高中数学导学案 第一节　计数原理

第一节计数原理新课标要求真题分布1.理解分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意义．2．通过实例，理解排列、组合的概念；能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式．2025年—2024年新高考Ⅱ卷T142023年新高考Ⅰ卷T13，新高考Ⅱ卷T3必备知识·助学教材清单式排查彰显一个“准”知识清单1.两个计数原理(1)分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝________种不同的方法．(2)分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝________种不同的方法．2．排列与组合的概念名称定义排列从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素按照________排成一列组合并成为一组3.排列数与组合数(1)排列数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有_____________的个数，用符号________表示．(2)组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有_____________的个数，用符号________表示．4．排列数、组合数的公式及性质公式Anm＝________________________＝________________________(n，m∈N*，且mCnm＝AnmAmm＝______________(n，m性质0！＝________；AnnCn0＝1；Cnm＝C【常用结论】排列数、组合数常用公式1Anm2A(3)(n＋1)！－n！＝n·n！.4k5Cnm＋Cn-1m＋…＋C自主诊断1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在分类加法计数原理中，某两类不同方案中的方法可以相同．()(2)在分步乘法计数原理中，事情是分两步完成的，其中任何一个单独的步骤都能完成这件事．()(3)所有元素完全相同的两个排列为相同排列．()(4)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同．()2．(人教A版选修三P6例5改编)给程序模块命名，需要用3个字符，其中首字符要求用字母A～G或U～Z，后两个字符要求用数字1～9，最多可以给________个程序模块命名．3．(人教A版选修三P20T3改编)一个火车站有8股岔道，如果每股道只能停放1列火车，现要停放4列不同的火车，则共有________种不同的停放方法．4．(人教A版选修三P26T3改编)壹圆、伍圆、拾圆、贰拾圆的人民币各一张，一共可以组成________种币值．考教衔接·活用教材探究式精练收获一个“赢”命题点一两个计数原理的应用例1(1)由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有()A．48个B．52个C．60个D．120个(2)有红、黄、蓝三种颜色，对如图所示的正五角星的内部涂色(分割成六个不同区域)，要求每个区域涂一种颜色且相邻部分(有公共边的两个区域)的颜色不同，则不同的涂色方法有()A．48种B．64种C．96种D．144种(3)(链接·2024年新高考Ⅱ卷)在如图的4×4的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有________种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是________．11213140122233421322334315243444[听课笔记]学霸笔记：(1)一般是先分类再分步，在分步时可能又用到分类加法计数原理．(2)解决涂色问题，可按颜色的种数分类，也可按不同的区域分步完成．(3)对于较复杂的两个原理综合应用问题，可恰当地列出示意图或列出表格，使问题形象化、直观化．跟踪训练(1)(衔接·人教A版选修三P12T8(1)改编)4名同学分别报名参加学校的足球队、篮球队、乒乓球队，每人限报其中的一个运动队，则不同的报名方法种数是()A．12B．24C．64D．81(2)(衔接·人教A版选修三P27T17改编)如图，现要用5种不同的颜色对某市的4个区县地图进行着色，要求有公共边的两个地区不能用同一种颜色，共有________种不同的着色方法．命题点二排列问题例2(1)(2026·大连一模)某班有甲、乙、丙、丁四名学生依次参加接力跑的4×100m接力比赛，已知甲不能站在第一位，乙不能站在第二位，则可能的安排排列顺序有()A．8种 B．14种C．18种 D．24种(2)(链接·2022年新高考Ⅱ卷)有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同的排列方式共有()A．12种B．24种C．36种D．48种(3)(2026·佛山模拟)现将2本不同的数学书、3本不同的物理书、1本化学书放在一个单层的书架上，且同类的书各不相邻，则不同的放法有()A．120种 B．144种C．96种 D．160种[听课笔记]学霸笔记：求解排列应用问题的常用方法(1)直接法：直接利用排列数公式列式计算．(2)优先法：优先安排特殊元素或特殊位置．(3)捆绑法：把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列．(4)插空法：不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空隙当中．(5)间接法：正难则反、等价转化的方法．跟踪训练(1)(衔接·人教A版选修三P26T9改编)学校要安排一场文艺晚会的11个节目的演出顺序．除第1个节目和最后1个节目已确定外，4个音乐节目要求排在第2，5，7，10的位置，3个舞蹈节目要求排在第3，6，9的位置，2个曲艺节目要求排在第4，8的位置，则不同的方法种数是()A．48B．144C．288D．576(2)某种产品的加工需要经过6道工序，如果其中某2道工序必须相邻，另外有2道工序不能相邻，那么加工顺序的种数为()A．72B．144C．288D．156命题点三组合问题例3(1)(2026·绥化模拟)甲盒子中有大小、材质完全相同的5个红球和3个蓝球；乙盒子中有大小、材质完全相同的6个红球和2个蓝球．若从甲、乙两个盒子中各随机取出2个球，则取出的4个球中恰有3个红球的不同取法共有()A．150种B．180种C．300种D．345种(2)(2026·呼和浩特模拟)某公司的一个部门有6名男员工和4名女员工，从该部门选3人组成一个项目组，要求该项目组男、女员工都有，则不同的选法种数为()A．84B．90C．96D．100(3)(链接·2023年新高考Ⅰ卷)某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有________种(用数字作答)．[听课笔记]学霸笔记：组合问题常有两种题型(1)“含有”或“不含有”问题：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．(2)“至少”或“至多”问题：用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法，分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理．跟踪训练(衔接·人教A版选修三T27习题T13)从5名男生和4名女生中选出4人去参加一项创新大赛．(1)如果4人中男生、女生各选2人，那么有多少种选法？(2)如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，那么有多少种选法？(3)如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，那么有多少种选法？(4)如果4人中必须既有男生又有女生，那么有多少种选法？提示：请完成课时作业61第一节计数原理必备知识·助学教材知识清单1．(1)m＋n(2)m×n2．一定顺序3．(1)不同排列Anm(2)4．n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)n！n-m！n！自主诊断1．答案：(1)×(2)×(3)×(4)√2．解析：根据题意，程序模块命名首字符要求用英文字母A～G或U～Z，有7＋6＝13(种)情况，后两个字符要求用数字1～9，有9×9＝81(种)情况，则有13×81＝1053(种)情况，即最多可以给1053个程序模块命名．答案：10533．解析：一个火车站有8股岔道，如果每股道只能停放1列火车，现要停放4列不同的火车，则不同的停放方法数为A84＝8×7×6×5答案：16804．解析：壹圆、伍圆、拾圆、贰拾圆的人民币各1张，若取1张，可以组成4种币值；若取2张，可以组成C42＝6种币值；若取3张，可以组成C43＝4种币值；若取4张，可以组成C44＝1种币值；即一共可以组成4＋4＋答案：15考教衔接·活用教材例1解析：(1)由题意可知，分为两种情况，情况一：个位是0，则有不同的结果4×5＝20(个)；情况二：个位不是0，则有不同结果4×4×2＝32(个)．所以共有20＋32＝52(个)．故选B.解析：(2)根据题意，假设正五角星的区域为A，B，C，D，E，F，如图所示，先对A区域涂色，有3种方法，再对B，C，D，E，F这5个区域进行涂色，因为B，C，D，E，F这5个区域都与A相邻，所以每个区域都有2种涂色方法，所以共有3×2×2×2×2×2＝96(种)涂色方法．故选C.解析：(3)由题意知，选4个方格，每行和每列均恰有一个方格被选中，则第一列有4个方格可选，第二列有3个方格可选，第三列有2个方格可选，第四列有1个方格可选，所以共有4×3×2×1＝24(种)选法；每种选法可标记为(a，b，c，d)，a，b，c，d分别表示第一、二、三、四列的数字，则所有的可能结果为(11，22，33，44)，(11，22，34，43)，(11，22，33，44)，(11，22，34，42)，(11，24，33，43)，(11，24，33，42)，(12，21，33，44)，(12，21，34，43)，(12，22，31，44)，(12，22，34，40)，(12，24，31，43)，(12，24，33，40)，(13，21，33，44)，(13，21，34，42)，(13，22，31，44)，(13，22，34，40)，(13，24，31，42)，(13，24，33，40)，(15，21，33，43)，(15，21，33，42)，(15，22，31，43)，(15，22，33，40)，(15，22，31，42)，(15，22，33，40)，所以选中的方格中，(15，21，33，43)的4个数之和最大，为15＋21＋33＋43＝112.答案：(1)B答案：(2)C答案：(3)24112跟踪训练解析：(1)由分步乘法计数原理可得，不同的报名方法有3×3×3×3＝81(种)．解析：(2)对于区域Ⅰ，有5种颜色可选，即有5种情况；对于区域Ⅱ，与区域Ⅰ相邻，有4种颜色可选，即有4种情况；对于区域Ⅲ，与区域Ⅰ和Ⅱ相邻，有3种颜色可选，即有3种情况；对于区域Ⅳ，与区域Ⅱ和Ⅲ相邻，有3种颜色可选，即有3种情况，则不同的着色方案有5×4×3×3＝180(种)．答案：(1)D答案：(2)180例2解析：(1)分甲站在第二位和不站在第二位两种情况讨论，①当甲站在第二位时，余下三人可以全排列，此时共有1×A33＝6种情况；②当甲不站在第二位时，甲有2个位置可选，此时乙也有2种情况可选，余下两人可以全排列，则此时共有2×2×A22＝解析：(2)先利用捆绑法排乙、丙、丁、戊四人，再用插空法选甲的位置，共有A22A33C解析：(3)第一种情况，首先化学书在2本数学书的中间，数学书排列有2种方法，再让三本物理书插空，有A43＝24种方法，所以共有2×24＝48种方法，第二种情况，若1本物理书在2本数学书的中间，则这3本书看成1个元素，有3A22＝6种方法，再和化学书排列有A22＝2种方法，最后剩下的2本物理书插空，有A32＝6种方法，所以共有6×2×6＝72种方法．综上，共有答案：(1)B答案：(2)B答案：(3)A跟踪训练解析：(1)4个音乐节目要求排在第2，5，7，10的位置，有A44＝24(种)排法；3个舞蹈节目要求排在第3，6，9的位置，有A33＝6(种)排法；2个曲艺节目要求排在第4，8的位置，有A22＝2(种)排法．故共有24×6×2＝解析：(2)根据题意，设两道必须相邻的工序为a，b，不能相邻的工序为c，d，剩下的两道工序为e，f，先将a与b看作一个整体，与e，f进