y≤2，所以N在底面内轨迹的长度为eq\r(12＋12)＝eq\r(2)，故C错误．对于D，eq\o(B1N,\s\up6(→))＝(x－2，y－2，－2)，eq\o(A1M,\s\up6(→))＝(－2,2，－1)，因为B1N⊥A1M，所以eq\o(B1N,\s\up6(→))·eq\o(A1M,\s\up6(→))＝0，所以－2(x－2)＋2(y－2)＋2＝0，即x－y－1＝0，故点N的轨迹方程为x－y－1＝0．因为0≤x≤2,0≤y≤2，所以点N在底面内轨迹的长度为eq\r(12＋12)＝eq\r(2)，故D正确．配套精练一、单项选择题1．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，Q是棱DD1上的动点，则过A，Q，B1三点的截面图形不可能是(D)A．等边三角形 B．矩形C．等腰梯形 D．正方形【解析】当点Q与点D1重合时，截面图形为等边三角形AB1D1，如图(1)；当点Q与点D重合时，截面图形为矩形AB1C1D，如图(2)；当点Q不与点D，D1重合时，当Q，R分别为DD1，C1D1的中点，则截面图形为等腰梯形AQRB1，不可能为正方形，如图(3)．图(1)图(2)图(3)2．如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为截面A1C1B上的动点，若DP⊥A1C，则点P的轨迹长度是(B)A．eq\f(\r(2),2) B．eq\r(2)C．eq\f(1,2) D．1【解析】如图，连接DC1，BD，AC．由AA1⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，得BD⊥AA1．而BD⊥AC，AA1∩AC＝A，AA1，AC⊂平面AA1C，则BD⊥平面AA1C．又A1C⊂平面AA1C，于是BD⊥A1C．同理BC1⊥A1C，而BC1∩BD＝B，BC1，BD⊂平面BC1D，因此A1C⊥平面BC1D．因为DP⊥A1C，则DP⊂平面BC1D，而点P为截面A1C1B上的动点，平面A1C1B∩平面BC1D＝BC1，所以点P的轨迹是线段BC1，长度为eq\r(2)．3．如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱BC的中点，用过点A1，E，C1的平面截正方体，则截面周长为(A)A．3eq\r(2)＋2eq\r(5) B．9C．2eq\r(2)＋2eq\r(5) D．3eq\r(2)＋2eq\r(3)【解析】如图，取AB的中点G，连接GE，A1G，AC．因为E为BC的中点，所以GE∥AC，GE＝eq\f(1,2)AC．因为AA1∥CC1，AA1＝CC1，所以四边形ACC1A1为平行四边形，所以AC∥A1C1，AC＝A1C1，所以A1C1∥GE，A1C1＝2GE，所以用过点A1，E，C1的平面截正方体，所得截面为梯形A1C1EG，其周长为2eq\r(2)＋eq\r(5)＋eq\r(2)＋eq\r(5)＝3eq\r(2)＋2eq\r(5)．4．如图，在四棱锥P－ABCD中，AD∥BC，AD⊥平面PAB，AD＝4，BC＝8，AB＝6，∠APD＝∠BPC，则满足上述条件的四棱锥的顶点P的轨迹为(B)A．圆 B．不完整的圆C．抛物线 D．抛物线的一部分【解析】因为AD⊥平面PAB，PA⊂平面PAB，所以AD⊥PA，在Rt△PAD中，tan∠APD＝eq\f(AD,PA)．同理，在Rt△PCB中，tan∠BPC＝eq\f(CB,PB)．由∠APD＝∠BPC，可得eq\f(AD,PA)＝eq\f(CB,PB)，即PB＝2PA．如图，在平面PAB中，以AB所在直线为x轴，线段AB的中点O为原点建立平面直角坐标系，则A(－3,0)，B(3,0)．设P(x，y)，则由PB＝2PA，可得eq\r(x－32＋y2)＝2eq\r(x＋32＋y2)，化简得(x＋5)2＋y2＝16，由于点P与点A，B不共线，则点P的轨迹是不完整的圆．5．已知P是棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1表面上的动点，若直线AP与平面ABCD所成的角的大小为eq\f(π,4)，则点P的轨迹长度为(D)A．3eq\r(2) B．2eq\r(2)＋πC．eq\f(\r(2),2)(4＋π) D．2eq\r(2)＋eq\f(π,2)【解析】若点P在正方形A1B1C1D1内，过点P作PP′⊥平面ABCD于P′，连接AP′，A1P，如图(1)，则∠PAP′为直线AP与平面ABCD所成的角，则∠PAP′＝eq\f(π,4)．又PP′＝1，则PA＝eq\r(2)，得PA1＝1，则点P的轨迹为以圆心为A1、半径为1的圆(落在正方形内的部分)．若点P在正方形ABB1A1内或ADD1A1内，轨迹分别为线段AB1和AD1，如图(2)．由题意可知点P不可能落在其他三个正方形内(不含顶点)，所以点P的轨迹如图(2)所示，故点P的轨迹长度为2eq\r(1＋1)＋eq\f(1,4)×2π＝2eq\r(2)＋eq\f(π,2)．图(1)图(2)二、填空题6．在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是棱BC，CC1的中点，P是侧面ADD1A1上的动点，且PC1∥平面AEF，则点P的轨迹长度为__eq\r(2)__．【解析】以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，E(2，1,0)，F(2,2,1)，C1(2,2,2)，eq\o(AE,\s\up6(→))＝(2,1,0)，eq\o(EF,\s\up6(→))＝(0,1,1)．设平面AEF的法向量为m＝(x1，y1，z1)，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m·\o(AE,\s\up6(→))＝2x1＋y1＝0，,m·\o(EF,\s\up6(→))＝y1＋z1＝0，))取x1＝1，可得m＝(1，－2,2)．因为点P是侧面ADD1A1上的动点，设点P(0，y，z)(0≤y≤2,0≤z≤2)，所以eq\o(C1P,\s\up6(→))＝(－2，y－2，z－2)．因为PC1∥平面AEF，所以eq\o(C1P,\s\up6(→))⊥m，即eq\o(C1P,\s\up6(→))·m＝－2－2(y－2)＋2(z－2)＝0，可得y－z＝－1．分别取线段A1D1，AA1的中点M(0，1,2)，N(0,0,1)，所以点P的轨迹为线段MN，故点P的轨迹长度为MN＝eq\r(,2)．7．在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M为B1C1的中点，若点Q在侧面正方形ADD1A1内(包含边界)且MQ⊥A1C，则点Q的轨迹长度为__eq\r(2)__．【解析】以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A1(2,0,2)，M(1，2,2)，C(0,2,0)．设Q(x,0，z)，则eq\o(A1C,\s\up6(→))＝(－2，2，－2)，eq\o(MQ,\s\up6(→))＝(x－1，－2，z－2)．因为MQ⊥A1C，所以－2(x－1)－4－2(z－2)＝0，化简为x＋z＝1，则点Q的轨迹为线段EF(E，F分别为AD，DD1的中点)，其长度为eq\r(2)．8．已知直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的侧棱长为3，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝eq\f(π,3)，M为棱DD1上的一点且MD＝1，P为底面ABCD内一动点(含边界)，且PM与平面ABCD所成的角为eq\f(π,4)，则点P的轨迹与直四棱柱的交线长为__eq\f(2π,3)__．【解析】由题可知点P的轨迹是以D为圆心，半径为1的圆，所以点P的轨迹与直四棱柱的交线为圆弧，圆弧长为eq\f(2π,3)×1＝eq\f(2π,3)．9．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为3，M，N分别为A1D，D1C的中点，则过B，M，N三点的截面面积是__3eq\r(11)__．【解析】连接AC，如图所示，过点B作AC的平行线交DA的延长线于点E，交DC的延长线于点F，连接EM并延长，交AA1于点G，交DD1于点T，连接FN并延长，交CC1于点H，根据对称性知T在直线FN上，连接BG，BH．因为M为A1D中点，N为D1C中点，所以MN∥AC．又因为AC∥EF，所以EF∥MN，所以E，G，M，T，N，H，F共面，此时△FHC∽△FTD，△EAG∽△EDT，eq\f(CH,DT)＝eq\f(AG,DT)＝eq\f(1,2)，截面TGBH是边长为eq\r(10)的菱形，GH＝3eq\r(2)，BT＝eq\r(22)，所以S＝eq\f(1,2)×3eq\r(2)×eq\r(22)＝3eq\r(11)．10．(2025·郑州二检节选)在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱CC1的中点：(1)若过A，D1，E三点的截面把正方体分成两部分，则该截面的周长为__eq\f(3\r(2),2)＋eq\r(5)__；【解析】如图，取BC的中点F，连接EF，AF．由E是棱CC1的中点，得EF∥BC1∥AD1，四边形AFED1是过A，D1，E三点的正方体截面，周长为eq\r(2)＋eq\f(\r(2),