高中数学导学案 第四节　直线与圆、圆与圆的位置关系

第四节直线与圆、圆与圆的位置关系新课标要求真题分布1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系．2．能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题．2025年全国Ⅰ卷T72024年—2023年新高考Ⅰ卷T6，新高考Ⅱ卷T15必备知识·助学教材清单式排查彰显一个“准”知识清单1.直线与圆的位置关系设直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，d为圆心(a，b)到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ.位置关系几何法代数法相交d________rΔ________0相切d________rΔ________0相离d________rΔ________02.圆与圆的位置关系已知两圆C1：(x－x1)2＋(y－y1)2＝r1C2：(x－x2)2＋(y－y2)2＝r2则圆心距d＝|C1C2|＝x1两圆C1，C2有以下位置关系：位置关系外离内含相交内切外切圆心距与半径的关系________________________________________图示公切线条数40213【常用结论】1．圆的切线方程的常用结论(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.(3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.2．设圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，(1)若两圆相交，将两圆方程直接作差，得到两圆公共弦所在直线方程．两圆圆心的连线垂直平分公共弦．(2)若两圆相切，将两圆方程直接作差，得到两圆公切线所在的直线方程．自主诊断1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若直线平分圆的周长，则直线一定过圆心．()(2)在圆中最长的弦是直径．()(3)若直线的方程与圆的方程组成的方程组有解，则直线与圆相交．()(4)联立两相交圆的方程，并消去二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在直线的方程.()2．(人教A版选修一P93练习T1(2)改编)直线3x＋4y＋2＝0与圆x2＋y2－2x＝0的位置关系是()A．相交B．相切C．相离D．相切或相交3．(人教A版选修一P98练习T1改编)已知圆C1：x2＋y2＝4与圆C2：x2＋y2－8x－6y＋16＝0的位置关系是()A．外切B．相交C．外离D．内切4．(人教A版选修一P93T3改编)直线2x－y＋2＝0被圆(x－1)2＋(y－2)2＝4截得的弦长为________．考教衔接·活用教材探究式精练收获一个“赢”命题点一直线与圆的位置关系例1(1)(多选)已知直线l：ax＋by－r2＝0与圆C：x2＋y2＝r2，点A(a，b)，则下列说法正确的是()A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切(2)(2025·全国Ⅰ卷)已知圆x2＋(y＋2)2＝r2(r>0)上到直线y＝3x＋2的距离为1的点有且仅有两个，则r的取值范围是()A．(0，1) B．(1，3)C．(3，＋∞) D．(0，＋∞)[听课笔记]真题探源(源自人教A版选修一P99习题T13)圆x2＋y2＝4上恰有三个点到直线l：y＝x＋b的距离等于1，此时b＝________．学霸笔记：(1)几何法：利用d与r的关系判断．(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断．(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆上或圆内，可判断直线与圆相交或相切．上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法更适用于动直线问题．命题点二圆的弦长、切线问题考向1圆的弦长问题例2(链接·2023年新高考Ⅱ卷)已知直线l：x－my＋1＝0与⊙C：(x－1)2＋y2＝4交于A，B两点，写出满足“△ABC面积为85”的m的一个值________[听课笔记]真题探源(源自人教A版选修一P98习题T4)求圆心在直线3x－y＝0上，与x轴相切，且被直线x－y＝0截得的弦长为27的圆的方程．学霸笔记：(1)代数法：将直线和圆的方程联立方程组，根据弦长公式求弦长．(2)几何法：若弦心距为d，圆的半径长为r，则弦长l＝2r2考向2圆的切线问题例3(1)(链接·2023年新高考Ⅰ卷)过点(0，－2)与圆x2＋y2－4x－1＝0相切的两条直线的夹角为α，则sinα＝()A．1 B．15C．104 D．(2)已知P为直线l：3x－4y＋9＝0上一点，过P作圆C：(x－2)2＋y2＝4的切线，则最短切线长为________．[听课笔记]学霸笔记：(1)过一点求圆的切线方程的两种求法．①代数法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式Δ＝0进而求得k.注意斜率不存在的情况；②几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d，然后令d＝r，进而求出k.注意斜率不存在的情况．特别地，当点在圆上时，可直接利用圆心与切点的连线的斜率及切线的性质求切线方程．(2)过圆外一点P引圆的切线，求切线长时，常利用点P、圆心、切点构成的直角三角形求解．跟踪训练(1)圆O：x2＋y2＝25在点P(4，3)处的切线方程为()A．4x＋3y－25＝0B．3x＋4y－25＝0C．4x－3y－25＝0D．2x＋3y－17＝0(2)过圆外一点P(－1，1)作圆x2＋y2－4x－4y＝1的切线，则切线方程为________________．命题点三圆与圆的位置关系例4(1)(多选)已知圆O1：(x－1)2＋(y－2)2＝4与圆O2：x2＋y2＝r2(r>0)，下列选项正确的有()A．若r＝1，则两圆外切B．若r＝1，则直线x＝－1为两圆的一条公切线C．若r＝3，则两圆公共弦所在直线的方程为x＋2y＝0D．若r＝3，则两圆公共弦的长度为4(2)写出与圆x2＋y2＝1和(x－3)2＋(y－4)2＝16都相切的一条直线的方程________________．[听课笔记]学霸笔记：(1)处理与两圆的位置关系相关的问题时，多用圆心距与两圆半径的和或差的大小关系判断，一般不采用代数法．重视两圆内切的情况，作图观察．(2)若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到．(3)求两圆公共弦长时，常选其中一圆，由弦心距d，半弦长l2，半径r跟踪训练(1)(衔接·人教A版选修一P103T13改编)圆x2＋y2－10x－10y＝0与圆x2＋y2－6x＋2y－40＝0的公共弦长是________．(2)(衔接·人教A版选修一P98T10改编)经过点M(3，－1)，且与圆C：x2＋y2＋2x－6y＋5＝0相切于点N(1，2)的圆的方程为________________．提示：请完成课时作业50第四节直线与圆、圆与圆的位置关系必备知识·助学教材知识清单1．<>＝＝><2．d>r1＋r20≤d<|r1－r2||r1－r2|<d<r1＋r2d＝|r1－r2|d＝r1＋r2自主诊断1．答案：(1)√(2)√(3)×(4)√2．解析：由圆的方程得圆心(1，0)，半径r＝1，∵圆心到直线3x＋4y＋2＝0的距离d＝3+232+42＝1答案：B3．解析：易知圆C1：x2＋y2＝4的圆心为C1(0，0)，半径为r1＝2，圆C2：x2＋y2－8x－6y＋16＝0可化为(x－4)2＋(y－3)2＝9，圆心为C2(4，3)，半径为r2＝3；圆心距|C1C2|＝42+32＝5＝r1答案：A4．解析：圆的圆心坐标为(1，2)，半径r＝2，圆心到直线的距离d＝2-2+222+-12＝25，所以弦长l＝2r答案：8考教衔接·活用教材例1解析：(1)圆心C(0，0)到直线l的距离d＝r2a2+b2，若点A(a，b)在圆C上，则a2＋b2＝r2，所以d＝r2a2+b2＝|r|，则直线l与圆C相切，故A正确；若点A(a，b)在圆C内，则a2＋b2<r2，所以d＝r2a2+b2>|r|，则直线l与圆C相离，故B正确；若点A(a，b)在圆C外，则a2＋b2>r2，所以d＝r2a2+b2<|r|，则直线l与圆C相交，故C错误；若点A(a，b)在直线l上，则a2＋b2－r2＝0解析：(2)圆x2＋(y＋2)2＝r2(r>0)的圆心的坐标为(0，－2)，圆心到直线y＝3x＋2的距离d＝0×3-由题意得|r－d|<1，即|r－2|<1，解得1<r<3.故选B.答案：(1)ABD答案：(2)B真题探源解析：由题意得圆的圆心O(0，0)，半径为2，若圆上恰有三个点到直线l的距离为1，则圆心O到直线l：x－y＋b＝0的距离等于1，∴b2＝1，解得b＝±2答案：±2例2解析：由条件知⊙C的圆心C(1，0)，半径r＝2，C到直线l的距离d＝21+m2，|AB|＝2r2-d2＝24-21+m22＝4m1+m2.由S△ABC＝85，得12×4m答案：2(答案不唯一，可以是±12，±2中任意一个真题探源解析：设圆心坐标为(a，3a)，半径r2＝(3a)2＝9a2，(a，3a)到直线x－y＝0的距离d＝a-3a2＝2|a|所以(272)2＋(2|a|)2＝9a2，解得a＝1或a当a＝1时，圆的方程为(x－1)2＋(y－3)2＝9；当a＝－1时，圆的方程为(x＋1)2＋(y＋3)2＝9.例3解析：(1)如图，x2＋y2－4x－1＝0得x-22＋y2＝5，所以圆心坐标为(2，0)，半径r＝5，所以圆心到点(0，－2)的距离为2-02+0+22＝22.由于圆心与点(0，－2)的连线平分角α，所以sinα2＝r22＝522＝104，所以cosα2＝64，所以sinα＝2sinα解析：(2)依题意，圆C：(x－2)2＋y2＝4的圆心C(2，0)，半径r＝2，过点P作圆C的切线PA，A为切点，连接PC，AC，如图，显然AC⊥PA，在Rt△PAC中，|PA|＝PC2-AC2＝PC2-r2＝PC2-4，因此，要切线长PA最短，当且仅当线段PC长最短即可，而线段PC长是定点C与直线l上任意一点P之间的距离，于是得线段PC长的最小值是点C到直线l的距离d，而d＝3×2-4答案：(1)B答案：(2)5跟踪训练解析：(1)kOP＝3-04-0＝34，由切线l与直线OP垂直，得kl·kOP＝－1，得kl＝－43，又因为切线l经过P(4，3)，所以切线l的方程为y－3＝－43(x－4)，即4x＋3y－25＝(2)设圆x2＋y2－4x－4y＝1的圆心为C(2，2)，半径r＝3，若切线斜率不存在，则切线方程为x＝－1，此时圆心C(2，2)到直线x＝－1的距离为3，等于半径，符合题意；若切线斜率存在，设斜率为k，则切线方程为y－1＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋1＝0，由题意可得圆心C(2，2)到直线kx－y＋k＋1＝0的距离等于半径，即3k-1k2+1＝3，解得k＝－43，所以切线方程为4x＋3y＋1＝0.综上，过圆外一点P(－1，1)作圆x2＋y2－4x－4y＝1的切线，则切线方程为x＝－1或4x＋3y答案：(1)A(2)x＝－1或4x＋3y＋1＝0例4解析：(1)圆O1的圆心为O1(1，2)，半径为2；圆O2的圆心为O2(0，0)，半径为r，对于A，若两圆外切，则|O1O2|＝12+22＝5＝2＋r，解得r＝5－2，A错误；对于B，若r＝1，圆心O1到直线x＝－1的距离为2，则直线x＝－1与圆O1相切，圆心O2到直线x＝－1的距离为1，则直线x＝－1与圆O2相切，故当r＝1时，直线x＝－1为两圆的一条公切线，B正确；对于C，若r＝3，因为3－2<|O1O2|＝5<3＋2，此时两圆相交，将两圆方程相减得2x＋4y－5＝5，即x＋2y－5＝0，故当r＝3时，两圆公共弦所在直线的方程为x＋2y－5＝0，C错误；对于D，当r＝3时，圆心O2到直线x＋2y－5＝0的距离为d＝512+22＝5，此时两圆的公共弦长度为2r2(2)由题意知两圆的圆心和半径分别为O1(0