高中数学导学案 第十节　函数模型的应用

第十节函数模型的应用新课标要求真题分布1.理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具．在实际情境中，会选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律．2．结合实际情境中的具体问题，比较对数函数、一元一次函数、指数函数增长速度的差异，理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实意义．2025年未单独考查2024年北京卷T72023年新高考Ⅰ卷T10必备知识·助学教材清单式排查彰显一个“准”知识清单1.常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)反比例函数模型f(x)＝kx＋b(k，b为常数且k≠二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)指数函数模型f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0，且a≠1)对数函数模型f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0，且a≠1)幂函数模型f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)“对勾”函数模型f(x)＝x＋ax(a2.指数、对数、幂函数性质比较性质函数y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝xn(n>0)在(0，＋∞)上的增减性单调________单调________单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x的增大逐渐表现为与________平行随x的增大逐渐表现为与________平行随n值变化而各有不同自主诊断1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)幂函数增长比直线增长更快．()(2)不存在x0，使ax0<x0n<log(3)在(0，＋∞)上，随着x的增大，y＝ax(a>1)的增长速度会超过并远远大于y＝xa(a>1)的增长速度．()(4)“指数爆炸”是指数型函数y＝a·bx＋c(a≠0，b>0，b≠1)增长速度越来越快的形象比喻.()2．(人教A版必修一P139T1改编)下列选项分别是四种生意预期的获益y关于时间x的函数模型，从足够长远的角度看，使公司获益最大的函数模型是________．①y＝10×1.05x；②y＝20＋x2；③y＝30＋lg(x＋1)；④y＝50.3．(人教A版必修一P139T3改编)如图，对数函数y＝lgx的图象与一次函数y＝f(x)的图象有A，B两个公共点，则一次函数y＝f(x)的解析式为________．4．(人教A版必修一P150T2改编)在一段时间内，某地的野兔快速繁殖，野兔总只数的倍增期为21个月，那么1万只野兔增长到1亿只野兔大约需要________年．(参考数据：lg2≈0.3)考教衔接·活用教材探究式精练收获一个“赢”命题点一用函数图象刻画变化过程例1(多选)血药浓度是指药物吸收后在血浆内的总浓度，当血药浓度介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间时药物发挥作用．某种药物服用1单位后，体内血药浓度变化情况与相关阈值如图所示(服用药物时间对应0时)，则下列说法中正确的有()A．服药1单位后约10分钟到5.5小时之间药物发挥疗效B．若每次服药1单位，首次服药后，2.5小时之内不能再次服药C．若每次服药1单位，首次服药后，3小时之后可以再次服药D．每间隔5.5小时服用该药物1单位，可使药物持续发挥治疗作用[听课笔记]学霸笔记：(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象．(2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案．跟踪训练(衔接·人教A版必修一P140T6)在2h内将某种药物注射进患者的血液中，在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加，停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减．下面能反映血液中药物含量Q随时间t变化的图象是()命题点二已知函数模型的实际问题例2(多选)(链接·2023年新高考Ⅰ卷)噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级Lp＝20×lgpp0，其中常数p0(p0>0)是听觉下限阈值，声源与声源的距离/m声压级/dB燃油汽车1060～90混合动力汽车1050～60电动汽车1040已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m处测得实际声压分别为p1，p2，p3，则()A．p1≥p2 B．p2>10p3C．p3＝100p0 D．p1≤100p2[听课笔记]学霸笔记：(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数．(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数．(3)利用函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验．跟踪训练在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为L＝L0Dn20(D为常数)，其中L表示每一轮优化时使用的学习率，L0表示初始学习率，D表示衰减系数，n表示训练迭代轮数，当n＝10时，学习率为0.25；当n＝30时，学习率为0.0625，则学习率衰减到0.005以下所需的训练迭代轮数至少为(已知lg2A．64B．65C．66D．67命题点三构建函数模型的实际问题例3为提高人们的身体素质，某工厂更新技术开发研制了一款新型智能按摩椅，通过调研知，往年每年每生产x千台智能按摩椅，获利C(x)千元，且C(x)＝20x2-21x+332，0<x≤2，492-21x-80x-1(1)求更新技术后的利润L(x)(千元)关于年产量x(千台)的函数解析式；(2)更新技术后，当年产量为多少千台时，工厂所获利润最大？并求出最大利润．[听课笔记]学霸笔记：解题步骤(1)建模：抽象出实际问题的数学模型；(2)推理与运算：对数学模型进行逻辑推理或数学运算，得到问题在数学意义上的解；(3)评价与解释：对求得的数学结果进行深入讨论，作出评价与解释，并返回到原来的实际问题中去，得到实际问题的解．跟踪训练2024年8月12日，为期16天的巴黎奥运会落下帷幕，回顾这一届奥运会，中国元素在这里随处可见，令游客驻足欣赏；据调查，国内某公司生产的一款巴黎奥运会吉祥物的供货价格＝固定价格＋浮动价格，其中固定价格为60元，浮动价格＝5销售量(浮动价格单位：元，销售量单位：万件)，假设每件吉祥物的售价为整数，当每件吉祥物售价不超过100元时，销售量为10万件；当每件吉祥物售价超过100元时，售价每增加1元，销售量就减小0.2万件，总利润＝(售价－供货价格)×(1)当每件吉祥物的售价为85元时，获得的总利润是多少万元？(2)每件吉祥物的售价为多少元时，单件吉祥物的利润最大，最大为多少元？提示：请完成课时作业15第十节函数模型的应用必备知识·助学教材知识清单2．递增递增y轴x轴自主诊断1．答案：(1)×(2)×(3)√(4)×2．解析：结合三类函数的增长差异可知指数型函数增长最快，所以①的预期收益最大．答案：①3．解析：A(1，0)，B(2，lg2)．设f(x)＝ax＋b，则0＝a+b，lg2＝2a+b⇒a＝lg2，b＝-lg2答案：f(x)＝(lg2)(x－1)4．解析：设经过x年后的野兔有y只，由题意可知，y＝104·21221x，即y＝104·247x，令y＝108，则104·247x＝108，所以247x＝104，两边取常用对数可得47答案：24考教衔接·活用教材例1解析：对于A，从题图的持续期可以得出，服用药物后10分钟到5.5小时之间，血药浓度介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间，药物发挥作用，故A正确；对于B，服药1单位后，若2.5小时后再次服药，则在首次服药3.5小时后，即第2次服药1小时后，体内血药浓度将会超过最低中毒浓度，会引起中毒，因此若每次服药1单位，首次服药后，2.5小时之内不能再次服药，故B正确；对于C，服药1单位后，若3小时后再次服药，则在首次服药4小时后，即第2次服药1小时后，血药浓度将会超过最低中毒浓度，引起中毒，故C错误；对于D，第一次服药10分钟到5.5小时之内，药物会持续发挥治疗作用，第1次服药5.5小时后第2次服药，由于第2次服药对应的血药浓度增长速度大于第1次服药对应的血药浓度降低速度，从而体内的血药浓度会超过最低有效浓度，同时观察两次累计的最大值，不会超过最低中毒浓度，故D正确．故选ABD.答案：ABD跟踪训练解析：在2h内，血液中的药物含量呈线性增加，则第一段图象为线段，且为增函数，排除A；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减，排除C；药物含量Q不能为负值，排除D；能反映血液中药物含量Q随时间t变化的图象是B.故选B.答案：B例2解析：由题意可知，Lp1∈60，90，Lp2∈50，60，Lp3＝40.对于A，Lp1-Lp2＝20×lgp1p0－20×lgp2p0＝20×lgp1p2，因为Lp1≥Lp2，所以Lp1-Lp2＝20×lgp1p2≥0，即lgp1p2≥0，所以p1p2≥1且p1>0，p2>0，可得p1≥p2，故A正确；对于B，Lp2-Lp3＝20×lgp2p0－20×lgp3p0＝20×lgp2p3，因为Lp2-Lp3＝Lp2-40≥10，所以20×lgp2p3≥10，即lgp2p3≥12，所以p2p3≥10答案：ACD跟踪训练解析：由题意有0.25＝L0D1020，0.0625＝L0D3020⇒L0＝12，D＝14，所以L＝12×14n20，即L＝12×答案：D例3解析：(1)由已知，L(x)＝C(x)－(x＋2)＋2x，又C(x)＝20所以L(x)＝20(2)当0<x≤2时，L(x)＝20x2－20x＋330＝20x-122＋则当x＝2时，L(x)max＝370；当2<x≤5时，L(x)＝490－80x-1－20x＝490－80x-1+20x-1+20≤470－当且仅当80x-1＝20(x－1)，即x＝3时，L(x)max＝因为370<390，所以L(x)的最大值为390，故当产量为3千台时，该工厂利润最大，最大利润是390千元．跟踪训练解析：(1)由题意，当单价售价为85元时，销售量为10万件，浮动价格为0.5元，供货价格为60＋0.5＝60.5(元)，故总利润为10×(85－60.5)＝245(万元)．(2)当x≤100时，销售量为10万件，供货价格为60.5元