高中数学导学案 微专题10　空间几何体的外接球与内切球

微专题10空间几何体的外接球与内切球多元视角·拓展教材开放式拓展实现一个“广”视角一可放入正方体、长方体型外接球问题例1(1)(2026·楚雄模拟)在三棱锥S-ABC中，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，AB＝BC＝2，SA＝22，则三棱锥S-ABC外接球的体积为(A．32π3B．56π3C．32(2)已知四面体PABC中，PA＝BC＝10，PB＝AC[听课笔记]学霸笔记：(1)正方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半．(2)长方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半．三棱锥特征三条侧棱两两互相垂直四个面均是直角三角形相对棱相等的三棱锥图示三棱锥特征正四面体3个直角三角形＋1个普通三角形图示跟踪训练(1)“阳马”，是底面为矩形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥，《九章算术》总结了先秦时期数学成就，是我国古代内容极为丰富的数学巨著，对后世数学研究产生了广泛而深远的影响．书中有如下问题：“今有阳马，广五尺，袤七尺，高八尺，问积几何？”其意思为：“今有底面为矩形，它的底面长、宽分别为7尺和5尺，高8尺，问它的体积是多少？”若以上的条件不变，则这个四棱锥的外接球的表面积为()平方尺．A．149πB．140πC．138πD．128π(2)(2026·孝感模拟)如图，在三棱锥A-BCD中，AB⊥平面BCD，CD⊥AD，AB＝BD＝2，已知动点E从C点出发，沿四棱锥的外表面经过棱AD上一点到点B的最短距离为17，则该棱锥的外接球的表面积为________.视角二不可放入正方体、长方体型外接球问题题型1柱体的外接球问题例2已知直三棱柱A1B1C1-ABC的顶点均在球面上，且AA1＝23，∠BAC＝30°，BC＝1，则该球的表面积为()A．16πB．32π3C．4πD[听课笔记]学霸笔记：直棱柱(圆柱)球心位置：在上下底面外心连线中点处．半径公式：R2＝r2＋h22，R为外接球半径，r为底面外接圆半径，h为棱柱的高跟踪训练已知圆柱的底面半径为1，母线长为2，它的两个底面的圆周在同一个球的球面上，则该球的表面积为()A．4πB．6πC．8πD．10π题型2锥体的外接球例3(2026·大庆一模)已知正三棱锥A-BCD的底面边长为6，二面角A-BC-D的余弦值为34，则正三棱锥A-BCD外接球的表面积为(A．2561313π B．C．62513π D．256[听课笔记]学霸笔记：正棱锥(圆锥)球心位置：在其顶点与底面外心连线上．半径公式：R2＝(h－R)2＋r2，R为外接球半径，r为底面外接圆半径，h为棱锥的高．跟踪训练已知正三棱锥P-ABC，PA＝32，AB＝6，则该三棱锥的外接球的表面积为()A．54πB．48πC．36πD．63π题型3台体的外接球例4(2026·上饶模拟)已知圆台的上、下底面半径分别为1和2，体积为14π3，则该圆台的外接球表面积为(A．65π16B．65π8C．65[听课笔记]学霸笔记：球心位置：在上底面与下底面的中心连线上．半径公式：R2跟踪训练正四棱台下底面边长为4，上底面边长为2，高为3，则该正棱台的外接球的表面积为()A．27πB．31πC．33πD．35π视角三几何体的内切球例5正四棱锥P-ABCD的各条棱长均为2，则该四棱锥的内切球的表面积为________．[听课笔记]学霸笔记：(1)内切球等体积法如图，在四棱锥P-ABCD中，内切球为球O，求球半径r，方法如下：VP-ABCD＝VO-ABCD＋VO-PBC＋VO-PCD＋VO-PAD＋VO-PAB，即VP-ABCD＝13S四边形ABCD·r+1(2)内切球独立截面法①画出过球心和切点的大圆的截面图；②在截面中，找到和球半径相关的直角三角形；③利用相似、全等、勾股定理等平面几何知识求出内切球半径．跟踪训练某圆锥的底面半径与高之比为3∶4，其内切球与圆锥的体积之比为()A．38 B．C．1564 D．提示：请完成微专题10微专题10空间几何体的外接球与内切球例1解析：(1)AB⊥BC，AB＝BC＝2，SA＝22且SA⊥平面ABC，可将三棱锥S-ABC补形为长方体，如图，则长方体的体对角线SC即三棱锥S-ABC的外接球的直径，因为SC＝AB2+BC2+SA2＝22+22+222＝4，则三棱锥S-ABC的外接球半径为R＝12SC＝2.故外接球的体积为(2)在四面体PABC中，PA＝BC＝10，PB＝AC＝23，PC＝AB＝14，则该四面体的相对棱可为某个长方体三组相对面的面对角线，长方体的外接球即为四面体的外接球．设长方体的共点的三条棱长依次为a，b，c，外接球半径为R，则a2+b2=10，b2+c2=12，a2+c2=14，所以4R2答案：(1)A(2)18π跟踪训练解析：(1)如图所示，这个四棱锥的外接球和长方体的外接球相同，所以外接球的半径为R＝72+52+822＝1382，外接球的表面积S＝4π(2)三棱锥A-BCD的部分平面展开图如图所示，设CD＝x，由题意得C′D＝CD＝x，C′B＝17，在△C′BD中，由余弦定理得C′B2＝C′D2＋BD2－2C′D·BD·cos135°，即(17)2＝x2＋(2)2－2x·2·(－22)，即x2＋2x－15＝0，解得x＝3或x＝－5(舍去)该棱锥的外接球即为长方体的外接球，则外接球的半径为R＝1222+22+32＝13答案：(1)C(2)13π例2解析：在△ABC中，∠BAC＝30°，BC＝1，利用正弦定理可得△ABC外接圆的半径AE＝12×BCsin∠BAC＝12×1sin30°＝1，又AA1＝23，所以直三棱柱A1B1C1-ABC的外接球的半径为OA＝12+答案：A跟踪训练解析：由题意可知该球为圆柱的外接球，所以球心为圆柱的中心，设球半径为r，则r＝12+222＝2，故该球的表面积为4πr2＝8答案：C例3解析：如图所示，正三棱锥A-BCD，作AH⊥平面BCD于点H，则H为正△BCD的中心，取BC的中点E，连接DE，AE，设外接球心为O，则O在AH上，连接OD.由已知△BCD的边长为6，由于AE⊥BC，DE⊥BC，∠AED即二面角A-BC-D的平面角，则cos∠AED＝34.因为DE＝BD2-BE2＝62-32＝33，所以EH＝13DE＝13×33＝3，所以AE＝EHcos∠AED＝334＝4，AH＝AE2-EH2＝42-32＝13.设外接球O的半径为r，则OA＝OD＝r，OH＝|AH－r|＝|13－r|，又DH＝23DE＝23×33＝23，OD2＝DH2＋OH2，所以r2＝(23)2＋(13－r)2，解得r＝答案：C跟踪训练解析：根据正三棱锥的性质，可知外接球球心O必在正三棱锥的高线PD上，连接OB，BD，△ABC为等边三角形，其边长AB＝6，可知BD＝23×(6×32)＝23，再由勾股定理得PD＝PB2-BD2＝322-232＝6.设外接球半径为R，结合勾股定理OB2＝OD2＋BD2可得R2＝(6－R)2＋(23)2，解得R＝96＝362，由于6<R，所以外接球的球心在高线PD的延长线上，但仍然满足上述方程，故该外接球的半径仍为R＝362答案：A例4解析：根据题意可知，圆台上底面面积为S1＝π，下底面面积为S2＝4π，设圆台的高为h，由体积可得13h(S1＋S2＋S1S2)＝14π3圆台的轴截面如图所示，上底面圆心为O1，下底面圆心为O2，设球心O在直线O1O2上，连接OD，OF，设OO2＝x，则OO1＝2－x，则该圆台的外接球半径为R＝OD＝OF，由勾股定理可得R2＝12＋(2－x)2＝22＋x2，解得x＝14，所以R＝654，则该圆台的外接球表面积为4πR2＝4π×6516＝65π4答案：C跟踪训练解析：如图所示，因为正四棱台下底面边长为4，上底面边长为2，高为3，可得上、下底面正方形的对角线长为22和42，可得A1O2＝2，AO1＝22，根据几何体的对称性，可得正四棱台ABCD-A1B1C1D1的外接球的球心在上下底面中心的连线上．设外接球的球心为O，设球心到下底面的距离为d，外接球的半径为R，因为正四棱台的高为3，则d2+222=R2，3-d2+22=R2，解得d＝12，所以答案：C例5解析：设底面的中心为E，连接CE，PE，则CE＝2，PE＝2，设四棱锥的内切球的半径为r，球心为O，连接OA，OB，OC，OD，OP得到四个三棱锥和一个四棱锥，它们的高均为r，∴VP-ABCD＝VO-ABCD＋VO-PAB＋VO-PBC＋VO-PCD＋VO-PAD，即13×2×2