2026年北师大版高中数学高二年级第12章数列同步练习题及答案

2026年北师大版高中数学高二年级第12章数列同步练习题及答案第1页共1页2026年北师大版高中数学高二年级第12章数列同步练习题及答案一、单项选择题（共10小题，每题2分）1.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_1=2，且对于任意正整数n，都有S_n=3a_n-4，则数列{a_n}的通项公式a_n为A.3^nB.23^(n-1)C.32^(n-1)D.23^n参考答案：B2.在等比数列{b_n}中，若b_3=12，b_5=96，则该数列的公比q为A.2B.3C.4D.6参考答案：B3.已知数列{c_n}满足c_1=1，c_{n+1}=c_n+n(n≥1)，则c_6的值为A.15B.21C.28D.36参考答案：C4.若数列{d_n}的前n项和S_n=n^2+n+1，则d_4的值为A.15B.16C.17D.18参考答案：C5.已知等差数列{e_n}的公差d=2，且e_3+e_7=18，则e_1的值为A.2B.4C.6D.8参考答案：C6.在等比数列{f_n}中，若f_2f_8=64，则f_5的值为A.2B.4C.8D.16参考答案：B7.已知数列{g_n}的前n项和T_n=2^n-1，则g_4的值为A.8B.16C.32D.63参考答案：A8.若数列{h_n}满足h_n=n(n+1)/2，则h_5+h_6的值为A.55B.56C.57D.58参考答案：B9.已知等差数列{i_n}的前10项和为100，前20项和为380，则该数列的公差d为A.3B.4C.5D.6参考答案：D10.在等比数列{j_n}中，若j_1=1，j_3=27，则该数列的前5项和S_5为A.121B.127C.129D.131参考答案：A二、填空题（共10小题，每题2分）1.在等差数列{a_n}中，若a_1=3，a_5=9，则该数列的公差d=______。参考答案：22.已知等比数列{b_n}的前三项依次为1,2,4，则该数列的第四项b_4=______。参考答案：83.数列{c_n}的通项公式为c_n=2n-1，则该数列的前n项和S_n=______。参考答案：n^24.若数列{d_n}满足d_1=1，d_n=d_{n-1}+3(n≥2)，则d_6=______。参考答案：105.在等差数列{e_n}中，若e_3+e_7=18，则e_5=______。参考答案：66.已知数列{f_n}的前n项和为S_n=n^2+n，则f_4=______。参考答案：107.若数列{g_n}的前n项和为S_n=2^n-1，则g_5=______。参考答案：168.在等比数列{h_n}中，若h_2=6，h_4=54，则h_3=______。参考答案：189.数列{i_n}的通项公式为i_n=n/(n+1)，则i_1+i_2+i_3=______。参考答案：1.510.已知数列{j_n}满足j_n=j_{n-1}-2(n≥2)，且j_1=10，则j_4=______。参考答案：4三、判断题（共10小题，每题2分）1.等差数列的前n项和公式为Sn=n(a1+an)/2。参考答案：√2.如果一个数列的相邻两项之差为常数，那么这个数列一定是等差数列。参考答案：√3.等比数列的任意一项都不可能为零。参考答案：√4.数列{an}是等差数列的充要条件是存在常数d，使得an+1=an+d对所有n∈N成立。参考答案：√5.数列{an}的前n项和为Sn=3n^2+2n，则数列{an}是等差数列。参考答案：√6.等比数列的前n项和Sn与Sn+1满足Sn(Sn+1+q)=q，其中q为公比。参考答案：√7.一个数列既是等差数列又是等比数列，那么这个数列一定是常数列。参考答案：√8.已知数列{an}的前n项和为Sn=2^n-1，则数列{an}是等比数列。参考答案：√9.如果数列{an}满足an/an-1=2（n≥2），且a1=1，那么数列{an}是等比数列。参考答案：√10.等差数列{an}中，若a3+a8=10，则a5+a6=10。参考答案：√四、简答题（共8小题，每题2分）1.简述等差数列的定义及其通项公式。参考答案：等差数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数的数列，这个常数叫做公差。等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d，其中a1是首项，d是公差，n是项数。2.说明等比数列的通项公式是如何推导的。参考答案：等比数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数的数列，这个常数叫做公比。等比数列的通项公式为an=a1q^(n-1)，其中a1是首项，q是公比，n是项数。该公式可以通过递推关系推导得到。3.列举等差数列和等比数列的主要性质。参考答案：等差数列的主要性质包括：①任意两项之差是常数；②若m+n=p+q，则am+an=ap+aq；③数列的前n项和Sn=na1+n(n-1)/2d。等比数列的主要性质包括：①任意两项之比是常数；②若m+n=p+q，则aman=apaq；③数列的前n项和Sn=a1(1-q^n)/(1-q)（q≠1）或Sn=a1n（q=1）。4.分析如何判断一个数列是否为等差数列或等比数列。参考答案：判断一个数列是否为等差数列或等比数列，可以通过以下方法：①观察数列中相邻两项的差或比是否为常数；②利用等差数列或等比数列的通项公式或前n项和公式进行验证。5.简述等差数列前n项和公式及其推导过程。参考答案：等差数列前n项和公式为Sn=na1+n(n-1)/2d。推导过程如下：设等差数列的前n项和为Sn=a1+a2+…+an，将数列倒序相加得到Sn=an+an-1+…+a1，两式相加得到2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+…+(an+a1)，即2Sn=n(a1+an)，所以Sn=na1+n(n-1)/2d。6.列举等比数列前n项和公式的两种形式及其适用条件。参考答案：等比数列前n项和公式有两种形式：①当q≠1时，Sn=a1(1-q^n)/(1-q)；②当q=1时，Sn=na1。这两种形式的适用条件分别是q≠1和q=1。7.说明在什么情况下使用等比数列前n项和公式需要分类讨论。参考答案：在以下情况下使用等比数列前n项和公式需要分类讨论：①公比q的绝对值等于1；②数列的前n项和公式需要分情况讨论时，如q=0或q为负数等。8.分析等差数列和等比数列在实际问题中的应用。参考答案：等差数列和等比数列在实际问题中都有广泛的应用。例如，等差数列可以用于描述匀速直线运动、银行按揭贷款等问题；等比数列可以用于描述细菌繁殖、复利计算等问题。五、应用题（共8小题，每题3分）1.已知数列{a_n}是等差数列，首项a_1=3，公差d=2。求数列的前n项和S_n的表达式，并计算S_10的值。参考答案：S_n=n^2+2n2.已知数列{b_n}是等比数列，首项b_1=1，公比q=-2。求证数列的前n项和T_n满足T_n+T_{n-1}=-2^n。参考答案：T_n+T_{n-1}=-2^n3.在等差数列{c_n}中，c_5=10，c_10=25。求该数列的通项公式c_n。参考答案：c_n=3+(n-1)×5/2=(5n-7)/24.在等比数列{d_n}中，d_3=8，d_6=64。求该数列的通项公式d_n。参考答案：d_n=2^{n-1}5.已知数列{e_n}的前n项和为S_n=n^2+n。求该数列的通项公式e_n。参考答案：e_n=2n6.已知数列{f_n}的前n项和为S_n=2^n-1。求该数列的通项公式f_n。参考答案：f_n=2^n-2^{n-1}=2^{n-1}7.在等差数列{g_n}中，g_1=2，g_2=5。求数列的前n项和S_n的表达式。参考答案：S_n=n^2+n8.在等比数列{h_n}中，h_1=3，h_2=6。求数列的前n项和T_n的表达式。参考答案：T_n=3(2^n-1)标准答案与解析一、单项选择题1.参考答案：B解析：由S_n=3a_n-4可得a_1=2=3a_1-4，解得a_1=2。当n≥2时，a_n=S_n-S_{n-1}=(3a_n-4)-(3a_{n-1}-4)=3a_n-3a_{n-1}，整理得a_n=3a_{n-1}。因此数列{a_n}是首项为2，公比为3的等比数列，通项公式为a_n=23^(n-1)。故选B。2.参考答案：B解析：由等比数列性质可得b_3b_5=b_4^2=b_1q^6。又b_3=12，b_5=96，则1296=b_4^2，解得b_4=24。又b_4=b_3q=12q，则12q=24，解得q=2。故选B。3.参考答案：C解析：由c_{n+1}=c_n+n可得c_2=c_1+1=2，c_3=c_2+2=4，c_4=c_3+3=7，c_5=c_4+4=11，c_6=c_5+5=16。因此c_6=16+12=28。故选C。4.参考答案：C解析：由d_n=S_n-S_{n-1}(n≥2)可得d_4=S_4-S_3=(4^2+4+1)-(3^2+3+1)=16+4+1-9-3-1=7。又d_n=S_n-S_{n-1}=n^2+n+1-(n-1)^2-(n-1)-1=2n，则d_4=24=8。因此d_4=7+1=8。故选C。5.参考答案：C解析：由等差数列性质可得e_3+e_7=e_1+e_9=2e_1+8d=18。又d=2，则2e_1+16=18，解得e_1=1。故选C。6.参考答案：B解析：由等比数列性质可得f_2f_8=f_5^2=64，解得f_5=±8。又f_1f_9=f_5^2=64，则f_1f_9=640，因此f_5=8。故选B。7.参考答案：A解析：由g_n=T_n-T_{n-1}(n≥2)可得g_4=T_4-T_3=(2^4-1)-(2^3-1)=16-1-8+1=8。又g_n=T_n-T_{n-1}=2^n-1-(2^{n-1}-1)=2^n-2^{n-1}=2^{n-1}，则g_4=2^3=8。因此g_4=8。故选A。8.参考答案：B解析：由h_n=n(n+1)/2可得h_5=56/2=15，h_6=67/2=21，则h_5+h_6=15+21=36。故选B。9.参考答案：D解析：由等差数列性质可得S_{10}=10(a_1+a_{10})/2=100，即a_1+a_{10}=20。又S_{20}=20(a_1+a_{20})/2=380，即a_1+a_{20}=19。则a_{10}-a_1=20-19=1，即9d=1，解得d=1/9。又S_{20}-S_{10}=10(a_{11}+a_{20})/2=280，即a_{11}+a_{20}=56。则a_{20}=a_1+19d=a_1+19/9，a_{11}=a_1+10d=a_1+10/9。因此a_1+a_1+19/9+a_1+10/9=56，解得a_1=17/3。故选D。10.参考答案：A解析：由等比数列性质可得q^2=j_3/j_1=27/1=27，解得q=3。又S_5=j_1(1-q^5)/(1-q)=1(1-3^5)/(1-3)=121。故选A。二、填空题1.参考答案：2解析：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=3，a_5=9，得9=3+4d，解得d=2。2.参考答案：8解析：由等比数列通项公式b_n=b_1q^(n-1)，代入b_1=1，b_2=2，b_3=4，得q=2，故b_4=12^3=8。3.参考答案：n^2解析：由等差数列前n项和公式S_n=n/2(2a_1+(n-1)d)，代入a_1=1，d=2，得S_n=n/2(2+2(n-1))=n^2。4.参考答案：10解析：由递推关系d_n=d_{n-1}+3，逐项计算得d_2=4，d_3=7，d_4=10，d_5=13，d_6=16。5.参考答案：6解析：由等差数列性质e_3+e_7=2e_5，代入e_3+e_7=18，得2e_5=18，故e_5=9。6.参考答案：10解析：由数列通项公式f_n=S_n-S_{n-1}，代入S_n=n^2+n，得f_1=2，f_2=5，f_3=8，f_4=11。7.参考答案：16解析：由数列通项公式g_n=S_n-S_{n-1}，代入S_n=2^n-1，得g_1=1，g_2=3，g_3=7，g_4=15，g_5=31。8.参考答案：18解析：由等比数列性质h_2h_4=h_3^2，代入h_2=6，h_4=54，得h_3^2=654=324，故h_3=18。9.参考答案：1.5解析：由数列求和i_1+i_2+i_3=1/2+2/3+3/4=6/4+8/6+9/12=27/12=1.5。10.参考答案：4解析：由递推关系j_n=j_{n-1}-2，逐项计算得j_2=8，j_3=6，j_4=4。三、判断题1.参考答案：√解析：等差数列的前n项和公式Sn=n(a1+an)/2是数学定理，由等差数列的定义和求和推导可得，公式正确。2.参考答案：√解析：根据等差数列的定义，如果一个数列的相邻两项之差为常数，即an+1-an=d（常数），那么这个数列满足等差数列的定义，因此是等差数列。3.参考答案：√解析：等比数列的通项公式为an=a1q^(n-1)，其中q为公比。若an=0，则a1q^(n-1)=0，由于q^(n-1)≠0（除非q=0，但q=0时数列退化，不符合等比数列定义），因此a1=0，所有项都为0，此时数列退化，但仍然满足等比数列定义，所以任意一项不可能为零。4.参考答案：√解析：数列{an}是等差数列的充要条件是存在常数d，使得an+1=an+d对所有n∈N成立。这是等差数列的定义，因此该命题正确。5.参考答案：√解析：数列{an}的前n项和为Sn=3n^2+2n，则an=Sn-Sn-1=3n^2+2n-[3(n-1)^2+2(n-1)]=6n-1，因此数列{an}的通项公式为an=6n-1，相邻两项之差为an+1-an=(6(n+1)-1)-(6n-1)=6，是常数，所以数列{an}是等差数列。6.参考答案：√解析：根据等比数列的前n项和公式，当q≠1时，Sn=a1(1-q^n)/(1-q)，Sn+1=a1(1-q^(n+1))/(1-q)，则Sn(Sn+1+q)=a1(1-q^n)/(1-q)[a1(1-q^(n+1))/(1-q)+q]=a1^2(1-q^n)(1-q^(n+1)+q(1-q^n))/(1-q)^2=a1^2(1-q^n)=q，当q=1时，Sn=na1，Sn+1=(n+1)a1，Sn(Sn+1+q)=na1(n+1)a1=na1^2=a1^2，因此q=1时也成立，所以该命题正确。7.参考答案：√解析：一个数列既是等差数列又是等比数列，设公差为d，公比为q，则an=a1+d(n-1)=a1q^(n-1)，因此a1+d=a1q，a12d=a1q^2，a13d=a1q^3，由于a1≠0，可以消去a1得到d=a1(q-1)/1，2d=a1(q^2-1)/1，3d=a1(q^3-1)/1，因此q-1=q^2-1=q^3-1，即q^2=q，q^3=q，解得q=1，此时数列所有项相等，是常数列。8.参考答案：√解析：已知数列{an}的前n项和为Sn=2^n-1，则an=Sn-Sn-1=2^n-1-[2^(n-1)-1]=2^n-2^(n-1)=2^(n-1)，因此数列{an}的通项公式为an=2^(n-1)，相邻两项之比为an+1/an=2^n/2^(n-1)=2，是常数，所以数列{an}是等比数列。9.参考答案：√解析：根据题意，数列{an}满足an/an-1=2（n≥2），且a1=1，则a2/a1=2，a3/a2=2，a4/a3=2，…，an/an-1=2，因此an=2^(n-1)a1=2^(n-1)，所以数列{an}的通项公式为an=2^(n-1)，相邻两项之比为an+1/an=2^(n)/2^(n-1)=2，是常数，所以数列{an}是等比数列。10.参考答案：√解析：等差数列{an}中，若a3+a8=10，则2a1+9d=10，即a1+4.5d=5，又a5+a6=2a1+10d，将a1+4.5d=5代入得2a1+10d=2(5-4.5d)+10d=10-9d+10d=10，因此a5+a6=10。四、简答题1.参考答案：等差数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数的数列，这个常数叫做公差。等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d，其中a1是首项，d是公差，n是项数。解析：本题考查等差数列的定义和通项公式。等差数列的定义是核心，需要明确每一项与前一项的差是常数。通项公式是等差数列的重要公式，需要掌握其推导过程和各个字母的含义。在解题时，要注意区分首项和公差，以及项数n的取值范围。2.参考答案：等比数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数的数列，这个常数叫做公比。等比数列的通项公式为an=a1q^(n-1)，其中a1是首项，q是公比，n是项数。该公式可以通过递推关系推导得到。解析：本题考查等比数列的通项公式的推导过程。等比数列的定义是核心，需要明确每一项与前一项的比是常数。通项公式的推导过程是关键，可以通过递推关系逐步推导得到。在解题时，要注意区分首项和公比，以及项数n的取值范围。3.参考答案：等差数列的主要性质包括：①任意两项之差是常数；②若m+n=p+q，则am+an=ap+aq；③数列的前n项和Sn=na1+n(n-1)/2d。等比数列的主要性质包括：①任意两项之比是常数；②若m+n=p+q，则aman=apaq；③数列的前n项和Sn=a1(1-q^n)/(1-q)（q≠1）或Sn=a1n（q=1）。解析：本题考查等差数列和等比数列的主要性质。等差数列和等比数列都有各自独特的性质，这些性质在解题时经常用到。等差数列的性质主要与差有关，等比数列的性质主要与比有关。在解题时，要注意区分两种数列的性质，并灵活运用。4.参考答案：判断一个数列是否为等差数列或等比数列，可以通过以下方法：①观察数列中相邻两项的差或比是否为常数；②利用等差数列或等比数列的通项公式或前n项和公式进行验证。解析：本题考查判断数列类型的方法。判断数列类型是基础，需要掌握等差数列和等比数列的定义和性质。在解题时，可以先观察数列中相邻两项的差或比，如果差或比是常数，则可以判断该数列是等差数列或等比数列。如果无法直接判断，可以利用通项公式或前n项和公式进行验证。5.参考答案：等差数列前n项和公式为Sn=na1+n(n-1)/2d。推导过程如下：设等差数列的前n项和为Sn=a1+a2+…+an，将数列倒序相加得到Sn=an+an-1+…+a1，两式相加得到2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+…+(an+a1)，即2Sn=n(a1+an)，所以Sn=na1+n(n-1)/2d。解析：本题考查等差数列前n项和公式的推导过程。等差数列前n项和公式的推导过程是基础，需要掌握其推导方法。在解题时，可以通过倒序相加法推导得到该公式。需要注意的是，在推导过程中，要注意项数的取值范围，以及首项和末项的表示方法。6.参考答案：等比数列前n项和公式有两种形式：①当q≠1时，Sn=a1(1-q^n)/(1-q)；②当q=1时，Sn=na1。这两种形式的适用条件分别是q≠1和q=1。解析：本题考查等比数列前n项和公式的两种形式及其适用条件。等比数列前n项和公式的两种形式是基础，需要掌握其适用条件。在解题时，要注意区分两种形式的适用条件，并根据题目中给出的公比q选择合适的公式进行计算。如果q=1，则数列是常数列，前n项和为na1。7.参考答案：在以下情况下使用等比数列前n项和公式需要分类讨论：①公比q的绝对值等于1；②数列的前n项和公式需要分情况讨论时，如q=0或q为负数等。解析：本题考查等比数列前n项和公式需要分类讨论的情况。等比数列前n项和公式的分类讨论是基础，需要掌握其分类讨论的依据。在解题时，要注意公比q的取值范围，并根据q的取值范围选择合适的公式进行计算。如果q=1或q=-1，则需要单独讨论。8.参考答案：等差数列和等比数列在实际问题中都有广泛的应用。例如，等差数列可以用于描述匀速直线运动、银行按揭贷款等问题；等比数列可以用于描述细菌繁殖、复利计算等问题。解析：本题考查等差数列和等比数列在实际问题中的应用。等差数列和等比数列在实际问题中都有广泛的应用，需要掌握其应用场景。在解题时，可以根据实际问题中的条件判断该问题是否可以用等差数列或等比数列来描述，并利用相应的公式进行计算。五、应用题1.参考答案：S_n=n^2+2n解析：由等差数列前n项和公式S_n=n(a_1+a_n)/2，其中a_n=a_1+(n-1)d。代入a_1=3，d=2，得a_n=3+2(n-1)=2n+1。所以S_n=n(3+2n+1)/2=n(2n+4)/2=n^2+2n。计算S_10=10^2+2×10=100+20=120。2.参考答案：T_n+T_{n-1}=-2^n解析：由等比数列前n项和公式T_n=b_1(1-q^n)/(1-q)，代入b_1=1，q=-2，得T_n=1(1-(-2)^n)/(1-(-2))=(1-(-2)^n)/3。同理T_{n-1}=(1-(-2)^{n-1})/3。所以T_n+T_{n-1}=(1-(-2)^n)/3+(1-(-2)^{n-1})/3=(2-(-2)^n-(-2)^{n-1})/3。因为(-2)^n=(-2)×(-2)^{n-1}，所以T_n+T_{n-1}=(2-(-2)×(-2)^{n-1}-(-2)^{n-1})/3=(2-(-2)^{n-1}-(-2)^{n-1})/3=(2-2×(-2)^{n-1})/3=(2-(-2)^n)/3=-2^n。3.参考答案：c_n=3+(n-1)×5/2=(5n-7)/2解析：由等差数列通项公式c_n=a_1+(n-1)d。设公差为d，由c_5=10，得3+4d=10，解得d=7/4。由c_10=25，得3+9d=25，解得d=7/4。所以c_n=3+(n-1)×7/4=3+7n/4-7/4=(12+7n-7)/4=(7n+5)/4=(5n-7)/2。4.参考答案：d_n=2^{n-1}解析：由等比数列通项公式d_n=b_1q^{n-1}。设公比为q，由d_3=8，得1×q^2=8，解得q=±√8=±2√2。