高中数学选择性必修第一册“排列与排列数”教学设计

高中数学选择性必修第一册“排列与排列数”教学设计一、教学背景与课标定位本章内容属于北师大版（2019）选择性必修第一册第五章计数原理第二节。排列与排列数是计数原理的核心组成部分，是学生学习组合、二项式定理以及概率统计知识的基础。从知识体系看，学生在初中阶段已接触过简单的树状图和列表法计数，在上一节学习了分类加法计数原理和分步乘法计数原理，这为本节课的展开提供了必要的思维工具。从高考要求看，排列与排列数的直接考查常以选择和填空形式出现，但更深层次的意义在于培养学生有序思考、不重不漏的计数意识，这种素养在概率解答题中具有不可替代的作用。依据《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》对选择性必修课程的要求，本节内容应引导学生通过具体实例抽象出排列的概念，理解排列数与分步乘法计数原理之间的内在联系，掌握排列数公式并能够灵活运用。教学重点定位为排列概念的建构和排列数公式的推导，教学难点则聚焦于“有序性”的深刻理解以及含限制条件的排列问题的处理策略。二、学情分析与教学策略高二学生已经具备了一定的抽象思维能力和逻辑推理基础，对计数问题并不陌生。但通过课前调查和以往教学经验可以发现，学生在学习本节内容时存在三个典型的认知障碍。第一，将排列数与分步乘法计数原理割裂开来，只记公式不理解公式的来源，导致在遇到具体情境时不会判断是否为排列问题。第二，对“有序”与“无序”的区分只停留在表面，例如从5人中选3人担任不同职务与从5人中选3人参加活动，学生往往难以准确辨析两者的本质区别。第三，在应用排列数公式解决实际问题时，忽略题目中的隐含条件，如“0不能排在首位”等限制条件。针对上述学情，本节课采用“问题驱动—自主探究—合作交流—归纳提升”的教学策略。通过创设贴近学生生活实际的情境，激发学习兴趣，引导学生在解决问题的过程中自然建构排列的概念。在公式推导环节，不直接给出结论，而是通过追问引导学生回归分步乘法计数原理，实现知识的迁移与深化。在巩固应用环节，设计梯度递进的例题和变式，帮助不同层次的学生都能获得发展。三、教学目标设计基于课程标准、教材内容和学情分析，确定以下三个维度的教学目标。知识与技能目标：理解排列的概念，能正确识别排列问题；掌握排列数公式及其推导过程，能够运用公式计算排列数；能解决简单的排列应用题，特别是含有限制条件的排列问题。过程与方法目标：经历从具体实例中抽象出排列概念的过程，体会从特殊到一般的数学思维方法；通过排列数公式的推导，深化对分步乘法计数原理的理解，体会化归与转化的思想。情感态度与价值观目标：在探究活动中感受数学与生活的紧密联系，增强学习数学的兴趣和信心；养成严谨有序、全面思考问题的思维习惯，体会数学的简洁美与逻辑美。四、教学重难点确定教学重点：排列概念的本质特征——元素的互异性和取出的元素按照一定顺序排成一列；排列数公式的推导与简单应用。教学难点：理解排列中“有序性”的含义，能够在复杂情境中准确判断是否为排列问题；正确运用分步乘法计数原理推导排列数公式，并解决含限制条件的问题。五、新课导入设计上课伊始，教师投影展示两个生活情境。情境一：某学校高二年级举办乒乓球单打比赛，从甲乙丙三名选手中选出两人分别参加男子单打和男子双打比赛（双打需要两人配合），问有多少种不同的选法？情境二：从甲乙丙三名选手中选出两人参加学校的乒乓球混合团体赛，问有多少种不同的选法？学生通过列举很快发现：情境一中，选出甲和乙，如果甲参加单打乙参加双打，与乙参加单打甲参加双打，是两种不同的安排；而情境二中，选出甲和乙与选出乙和甲是一样的。教师顺势追问：“为什么同样是从三人中选两人，结果却不同？”学生回答：“前者选出来后有分工，有先后或职务之分，顺序不同算不同情况；后者选出来没有区别，顺序无关。”教师总结：在计数问题中，有一类问题中顺序对结果有影响，这就是我们今天要研究的排列问题。由此自然引出课题。六、排列概念的建构与深化教师引导学生对上述情境进一步抽象，提出问题：“从3个不同的元素中取出2个元素，按照一定的顺序排成一列，共有多少种不同的排法？”学生通过穷举法列出所有可能，教师引导将其符号化：用A，B，C表示三个元素，则所有排法为AB，BA，AC，CA，BC，CB，共6种。教师追问：“如果从4个不同的元素中取出3个排成一列呢？能否不用列举，直接通过逻辑推理得出结果？”学生小组讨论后，有学生利用分步乘法计数原理作答：第一步确定第一个位置，有4种选择；第二步确定第二个位置，从剩余3个中选，有3种选择；第三步确定第三个位置，从剩余2个中选，有2种选择。因此总数为4×3×2=24。教师在此基础上引导学生给出排列的定义：一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。教师特别强调定义中的两个关键词：“不同元素”和“按照一定的顺序”。并要求学生判断以下问题是否为排列问题：从5名同学中选出2名同学担任班长和学习委员；从5名同学中选出2名同学参加志愿服务活动。学生辨析后明确：前者有职务区分，顺序影响结果，是排列；后者没有顺序要求，不是排列。教师进一步引导学生思考：“两个排列相同的条件是什么？”学生讨论后归纳：当且仅当两个排列的元素完全相同，且元素的排列顺序也完全相同。教师举例说明AB和BA虽然元素相同但顺序不同，因此是不同的排列。七、排列数公式的推导在建立排列概念的基础上，教师引入排列数的概念：从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号Aₙᵐ表示。教师提出问题：“如何计算Aₙᵐ？”引导学生类比从4个元素中取3个的情况，利用分步乘法计数原理进行推导。教师通过以下追问逐步推进思维。第一个位置可以从n个元素中任选一个，有n种方法。第二个位置只能从剩下的n1个元素中选一个，有n1种方法。第三个位置有n2种方法。以此类推，第m个位置有nm+1种方法。根据分步乘法计数原理，完成这件事共有n(n1)(n2)…(nm+1)种方法。因此得到排列数公式：Aₙᵐ=n(n1)(n2)…(nm+1)其中m，n∈N，且m≤n。教师引导学生观察公式结构特征：公式右边是m个连续正整数的乘积，其中最大因数为n，最小因数为nm+1。为帮助学生记忆，教师给出具体的数值代入：A₅²=5×4=20，A₇³=7×6×5=210，A₁₀⁴=10×9×8×7=5040。当m=n时，即从n个不同元素中取出n个元素的排列数，称为全排列，记为Aₙⁿ，公式为：Aₙⁿ=n×(n1)×(n2)×…×3×2×1=n!教师介绍阶乘符号“!”的读法和意义，并指出排列数公式可以变形为：Aₙᵐ=n!/(nm)!教师特别说明，为保证公式在m=n时成立，规定0!=1，这一规定将在后续学习组合数时发挥重要作用。教师提醒学生注意，当m接近n时，利用阶乘形式计算更为简便，但具体计算时应灵活选择公式形式。八、典型例题精讲与变式训练例1：计算下列排列数。（1）A₆²；（2）A₈³；（3）A₁₂⁴。学生独立完成后，教师请三名学生板演并讲解思路。第（1）小题直接利用连乘形式：6×5=30。第（2）小题8×7×6=336。第（3）小题12×11×10×9=11880。教师强调书写规范性，要求每一步化简过程清晰可见。例2：某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任挂1面、2面或3面，并且不同的顺序表示不同的信号。问一共可以表示多少种不同的信号？教师引导学生分析：挂1面旗有A₃¹种方法，挂2面旗有A₃²种方法，挂3面旗有A₃³种方法。因为每次可以挂1面、2面或3面，三类情况互不重叠，根据分类加法计数原理，总数为A₃¹+A₃²+A₃³=3+6+6=15种。教师强调：当一个计数问题需要分类处理时，要先分类再在每一类中使用相应的计数方法，最后求和。例3：用0到9这10个数字可以组成多少个没有重复数字的三位数？教师先让学生独立思考，然后小组交流。学生可能给出多种解法。解法一：直接分步。先确定百位数字，由于0不能放在百位，百位有9种选择。再确定十位，从剩余9个数字中选，有9种选择。最后确定个位，从剩余8个数字中选，有8种选择。总数为9×9×8=648个。解法二：间接法。不考虑0的限制，从10个数字中取3个排成一列，有A₁₀³=10×9×8=720种。其中百位为0的情况，相当于从剩余9个数字中取2个排在十位和个位，有A₉²=9×8=72种。所以满足条件的个数为72072=648个。教师引导学生对比两种解法，指出间接法的适用情境——当直接计算情况较多但排除的情况容易计算时，优先考虑间接法。同时提醒学生注意“0不能在首位”是数字排列问题中的常见限制条件。变式训练：由1，2，3，4，5这五个数字可以组成多少个没有重复数字且能被5整除的四位数？学生分析：能被5整除，则个位只能是5。先确定个位为5，只有1种方法；再从剩余4个数字中取3个排在前三位，有A₄³=4×3×2=24种方法。总数为1×24=24个。教师对学生的回答给予肯定，并进一步追问：“如果题目改为‘能被2整除’呢？还能这样简单处理吗？”学生思考后发现，个位可以是2或4，需要分两类讨论。教师借此渗透分类讨论思想。九、含限制条件的排列问题探究教师出示一组有梯度的探究题，引导学生深入理解排列中有特殊元素或特殊位置的处理策略。探究一：7名同学排成一排照相，其中甲必须站在正中间，有多少种不同的排法？学生分析：甲的位置已经固定，只需将剩余6名同学排在其余6个位置，因此有A₆⁶=6!=720种排法。探究二：7名同学排成一排照相，其中甲不站在两端，有多少种不同的排法？学生尝试多种解法。解法一（位置分析法）：先排两端位置，从除甲外的6人中选2人排在两端，有A₆²种方法；再将剩余5人（包括甲）排在中间5个位置，有A₅⁵种方法。总数为A₆²×A₅⁵=30×120=3600种。解法二（元素分析法）：先安排甲，甲只能排在中间5个位置中的任意一个，有5种方法；再将剩余6人排在其余6个位置，有A₆⁶种方法。总数为5×A₆⁶=5×720=3600种。教师组织学生比较两种方法的异同，明确：位置分析法优先考虑特殊位置的要求，元素分析法优先考虑特殊元素的安排。两种方法各有利弊，可根据具体问题灵活选择。探究三：7名同学排成一排照相，甲和乙必须相邻，有多少种不同的排法？教师提示学生使用“捆绑法”。把甲、乙看作一个整体，与其余5人一起排列，相当于6个元素的排列，有A₆⁶种方法。但甲、乙两人内部可以交换位置，有A₂²种方法。根据分步乘法计数原理，总数为A₆⁶×A₂²=720×2=1440种。教师进一步追问：“如果改为甲和乙不相邻呢？”学生经过讨论，尝试使用“插空法”。先排其余5人，有A₅⁵种方法，形成6个空隙（含两端）。从6个空隙中选2个安排甲和乙，有A₆²种方法。总数为A₅⁵×A₆²=120×30=3600种。教师总结捆绑法和插空法的适用条件，引导学生建立方法选择的自觉意识。同时强调，在排列问题中“相邻问题用捆绑，不相邻问题用插空”是一种常用策略，但并非万能方法，需要结合具体情境进行分析。十、数学建模与生活应用拓展教师设计一个综合应用环节，将排列知识与学生的现实生活紧密联系，体现数学的应用价值。情境材料：学校计划从8名候选人中选拔4名学生组成一个代表团参加市学代会。其中候选人中有2名男生和6名女生。现要求代表团中至少有1名男生，问有多少种不同的选拔方案？教师首先引导学生分析该问题是否属于排列问题。学生通过讨论发现，代表团成员之间没有职务区分，即选出后不涉及排序问题，因此不是排列问题。本题实际上属于组合问题，但可以用排列知识中的思维方式进行探究，将在下节课学习组合时解决。教师转而呈现另一个实际问题：某校高二年级举办辩论赛，每班派出4名辩手，分别承担一辩、二辩、三辩和四辩的角色。某班有6名候选辩手，其中甲同学只能担任一辩或四辩，问有多少种不同的安排方案？这是一个典型的排列问题，学生分组讨论后展示解法。先安排甲。若甲担任一辩，则剩余3个角色从其余5人中选3人排列，有A₅³=5×4×3=60种；若甲担任四辩，同样有A₅³=60种。因为两种情况互斥，总数为60+60=120种。教师对学生的解答给予充分肯定，并引导总结：解决排列应用题的一般步骤为审题明确是否与顺序有关，确定特殊元素或特殊位置，选择合适的方法（直接法、间接法、捆绑法、插空法等）进行计算。十一、课堂小结与学习评价教师通过问题引导学生自主回顾本节课的学习历程。“这节课你学到了哪些知识？你是通过什么方法得到这些知识的？你认为排列问题的核心是什么？在解题过程中有哪些容易出错的地方需要引起注意？”学生自由发言后，教师从三个维度进行结构化总结。知识层面：排列的概念，两个排列相同的条件，排列数公式Aₙᵐ=n(n1)(n2)…(nm+1)及其阶乘表示形式。方法层面：从特殊到一般的归纳推理方法，分步乘法计数原理在公式推导中的应用，解决排列问题的基本策略包括直接法、间接法、捆绑法、插空法、位置分析法、元素分析法等。素养层面：排列问题培养的是有序思维能力，这种能力不仅在数学学习中不可或缺，在日常生活和未来工作中也具有重要的迁移价值。教师布置分层作业。基础作业为教材课后练习中的计算题和简单应用题，要求全班完成。提高作业为涉及捆绑法和插空法的排列应用题，供中等以上水平学生完成。拓展作业为研究性学习任务：查阅资料了解排列在密码学中的应用，撰写一份简要报告，鼓励学有余力的学生尝试。十