高中数学导学案 微专题2　函数的对称性

微专题2函数的对称性多元视角·拓展教材开放式拓展实现一个“广”视角一轴对称题型1一个函数的自对称例1已知函数f(x＋2)是偶函数，f(x)在(－∞，2]上单调递增，则不等式f(3x＋2)<f(x＋1)的解集为()A．(－∞，－14)∪(1B．(－14C．(－∞，－12)∪(14D．(－12[听课笔记]学霸笔记：(1)若函数＝f(x＋a)为偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．(2)f(a＋x)＝f(b－x)⇔y＝f(x)的图象关于直线x＝a+x+b-x2＝a+b推论1：f(a＋x)＝f(a－x)⇔y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称；推论2：f(x)＝f(2a－x)⇔y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称；推论3：f(－x)＝f(2a＋x)⇔y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．(3)若函数y＝f(x)的图象关于x＝a对称，则函数f（x）在关于x＝a对称的两个区间上的单调性相反．跟踪训练定义在R上的函数f(x)满足f(4－x)＝f(x)，且当x≥2时，f(x)单调递增，则不等式f(2－x)≥f(x＋1)的解集为()A．[12，＋∞)B．(0，1C．(－∞，12]D．(－∞，－1题型2两个函数的互对称例2(2026·盐城模拟)已知函数f(x)(x∈R)满足f(x)＝f(4－x)，若y＝|x－2|与y＝f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，(x4，y4)，(x5，A．－4 B．0C．8 D．12[听课笔记]学霸笔记：函数y＝f(x)与y＝f(2a－x)的图象关于直线x＝a成轴对称，特别地，当a＝0时，函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于y轴对称，推广：两个函数y＝f(a＋x)与y＝f(b－x)的图象关于直线x＝b-a2跟踪训练已知函数y＝f(3－x)与y＝f(1＋x)关于直线x＝a对称，则a＝________．视角二中心对称例3(链接·2024年新高考Ⅰ卷节选)已知函数f(x)＝lnx2-x＋ax＋b(x－1)3，证明：曲线y＝f(x)[听课笔记]真题探源(源自人教A版必修一P87T13改编)我们知道，函数y＝f(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y＝f(x)为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数y＝f(x)的图象关于点P(a，b)成中心对称图形的充要条件是函数y＝f(x＋a)－b为奇函数．则函数y＝x3－3x2图象的对称中心为________．学霸笔记：(1)若函数y＝f(x＋a)为奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(a，0)对称．(2)f(a＋x)＋f(b－x)＝2c⇔y＝f(x)的图象关于点(a+b2，c)推论1：f(a＋x)＋f(a－x)＝2b⇔y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称；推论2：f(x)＋f(2a－x)＝2b⇔y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称；推论3：f(－x)＋f(2a＋x)＝2b⇔y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称．跟踪训练(2026·日照模拟)已知函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝2－f(x)，若函数y＝x+1x与y＝f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，其中m∈N*，则＝()A．0B．mC．2mD．4m视角三中心对称与轴对称的应用例4(链接·2021年新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)的定义域为R，f(x＋2)为偶函数，f(2x＋1)为奇函数，则()A．f(－12)＝0 B．f(－1)＝C．f(2)＝0 D．f(4)＝0[听课笔记]学霸笔记：(1)如果函数f(x)(x∈D)在定义域内有两条对称轴x＝a，x＝b(a＜b)，则函数f(x)是周期函数，且周期T＝2(b－a)(不一定是最小正周期，下同)．(2)如果函数f(x)(x∈D)在定义域内有两个对称中心A(a，0)，B(b，0)(a<b)，那么函数f(x)是周期函数，且周期T＝2(b－a)．(3)如果函数f(x)(x∈D)在定义域内有一条对称轴x＝a和一个对称中心点B(b，0)(a≠b)，那么函数f(x)是周期函数，且周期T＝4|b－a|.跟踪训练(2026·芜湖期末)已知函数f(x)的定义域为R，y＝f(x)－1为奇函数，y＝f(x＋1)为偶函数，若f(2025)＝2，则f(3)＝()A．1B．－1C．0D．－3提示：请完成微专题2微专题2函数的对称性例1解析：因为函数f(x＋2)是偶函数，所以f(x)的对称轴是x＝2，因为f(x)在(－∞，2]上单调递增，所以f(x)在[2，＋∞)上单调递减，由f(3x＋2)<f(x＋1)，有3x+2-2>x+1-2，即8x2+2x-1>0，解得x<-12答案：C跟踪训练解析：由f(4－x)＝f(x)，得f(x)图象的对称轴为x＝2，又当x≥2时，f(x)单调递增，且f(2－x)≥f(x＋1)，∴|(2－x)－2|≥|(x＋1)－2|，即x2≥(x－1)2，解得x≥12.故选A答案：A例2解析：因为f(x)＝f(4－x)，所以f(x)的图象关于直线x＝2对称，又因为y＝|x－2|的图象关于直线x＝2对称，所以函数y＝|x－2|与y=f(x)图象的交点也关于直线x＝2对称，故x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6＝4×3＝12.故选D.答案：D跟踪训练解析：设点P(x0，y0)是函数y＝f(3－x)图象上的任意一点，则有y0＝f(3－x0)，又点P(x0，y0)关于直线x＝a的对称点Q(2a－x0，y0)在y＝f(1＋x)的图象上，∴y0＝f(1＋x0)＝f[1＋(2a－x0)]，即有f[1＋(2a－x0)]＝f(3－x0)，∴1＋2a－x0＝3－x0，∴a＝1.答案：1例3证明：方法一因为f(2－x)＝ln2-x-lnx+a2-x+b1-x3＝－[lnx－ln(2－x)＋ax＋b(x－1)3]＋2a＝－f(x)＋2a所以曲线y＝f(x)是关于(1，a)成中心对称的图形．方法二f(x)＝lnx2-x＋ax＋b(x－1)3的定义域为(0，2)设P(m，n)为y＝f(x)图象上任意一点，P(m，n)关于(1，a)的对称点为Q(2－m，2a－n)．因为P(m，n)在y＝f(x)图象上，故n＝lnm2-m＋am＋b(m－1)3而f(2－m)＝ln2-mm＋a(2－m)＋b(2－m－1)＝－lnm2-m＝－n＋2a，所以Q(2－m，2a－n)也在y＝f(x)的图象上，由P的任意性可得y＝f(x)图象为中心对称图形，且对称中心为(1，a)．真题探源解析：f(x)=x3-3x2,若函数f(x＋a)－b＝(x＋a)3－3(x＋a)2－b为奇函数，则有f(－x＋a)－b＝－f(x＋a)＋b，变形得f(－x＋a)＋f(x＋a)＝2b，则有(－x＋a)3－3(－x＋a)2＋(x＋a)3－3(x＋a)2＝2b，即－x3＋3ax2－3a2x＋a3＋x3＋3ax2＋3a2x＋a3－3(x2－2ax＋a2＋x2＋2ax＋a2)＝2b，即3（a-1x2）＋a3－3a答案：(1，－2)跟踪训练解析：因为函数f(x)满足f(－x)＝2－f(x)，即函数f(x)满足f(－x)＋f(x)＝2，所以y＝f(x)关于点(0，1)对称，函数y＝x+1x等价于y＝1＋1x，所以函数y＝x+1x也关于点(0，1)对称，所以函数y＝x+1x与y＝f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，也关于点(0，1)对称，故交点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)成对出现，且每一对点都关于点(0，1)对称，所以i＝1mxi+yi＝(x1＋x2＋…＋xm)＋(y1＋y2＋…＋ym答案：B例4解析：因为函数f(x＋2)为偶函数，则f(2＋x)＝f(2－x)，可得f(x＋3)＝f(1－x)，因为函数f(2x＋1)为奇函数，则f(1－2x)＝－f(2x＋1)，所以f(1－x)＝－f(x＋1)，所以f(x＋3)＝－f(x＋1)＝f(x－1)，即f(x)＝f(x＋4)，故函数f(x)是以4为周期的周期函数，因为函数F(x)＝f(2x＋1)为奇函数，则F(0)＝f(1)＝0，故f(－1)＝－f(1)＝0，其他三个选项未知．答案：B跟踪