高中数学导学案 第三节　圆的方程

第三节圆的方程新课标要求真题分布1.回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程．2．能根据圆的方程解决一些简单的数学问题．2025年全国Ⅰ卷T7必备知识·助学教材清单式排查彰显一个“准”知识清单1.圆的定义和圆的方程定义圆是平面内到定点的距离等于________的点的集合方程标准(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)圆心C________半径为________一般x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)充要条件：____________圆心坐标：____________半径r＝______________剖析当D2＋E2－4F>0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的是圆；当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示一个点-D2，-E2；当D2＋E2－4F<0时，方程x2＋y2＋Dx＋2．点与圆的位置关系平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系：(1)|MC|＞r⇔M在________，即(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2⇔M在圆外；(2)|MC|＝r⇔M在________，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔M在圆上；(3)|MC|＜r⇔M在________，即(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2⇔M在圆内．【常用结论】1．圆的“直径式”方程：以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为x-x1·x-x2+y-2．圆心在过切点且与切线垂直的直线上．3．圆心在任一弦的垂直平分线上．自主诊断1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)确定圆的几何要素是圆心和半径．()(2)方程(x＋a)2＋(y＋b)2＝t2(t∈R)表示圆心为(a，b)，半径为t的圆．()(3)方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圆．()(4)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则x02+y02＋Dx0＋Ey2．(人教A版选修一P88习题T1(2)改编)已知圆C的方程是x2＋y2＋2x－4y－4＝0，则圆心C的坐标是()A．(－2，1)B．(2，－1)C．(－1，2)D．(2，－1)3．(人教A版选修一P85T2改编)已知点P(2，1)是圆x2＋y2＋2x－4k＋3＝0外的一点，则k的取值范围是()A．(3，＋∞) B．(－∞，3)C．22，3 4．(人教A版选修一P85T4改编)已知△AOB的三个顶点分别是点A(4，0)，O(0，0)，B(0，3)，则△AOB的外接圆的标准方程为______________．考教衔接·活用教材探究式精练收获一个“赢”命题点一求圆的方程例1(1)已知圆心在直线x－y＋1＝0上，且与x轴交于A(1，0)，B(2，0)两点，则圆的标准方程为()A．x-322＋y-52B．x+322＋y-5C．x-322＋y+52D．x+322＋y+5[听课笔记](2)过四点(0，0)，(4，0)，(－1，1)，(4，2)中的三点的一个圆的方程为________________．[听课笔记]学霸笔记：(1)几何法：通过研究圆的性质(圆的任一弦的中垂线过圆心)进而求出圆的基本量．(2)待定系数法：①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，求出a，b，r的值；②若已知条件没有明确给出圆的圆心或半径，则设圆的一般方程．跟踪训练(衔接·人教A版选修一P88T4)圆C的圆心在x轴上，且过A(－1，1)，B(1，3)两点，则圆C的方程为________________．命题点二与圆有关的轨迹问题例2已知线段AB的端点B的坐标为(4，3)，端点A在圆(x＋1)2＋y2＝4上运动．(1)求线段AB的中点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；(2)记(1)中的轨迹为C，求轨迹C关于点12[听课笔记]学霸笔记：(1)直接法，直接根据题目提供的条件列出方程；(2)定义法，根据圆、直线等定义列方程；(3)几何法，利用圆的几何性质列方程；(4)代入法(相关点法)，找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式．跟踪训练(1)(衔接·人教A版选修一P88习题T7)已知等腰△ABC的一个顶点为A(4，2)，底边的一个端点为B(3，5)，则底边的另一个端点C的轨迹方程为______________________．(2)(衔接·人教A版选修一P89T8)长为2a的线段AB的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，则线段AB的中点的轨迹方程为______________________________________________．命题点三与圆有关的最值问题例3已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.(1)求yx(2)求y－x的最大值和最小值；(3)求x2＋y2的最大值和最小值．[听课笔记]学霸笔记：跟踪训练(1)如果实数x，y满足x2＋y2－6x＋4＝0，那么yx+2的最大值是(A．55B．C．5D．1(2)(2026·抚州模拟)已知曲线1－x＝9-y2，则x2+A．52，2 B．52，17－3C．17＋3,2 D．17＋3,17－3提示：请完成课时作业49第三节圆的方程必备知识·助学教材知识清单1．定长(a，b)rD2＋E2－4F＞0(－D2，－E2)2．(1)圆外(2)圆上(3)圆内自主诊断1．答案：(1)√(2)×(3)×(4)√2．解析：圆C的方程可化为(x＋1)2＋(y－2)2＝9，圆心C的坐标是(－1，2)．故选C.答案：C3．解析：由题意得22＋02－4(－4k＋3)>0且22＋12＋4－4k＋3>0，解得k∈(12，3)．故选D答案：D4．解析：设△AOB的外接圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，因为△AOB的三个顶点分别是点A(4，0)，O(0，0)，B(0，3)，解得a＝2，b＝32，r2＝254，故△AOB的外接圆的标准方程为(x－2)2＋(y－32)2答案：(x－2)2＋(y－32)2＝考教衔接·活用教材例1解析：(1)因为圆与x轴交于A(1，0)，B(2，0)两点，线段AB的中垂线方程为x＝32，所以圆心在直线x＝32上，又圆心在直线x－y＋1＝0上，由x=32，x-y+1=0，解得x=32，y=52，所以圆心坐标为(32，52)，又点(32，52)与点A(1，0)间的距离为半径，即半径r＝解析：(2)设点A(0，0)，B(4，0)，C(－1，1)，D(4，2)．①若圆过A，B，C三点，则圆心在直线x＝2上，设圆心坐标为(2，a)，则4＋a2＝9＋(a－1)2，解得a＝3，则半径r＝4+a2＝13，所以圆的方程为(x－2)2＋(y－3)2＝13；②若圆过A，B，D三点，设圆心坐标为(2，a)，则4＋a2＝4＋(a－2)2，解得a＝1，则半径r＝4+a2＝5，所以圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5；③若圆过A，C，D三点，易求线段AC的中垂线方程为y＝x＋1，线段AD的中垂线方程为y＝－2x＋5，联立得方程组y=x+1，y=-2x+5，解得x=43，y=73，则半径r＝169+499＝653，所以圆的方程为(x－43)2＋(y－73)2＝659；④若圆过B，C，D三点，易求线段BD的中垂线方程为y＝1，线段BC的中垂线方程为y＝5x－7，联立得方程组y=1，答案：(1)A答案：(2)(x－2)2＋(y－3)2＝13[或(x－2)2＋(y－1)2＝5或(x－43)2＋(y－73)2＝659或(x－85)2＋(y－1)跟踪训练解析：方法一线段AB的垂直平分线方程为y－2＝－(x－0)，即x＋y－2＝0，令y＝0，则x＝2.即所求圆的圆心为(2，0)．∴圆的半径r＝2+12+-12＝10，故所求圆的方程为(x－2)2＋方法二设圆C的圆心坐标为(a，b)，半径为r，则圆C的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，∵圆C的圆心在x轴上，且圆C过点A(－1，1)和B(1，3)，∴b=0，-1-a2+1-b2=r2，1-a2+3-b2答案：(x－2)2＋y2＝10例2解析：(1)由圆(x＋1)2＋y2＝4，可得圆心为P(－1，0)，半径长为2，设线段AB的中点为M(x，y)，且A(x0，y0)，因为点B的坐标是(4，3)，且M是线段AB的中点，可得x=x0+42，y=y0+32，解得x0＝因为点A在圆(x＋1)2＋y2＝4上运动，即x0+12所以(x－32)2＋(y－32)2＝所以线段AB的中点M的轨迹方程为(x－32)2＋(y－32)2＝点M的轨迹是以(32，32(2)轨迹(x－32)2＋(y－32)2＝1关于点(1设其方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则点(a，b)和点(32，32)关于点(12，所以a+322＝12，b+322＝1所以轨迹C关于点(12，12)对称的轨迹方程为(x＋12)2＋(y＋跟踪训练解析：(1)由题可知AB＝4-32+2-52＝10，又因为△ABC为等腰三角形，所以AC＝AB＝10，所以点C的轨迹是以A为圆心，以10为半径的圆，所以点C的轨迹方程为(x－4)2＋(y－2)2＝10，去掉(3，5)，解析：(2)设线段AB的中点为P(x，y)，若A，B不与原点重合时，则△AOB是直角三角形，且O为直角顶点，则OP＝12AB，而AB＝2a，所以OP＝a，即P的轨迹是以原点为圆心，以a为半径的圆，方程为x2＋y2＝a2(a＞0)；若A，B有一个是原点，同样满足x2＋y2＝a2(a＞0)，故线段AB的中点的轨迹方程为x2＋y2＝a2(a＞0)答案：(1)(x－4)2＋(y－2)2＝10(x≠3，y≠5且x≠5，y≠－1)答案：(2)x2＋y2＝a2(a＞0)例3解析：原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以(2，0)为圆心，3为半径的圆．(1)yx的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设yx＝k，即y＝当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值，此时2k-0k2+1＝3，解得k＝±3，所以yx的最大值为(2)y－x可看成是直线y＝x＋b在y轴上的截距，当直线y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时2-0+b2＝3，解得b＝－2±6，所以y－x的最大值为－2＋6，最小值为－2－6(3)x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方．由平面几何知识可得在原点与圆心的连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值，又圆心到原点的距离为2，所以x2＋y2的最大值是(2＋3)2＝7＋43，最小值是(2－3)2＝7－43.跟踪训练解析：(1)将x，y满足的方程转化为(x－3)2＋y2＝5，发现其是一个圆心在(3，0)，半径为5的圆，而yx+2＝y-0x--2可看作是圆上一点(x，y)与(－2，0)所在直线的斜率，易知当与圆相切于第一象限时，斜率取得最大值，设切线所在直线的倾斜角为α(0<