高中数学强基题 课时作业40　空间点、直线、平面之间的位置关系

课时作业40空间点、直线、平面之间的位置关系(分值：100分)一、单项选择题(每小题5分，共40分)1．若直线上有两个点在平面外，则()A．直线上至少有一个点在平面内B．直线上有无穷多个点在平面内C．直线上所有点都在平面外D．直线上至多有一个点在平面内2．已知直线a，b，c，d，若a∥b，c∥d，b，c是异面直线，则a与d的位置关系为()A．相交 B．异面C．相交或异面 D．不确定3．若直线l与平面α相交，则下列结论正确的是()A．平面α内任意直线和直线l异面B．平面α内存在直线和直线l平行C．平面α内有且仅有一条直线和直线l相交D．平面α内有无数条直线都与直线l相交4．检查一张桌子的4条腿的下端是否在同一平面内，下列做法最科学合理的是()A．将桌子正放于地面上，趴地上观察桌腿和地面之间是否有缝隙B．将桌子正放于地面上，取薄纸一张铺在桌面上观察纸张是否平整C．将桌子倒放于地面上，用双手分别触摸四条腿底部凭手感判断是否水平D．将桌子倒放于地面上，用细线分别连接两腿对角的下端观察两根细线是否相交5．已知平面α∩平面β＝l，点A，C∈α，点B∈β，且B∉l，又AC∩l＝M，过A，B，C三点确定的平面为γ，则β∩γ是()A．直线CMB．直线BMC．直线ABD．直线BC6．已知平面外一点P和平面内不共线三点A，B，C，A′，B′，C′分别在PA，PB，PC上，若延长A′B′，B′C′，A′C′与平面分别交于D，E，F三点，则D，E，F三点()A．成钝角三角形B．成锐角三角形C．成直角三角形D．在一条直线上7．已知直线m在平面α内，直线n与平面α相交于点A，且点A不在直线m上，则它们的关系表达正确的是()A．m∈α，A⊂α，m，n共面B．m⊂α，A∈α，m，n共面C.m∈α，n∩α＝A，m，n异面D．m⊂α，n∩α＝A，m，n异面8．已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为B1C1的中点，则异面直线A1B与CE所成角的余弦值为()A．－1010 B．－C．1010 D．二、多项选择题(每小题6分，共12分)9．下列四个命题中，正确的是()A．不共面的四点中任意三点不共线B．若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则A，B，C，D，E共面C．若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c不一定共面D．依次首尾相接的四条线段必共面10．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，则以下四个结论中，正确的有()A．直线AM与CC1是相交直线B．直线BN与MB1是异面直线C．AM与BN平行D．直线A1M与BN共面三、填空题(每小题5分，共10分)11．已知∠BAC＝40°，AB∥A′B′，AC∥A′C′，则∠B′A′C′＝________．12．如图，圆柱的轴截面ABCD为正方形，E为弧BC的中点，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为________．四、解答题(共28分)13．(13分)如图，在四面体ABCD中，AB＝CD，AB⊥CD，E，F分别为BC，AD的中点．(1)求证：直线EF和AB为异面直线．(2)求直线EF和AB所成角的大小．14．(15分)如图，已知E，F，G，H分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB，BC，CC1，C1D1的中点，且EF与HG相交于点Q.(1)求异面直线EF与A1B1所成角的大小．(2)求证：点Q在直线DC上．优生选做题15．(5分)如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，P，Q分别是线段A1C1，线段BB1的中点，则以下和直线PQ相交的是直线()A．AD1 B．BD1C．CD1 D．DD116．(5分)如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，所有棱长均为1，点E为棱B1C1上任意一点，则直线AA1与直线BE所成角的范围是________．课时作业40空间点、直线、平面之间的位置关系1．解析：∵直线上有两个点在平面外，∴直线与平面相交或直线和平面平行，∴只有D正确．故选D.答案：D2．解析：由a∥b，b，c是异面直线，则a，c异面或相交，又c∥d，故a，d异面或相交．故选C.答案：C3．解析：因为直线l与平面α相交，所以平面α内的直线与直线l的关系为相交或异面，设直线l与平面α交于点O，对于A，当平面内的直线过交点O时，此时过O点的直线和直线l相交，故A不正确；对于B，若平面α内存在直线和直线l平行，根据线面平行的判定定理得出l∥平面α，与已知矛盾，故B不正确；因为平面内过交点O的直线有无数条，且这些直线都与l相交，故C不正确，D正确．故选D.答案：D4．解析：对于A，当地面不平整时，每条桌腿和地面之间都无缝隙，也不能说明4条腿的下端在同一平面内，A不是；对于B，最多能说明桌面是否平整，不能说明4条腿的下端在同一平面内，B不是；对于C，只能检查每条腿的下端是否平整，不能说明4条腿的下端在同一平面内，C不是；对于D，两根细线相交，可得两根细线所在直线确定一个平面，两个细线所在直线上的所有点都在这个平面内，能说明4条腿的下端在同一平面内，D是．故选D.答案：D5．解析：已知过A，B，C三点确定的平面为γ，则AC⊂γ.又AC∩l＝M，则M∈γ，又平面α∩平面β＝l，则l⊂α，l⊂β，又因为AC∩l＝M，所以M∈β，因为B∈β，B∈γ，所以β∩γ＝BM.故选B.答案：B6．解析：D，E，F为已知平面与平面A′B′C′的公共点，由基本事实知，D，E，F共线．故选D.答案：D7．解析：直线m在平面α内，即m⊂α，直线n与平面α相交于点A，即n∩α＝A，则A∈n，A∈α，点A不在直线m上，即A∉m，根据异面直线判定定理可知直线m，n是异面直线，空间中规定直线和平面都看成点的集合，因此m∈α，A⊂α都是错误的，对于A，m∈α，A⊂α，m，n共面，每一点都是错误的，故A错误；对于B，m，n共面是错误的，故B错误；对于C，m∈α是错误的，故C错误；对于D，m⊂α，n∩α＝A，m，n异面都是正确的，故D正确．故选D.答案：D8．解析：连接CD1，D1E，如图所示，因为ABCD-A1B1C1D1为正方体可得CD1∥BA1，所以∠D1CE(或其补角)是异面直线A1B与CE所成的角，设正方体的棱长为a，CD1＝CC12+C1D12＝a2+a2＝2a，CE＝CC12+C答案：D9．解析：不共面的四点中，其中任意三点不共线，故A为真命题；若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则A，B，C，D，E可能不共面，比如平面ABCE与平面ABCD相交于A，B，C所在直线，而D，E均不在该直线上，故B为假命题；若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c可能不共面，比如若a，b相交，且a∥c，b，c不相交，则此时b，c异面，故C为真命题；依次首尾相接的四条线段可能不共面，比如空间四边形，故D为假命题．故选AC.答案：AC10．解析：对于A，M，C，C1三点在平面CDD1C1内，M点不在直线CC1上，A点不在平面CDD1C1内，可得直线AM与CC1是异面直线，故A错误；对于B，B，N，B1三点在平面BCC1B1内，B1不在直线BN上，M点不在平面BCC1B1内，可得直线BN与MB1是异面直线，故B正确；对于C，取DD1的中点E，连接AE，EN，又N为C1C的中点，则有EN∥CD∥AB，AB＝CD＝EN，所以四边形ABNE是平行四边形，所以AE∥BN，AM∩AE＝A，则AM与BN不平行，故C错误；对于D，连接MN，BA1，CD1，因为M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，所以MN∥D1C，由正方体的性质可知BA1∥D1C，所以MN∥A1B，则有A1，B，M，N四点共面，所以直线A1M与BN共面，故D正确．故选BD.答案：BD11．解析：若两个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补，如图所示，因为∠BAC＝40°，所以∠B′A′C′＝40°或140°.答案：40°或140°12．解析：如图，过点E作圆柱的母线交下底面于点F，连接AF，ED，易知F为AD的中点，设正方形ABCD的边长为2，则EF＝2，AF＝2，所以AE＝22+22＝6，则ED＝AE＝6，因为BC∥AD，所以异面直线AE与BC所成的角即为∠EAD(或其补角)，在等腰△EAD中，cos∠EAD＝12答案：613．解析：(1)证明：由E∈BC，BC⊂平面ABC，故E∈平面ABC，而AB⊂平面ABC，E∉AB，又F∈AD，AD∩平面ABC＝A，故F∉平面ABC，故直线EF和AB为异面直线．(2)取AC的中点G，连接EG，FG，由于E，F分别为BC，AD的中点，所以EG∥AB，EG＝12AB，且FG∥CD，FG＝12故直线EF和AB所成角为∠FEG或其补角，因为AB⊥CD，故EG⊥FG，因为AB＝CD，故EG＝FG，故∠FEG＝π4所以直线EF和AB所成的角为π414．解析：(1)根据正方体的性质可知A1B1∥AB，∴∠FEB是异面直线EF与A1B1所成的角或其补角．∵E，F分别是AB，BC的中点，△EFB是等腰直角三角形，∴∠FEB＝45°.即异面直线EF与A1B1所成角的大小为45°.(2)证明：∵Q∈EF，EF⊂平面ABCD，∴Q∈平面ABCD.∵Q∈GH，GH⊂平面CDD1C1，∴Q∈平面CDD1C1，∴Q∈平面ABCD∩平面CDD1C1＝DC，即Q∈CD，∴点Q在直线DC上．15．解析：连接B1D1，正方体ABCD-A1B1C1D1中，P是线段A1C1的中点，所以P是线段B1D1的中点．由PQ∥BD1，PQ⊄平面ABC1D1，BD1⊂平面ABC1D1，得PQ∥平面ABC1D1，所以PQ与AD1不相交，故A不正确；由P，Q分别是线段B1D1，BB1的中点，得PQ∥BD1，故B不正确；由PQ⊂平面BDD1B1，D1∉PQ，C∉平面BDD1B1，得CD1与直线PQ异面，