高中数学导学案 第六节　指数函数

第六节指数函数新课标要求真题分布1.通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念．2．能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点．2025年北京卷T42024年—2023年新高考Ⅰ卷T4必备知识·助学教材清单式排查彰显一个“准”知识清单1.指数函数的概念函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R.2．指数函数的图象与性质项目a>10<a<1图象定义域________________值域________________性质过定点________，即x＝0时，y＝1当x>0时，________；当x<0时，________当x<0时，________；当x>0时，________________函数________函数【常用结论】画指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，(－1，1a)．底数a的大小决定了指数函数图象相对位置的高低，不论是a>1，还是0<a<1，在第一象限内底数越大，函数图象越高，即“底大图高”自主诊断1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝2x－1是指数函数．()(2)函数y＝ax2＋1(a>1)的值域是(0，＋∞)．()(3)2－3>2－4.()(4)若am<an(a>0且a≠1)，则m<n.()2．(人教A版必修一P118练习T1改编)函数y＝-3-x与y＝3x的图象(A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于原点对称D．关于直线y＝x对称3．设a＝0.91.1，b＝1.10.9，c＝1.11.1，则(A．c>b>aB．c>a>bC．a>c>bD．b>a>c4．(人教A版必修一P115T2改编)已知函数y＝f(x)，x∈R，且f(0)＝3，f0.5f0＝2，f1f0.5＝2，…，f0.5nf（0.5n-1）＝2，考教衔接·活用教材探究式精练收获一个“赢”命题点一指数函数的图象及应用例1(链接·2025年全国Ⅰ卷)已知2＋log2x＝3＋log3y＝5＋log5z，则x，y，z的大小关系不可能为()A．x>y>zB．x>z>yC．y>x>zD．y>z>x[听课笔记]真题探源(源自北师大版必修一P92B组T5改编)在同一平面直角坐标系中画出下列各组函数的图象，并讨论它们之间的关系：y＝3x，y＝3x＋3，y＝3x－1.学霸笔记：对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．命题点二指数函数的性质及应用考向1比较指数式的大小例2已知0<a<1<b，则()A．ba<ab<aa<bbB．ab<aa<ba<bbC．bb<ab<aa<baD．ab<ba<aa<bb[听课笔记]学霸笔记：(1)同底数幂比较大小时构造指数函数，根据其单调性比较．(2)指数相同底数不同时分别画出以两幂底数为底数的指数函数图象，当x取相同幂指数时可观察出函数值的大小．(3)底数、指数都不相同时，取与其中一底数相同与另一指数相同的幂与两数比较，或借助“1”与两数比较．跟踪训练(衔接·人教A版必修一P117例3改编)下列大小关系正确的是()A．1.72.5>1.73B．1.70.3<0.93.1C．1.52.5<1.53.2D．0.6－1.2>0.6－1.5考向2解简单的指数不等式例3求不等式2x2－2x－3<(18)x－1[听课笔记]学霸笔记：(1)性质法：解形如ax＞ab的不等式，可借助函数y＝ax的单调性求解．如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况进行讨论．(2)隐含性质法：解形如ax＞b的不等式，可先将b转化为以a为底数的指数幂的形式，再借助函数y＝ax的单调性求解．跟踪训练函数f(x)＝9-3x+1的定义域是命题点三指数型函数性质的综合问题例4(1)(链接·2023年新高考Ⅰ卷)设函数f(x)＝2x(x－a)在区间(0，1)上单调递减，则a的取值范围是()A．(－∞，－2] B．[－2，0)C．(0，2] D．[2，＋∞)(2)已知函数f(x)＝(12025)ax2－2x＋2a的最大值为2025，则a的值为(A．12B．－C．1D．12或－[听课笔记]学霸笔记：(1)函数y＝af(x)(a＞0，且a≠1)的单调性可根据复合函数“同增异减”的规律进行判断，其最值要结合单调性转化为f(x)的最值进行分析求解．(2)对于函数y＝f(ax)(a＞0，且a≠1)，一般要通过换元令ax＝t，化为函数y＝g(t)再研究跟踪训练(1)(2026·河南名校联考)已知函数f(x)＝3sinx＋m的值域为43，4，则m＝A．4B．3C．2D．1(2)函数f(x)＝4x－2x＋1的单调递增区间是________．提示：请完成课时作业11第六节指数函数必备知识·助学教材知识清单2．R(0，＋∞)(0，1)y>10<y<1y>10<y<1增减自主诊断1．答案：(1)×(2)×(3)√(4)×2．解析：因为y＝－3－x，即－y＝3－x，所以函数y＝－3－x与y＝3x的图象关于原点对称．答案：C3．解析：因为1.11.1>1.10.9>1>0.91.1，所以c>b>a.答案：A4．解析：∵f0.5f0＝2，f1f0.5＝2，…，f0.5nf（0.5n-1）＝2，n∈N*，∴f0.5nf0＝2n，∴f(0.5n)＝答案：3·4x考教衔接·活用教材例1解析：方法一设2＋log2x＝3＋log3y＝5＋log5z＝m，所以令m＝2，则x＝1，y＝3-1＝13，z＝5-3＝1125，此时x>y>z，A有可能；令m＝5，则x＝8，y＝9，z＝1，此时y>x>z，C有可能；令m＝8，则x＝26＝64，y＝35＝243，z＝53方法二设2＋log2x＝3＋log3y＝5＋log5z＝m，所以x＝2m-2，y＝3m-3，z＝5m-5，根据指数函数的单调性，易知各方程只有唯一的根，作出函数y＝2x-2，y＝3x-3，y＝5x-5的图象，以上方程的根分别是函数y＝2x-2，y＝3x-3，y＝5x-5的图象与直线x＝m的交点纵坐标，如图所示．易知，随着m的变化可能出现x>y>z，y>x>z，y>z>x，z>y>x.故选B.答案：B真题探源解析：在同一坐标系内作出函数y＝3x，y＝3x+3，y＝3x-1的图象，如图，函数y＝3x+3的图象可看作由函数y＝3x的图象向左平移3个单位而得；函数y＝3x-1的图象可看作由函数y＝3x的图象向右平移1个单位而得．例2解析：因为函数y＝ax(0<a<1)是减函数，所以0<ab<aa<1，同理，函数y＝bx(b>1)是增函数，所以1<ba<bb.综上，可得ab<aa<ba<bb.故选B.答案：B跟踪训练解析：对于A，函数y＝1.7x在R上单调递增，则1.72.5<1.73，故A错误；对于B，函数y＝1.7x在R上单调递增，则1.70.3>1.70＝1，函数y＝0.9x在R上单调递减，则0.93.1<0.90＝1，因此1.70.3>0.93.1，故B错误；对于C，函数y＝1.5x在R上单调递增，则1.52.5<1.53.2，故C正确；对于D，函数y＝0.6x在R上单调递减，则0.6-1.2<0.6-1.5，故答案：C例3解析：原不等式可化为2x2－2x－3<2-3(x-1)．∵y＝2x是增函数，∴x2－2x－3<－3(x－1)．整理得x2＋x－6<0，∴－3<x<2，故原不等式的解集为{x|－3<x<2}．跟踪训练解析：要使函数f(x)＝9-3x+1有意义，则9－3x+1≥0，变形可得3x+1≤9＝32，因为指数函数y＝3u在R上单调递增，则x＋1≤2，解得x≤1，故函数f(x)的定义域是(－∞答案：(－∞，1]例4解析：(1)函数y＝2x在R上单调递增，而函数f(x)＝2x(x－a)在区间(0，1)上单调递减，则有函数y＝x(x－a)＝x-a22－a24在区间(0，1)上单调递减，因此a2≥1，解得a≥2，所以a的取值范围是[2(2)令y＝12025t，t＝ax2－2x＋2a，因为y＝12025t单调递减，又因为函数f(x)＝12025ax2-2x+2a的最大值为2025，则t＝ax2－2x＋2a的最小值为－1，所以a>0，且当x＝－-22a＝1a时，tmin＝8a2-44a＝－1，即得2a2＋a－1＝0，解得答案：(1)D答案：