高中数学导学案 第一节　平面向量的概念与线性运算

第一节平面向量的概念与线性运算新课标要求真题分布1.了解平面向量的实际背景，理解平面向量的意义和两个向量相等的含义．理解平面向量的几何表示和基本要素．2．掌握平面向量加、减运算及运算法则，理解其几何意义．3．掌握平面向量数乘运算及运算法则，理解其几何意义．理解两个平面向量共线的含义，了解平面向量线性运算的性质及其几何意义．2025年全国Ⅰ卷T62024年北京卷T5必备知识·助学教材清单式排查彰显一个“准”知识清单1.向量的有关概念(1)向量：既有大小又有________的量叫做向量，向量的大小称为向量的________．(2)零向量：长度为________的向量，记作________．(3)单位向量：长度等于____________长度的向量．(4)平行向量：方向相同或________的非零向量，也叫做共线向量，规定：零向量与任意向量________．(5)相等向量：长度相等且方向________的向量．(6)相反向量：长度相等且方向________的向量．2．向量的线性运算向量运算法则(或几何意义)运算律加法交换律：a＋b＝________；结合律：(a＋b)＋c＝________减法a－b＝a＋(－b)数乘|λa|＝________，当λ>0时，λa的方向与a的方向________；当λ<0时，λa的方向与a的方向________；当λ＝0时，λa＝________λ(μa)＝________；(λ＋μ)a＝________；λ(a＋b)＝________3.向量共线定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使________．【常用结论】1．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的向量，即A1A2+A2A3+A3A4+…+A2．若F为线段AB的中点，O为平面内任意一点，则OF＝3．若A，B，C是平面内不共线的三点，则PA+PB+PC＝0⇔P为△ABC4．若OA＝λOB+μOC(λ，μ为常数)，则A，B，C自主诊断1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b.()(2)单位向量都相等．()(3)任一非零向量都可以平行移动．()(4)起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量．()2．(人教A版必修二P5T4改编)如图，在矩形ABCD中，AB＝2BC＝2，M，N分别为边AB，CD的中点，在以A，B，C，D，M，N为起点和终点的所有有向线段表示的向量中，相等向量共有()A．12对B．18对C．20对D．24对3．(多选)(人教A版必修二P22T4改编)化简以下各式，结果为0的有()A．AB+BC+CAC．OD-OA+AD4．(人教A版必修二P16例8改编)已知a，b是两个不共线的向量，向量b－ta，12a-32b考教衔接·活用教材探究式精练收获一个“赢”命题点一平面向量的基本概念例1下列说法错误的是()A．两个相等向量，若它们的起点相同，则终点也相同B．零向量的方向是任意的C．若AB＝DC，则四边形ABCD不一定是平行四边形D．若a∥b，b∥c，则a∥c[听课笔记]学霸笔记：(1)非零向量的平行具有传递性；(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关；(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量；(4)aa是与非零向量a同方向的单位向量跟踪训练(多选)下列命题中正确的有()A．平行向量就是共线向量B．相反向量就是方向相反的向量C．a与b同向，且|a|>|b|，则a>bD．两个向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件命题点二平面向量的线性运算考向1向量加、减的几何意义例2若AB＝AC＝AB-AC＝2，则AB+ACA．2B．3C．23D．4[听课笔记]学霸笔记：(1)根据两个向量的和与差，构造相应的平行四边形或三角形，再结合其他知识求解．(2)平面几何中，如果出现平行四边形或可能构造出平行四边形或三角形的问题，那么可考虑利用向量知识来求解．跟踪训练已知菱形ABCD的边长为2，则向量AB-BC+考向2平面向量的线性运算例3(1)(链接·2022年新高考Ⅰ卷)在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA.记CA＝m，CD＝n，则CBA．3m－2nB．－2m＋3nC．3m＋2nD．2m＋3n(2)(2026·深圳模拟)如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为边AB，BC上的点，且AM＝MB，CN＝2NB，记AB＝a，AD＝b，则MNA．13a+1C．13a+16真题探源(源自人教A版必修二P24习题T22)如图，O是平行四边形ABCD外一点，用OA，OB，学霸笔记：(1)尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的向量或首尾相接的向量；(2)充分利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何性质，把未知向量转化为已知向量．命题点三共线向量定理的应用考向1判定向量共线、三点共线例4设e1，e2是平面内的一组基底，MN＝3e1+2e2，A．M，N，PB．M，N，QC．M，P，QD．N，P，Q[听课笔记]学霸笔记：(1)a∥b⇔a＝λb(b≠eq\o(0,\s\up6(→))(2)当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线，即A，B，C三点共线⇔AB与AC共线．跟踪训练(衔接·人教A版必修二P61复习参考题T13(1))已知a，b是不共线的向量，且AB＝a+5b，BC＝-2a+8b，A．A，B，D三点共线B．A，B，C三点共线C．B，C，D三点共线D．A，C，D三点共线考向2利用共线向量定理求参数例5(2026·吉安模拟)已知向量a，b不共线，且向量a＋λb与(λ－1)a＋2b方向相同，则实数λ的值为________．[听课笔记]学霸笔记：已知向量共线求参数，常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解．若两向量不共线，必有向量的系数为零，利用待定系数法建立方程(组)，从而求得参数．跟踪训练(衔接·人教A版必修二P16例8)已知a，b是两个不共线的向量，向量b－ta，12a-32b提示：请完成课时作业31第一节平面向量的概念与线性运算必备知识·助学教材知识清单1．(1)方向模(2)00(3)1个单位(4)相反平行(5)相同(6)相反2．b＋aa＋(b＋c)|λ||a|相同相反0(λμ)aλa＋μaλa＋λb3．b＝λa自主诊断1．答案：(1)×(2)×(3)√(4)√2．解析：由题意得，AD＝MN＝BC，故相等向量有3对；AM＝MB＝DN＝NC，故相等向量有6对；AN＝MC，故相等向量有1对；BN＝MD，故相等向量有1对；AB＝DC，故相等向量有1对.因此共有12对，再加上它们的方向相反的向量也有12对，所以总共有24对．答案：D3．解析：对于A，AB+BC+CA＝AC+CA＝0，故A正确；对于B，AB-AC+BD-CD＝(AB+BD)－(AC+CD)＝AD-AD＝0，故B正确；对于C，OD-OA答案：ABD4．解析：由题意知，存在实数λ，使得b－ta＝λ(12a－32b)，则t=-12λ答案：1考教衔接·活用教材例1解析：对于A，两个相等向量，若它们的起点相同，则终点也相同，A正确；对于B，零向量的方向是任意的，B正确；对于C，由|AB|＝|DC|，得AB，DC不一定平行，则四边形ABCD不一定是平行四边形，C正确；对于D，若a∥b，b∥c，当b＝0时，a，c可以不共线，即a∥c不一定成立，D答案：D跟踪训练解析：由平行向量和共线向量的定义可知，A正确；因为相反向量是方向相反，长度相等的两个向量，B错误；因为向量是既有大小又有方向的量，所以任何两个向量都不能比较大小，C错误；因为两个向量平行不能推出两个向量相等，而两个向量相等，则这两个向量平行，因此两个向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件，D正确．故选AD.答案：AD例2解析：因为|AB＝|AC|＝|AB-AC|＝2，所以△ABC是边长为2的正三角形，所以|AB+AC|为△ABC的边BC上的高的2倍，所以|AB+答案：C跟踪训练解析：由题图知|AB-BC+CD|＝|AB+CB+CD|＝|答案：2例3解析：(1)因为BD＝2DA，所以CB＝CA+AB＝CA＋3AD＝CA＋3(CD-CA)＝－2CA＋3CD＝－2m＋3(2)因为BC＝BA+AD+DC＝－a＋b＋12a＝b－12a，所以BN＝13BC＝13b－16a，又MB＝12AB＝12a，所以MN＝MB+BN＝12答案：(1)B(2)A真题探源解析：OD＝OA+AD＝OA+BC＝例4解析：e1，e2是平面内的一个基底，MN＝3e1＋2e2，MP＝4e1－e2，MQ＝5e1－4e2，因为34≠2-1，45≠-1-4，35≠2-4，则MN与MP，MN与MQ，MP与MQ不共线，所以M，N，P不共线，M，N，Q不共线，M，P，Q不共线，故排除ABC；注意到MN＝3e1＋2e2＝2(4e1－e2)－(5e1－4e2)＝2答案：D跟踪训练解析：BD＝BC+CD＝－2a＋8b＋3(a－b)＝a＋5b＝AB，所以