高中数学导学案 微专题8　数列的通项公式与递推关系

微专题8数列的通项公式与递推关系多元视角·拓展教材开放式拓展实现一个“广”视角一累加法求通项公式例1(2026·沧州模拟)在数列{an}中，a1＝0，an＋1＝an＋ln1+1n，则{an}的通项公式为(A．an＝lnn B．an＝(n－1)ln(n＋1)C．an＝nlnn D．an＝lnn＋n－1[听课笔记]学霸笔记：形如an＋1＝an＋f(n)的递推关系式，可利用累加法求和，特别注意能消去多少项，保留多少项．跟踪训练记Tn为数列{an}的前n项积，且a1＝1，Tn＋1－Tn＝2n，则a6＝()A．135B．136C．3121视角二累乘法求通项公式例2记Sn为首项为1的数列{an}的前n项和，且Snan＝n2，则S30＝A．6029B．5029C．6031[听课笔记]学霸笔记：形如an＋1＝an·f(n)的递推关系式可化为an+1an＝f(n)的形式，可用累乘法，也可用an＝anan-1·an-1a跟踪训练(2026·宁德模拟)已知数列{an}满足a1＝1，an+1an＝nn+2，则{an}A．76B．53C．74视角三构造法求通项公式例3(1)已知数列{an}满足an＋1＝23an＋4，且a1＝1，则{an}的通项公式为(A．an＝12－23n-1 B．an＝23nC．an＝12－11×23n-1 D．an＝8＋23n(2)在数列{an}中，已知a1＝56，an+1＝13an＋12n[听课笔记]学霸笔记：(1)形如an＋1＝pan＋q，引入参数c，构造新的等比数列{an－c}．(2)形如an＋1＝pan＋qn+1，两边同除以qn+1，构造新的数列an(3)形如an＋1＝panran+s，两边同时取倒数转化为1an+1＝sp·1an+跟踪训练(1)(2026·保定模拟)已知数列{an}满足a1＝4，且an＋1＝2an－3，则a211＝()A．2210－3B．2211－1C．2210＋3D．2211＋1(2)已知数列{an}满足an＋1＝2an3an-1，且a1＝2，则A．512511B．C．256257D．提示：请完成微专题8

微专题8数列的通项公式与递推关系例1解析：由已知得an＋1－an＝ln(n+1n)＝ln(n＋1)－lnn，an－an－1＝lnn－ln(n－1)，an－1－an－2＝ln(n－1)－ln(n－2)，…，a3－a2＝ln3－ln2，a2－a1＝ln2－ln1，将上述n－1个等式相加，整理得an－a1＝lnn－ln1＝lnn，又因为a1＝0，所以an＝lnn.故选答案：A跟踪训练解析：由题意可得T1＝1，Tn－Tn－1＝2(n－1)，…，T2－T1＝2，累加有n≥2时，Tn＝1＋2×1＋2×2＋…＋2×(n－1)＝1＋2×nn-12＝n2－n＋1.经验证当n＝1时满足，故Tn＝n2－n＋1，则n≥2时，an＝TnTn-1＝n2-n+1n-12-n-1+1＝n2-n+1n2-3n+3，当n＝1答案：C例2解析：易得Sn＋1＝(n＋1)2an＋1，故Sn＋1－Sn＝(n＋1)2an＋1－n2an，化简得(n2＋2n)an＋1＝n2an，即(n＋2)an＋1＝nan，由a1＝1知an≠0，故an+1an＝nn+2，累乘可得an+1an·…·a2a1＝nn+2×…×24×13，即an＋1＝2a1n+1n+2＝2n+1n+2，故an＝2nn+1(n≥答案：C跟踪训练解析：因为an+1an＝nn+2，a1＝1，所以a2a1·a3a2·a4a3·…·an+1an＝13×24×35×…×nn+2，则an+1a1＝2n+1n+2，即an＋1＝2n+1n+2，所以an＝2nn+1(n≥2)，又a1＝1，满足上式，所以an＝答案：C例3解析：(1)设an＋1＋x＝23(an＋x)，即an＋1＝23an－13x，所以－13x＝4，解得x＝－12，所以an＋1－12＝23(an－12)，所以{an－12}是首项为a1－12＝－11，公比为23的等比数列，所以an－12＝－11×(23)n－1，所以an＝12－11×(2(2)因为a1＝56，an＋1＝13an＋(12)n＋1，所以2n＋1an＋1＝23×2nan＋1，整理得2n＋1an＋1－3＝23(2nan－3)，所以数列{2nan－3}是以2a1－3＝－43为首项，23为公比的等比数列，所以2nan－3＝－43×(23)答案：(1)C(2)3跟踪训练解析：(1)因为an＋1＝2an－3，所以an＋1－3＝2(an－3)．因为a1－3＝1，所以数列{an－3}是首项为1，公比为2的等比数列，所以an－3＝2n－1，所以an＝2n－1＋3，故a211＝2210＋3.故选