2026年北师大版高中数学第10章数列习题及答案

2026年北师大版高中数学第10章数列习题及答案第1页共1页2026年北师大版高中数学第10章数列习题及答案一、单项选择题（共10小题，每题2分）1.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_1=2，且对于任意正整数n，都有S_n=3a_n-4，则数列{a_n}的通项公式为A.a_n=3^nB.a_n=23^(n-1)C.a_n=32^(n-1)D.a_n=23^n参考答案：C2.在等比数列{b_n}中，若b_3=12，b_5=96，则该数列的公比q为A.2B.3C.4D.6参考答案：B3.已知数列{c_n}满足c_1=1，c_{n+1}=c_n+n(n≥1)，则c_5的值为A.10B.11C.12D.15参考答案：C4.若数列{d_n}的前n项和S_n=n^2+n，则d_4的值为A.7B.8C.9D.10参考答案：B5.已知等差数列{e_n}的公差d=2，且e_3+e_7=18，则e_1的值为A.2B.4C.6D.8参考答案：C6.在等比数列{f_n}中，若f_2f_8=64，则f_5的值为A.2B.4C.8D.16参考答案：D7.已知数列{g_n}的前n项和为S_n=2^n-1，则g_4的值为A.8B.7C.6D.5参考答案：B8.若数列{h_n}满足h_n=n(n+1)/2，则h_6的值为A.21B.28C.30D.36参考答案：B9.已知等差数列{i_n}的前10项和为100，公差d=3，则i_1的值为A.1B.2C.3D.4参考答案：D10.在等比数列{j_n}中，若j_1=1，j_10=1024，则该数列的公比q为A.2B.4C.8D.16参考答案：A二、填空题（共10小题，每题2分）1.在等差数列{a_n}中，若a_1=3，a_5=9，则该数列的公差d等于______。参考答案：22.已知等比数列{b_n}的前三项依次为1,2,4，则该数列的第四项b_4等于______。参考答案：83.数列{c_n}的通项公式为c_n=2n-1，则该数列的前五项之和S_5等于______。参考答案：254.若数列{d_n}满足d_1=1，d_n=d_{n-1}+3(n≥2)，则d_6的值等于______。参考答案：105.在等差数列{e_n}中，若e_3+e_7=18，则e_5的值等于______。参考答案：66.已知数列{f_n}的前n项和为S_n=n^2+n，则f_4的值等于______。参考答案：107.若数列{g_n}的前n项和为S_n=3^n-1，则g_3的值等于______。参考答案：188.在等比数列{h_n}中，若h_2=6，h_4=54，则该数列的公比q等于______。参考答案：39.数列{i_n}的通项公式为i_n=(-1)^(n+1)n，则该数列的前六项之和S_6等于______。参考答案：010.已知数列{j_n}满足j_n=n(n+1)/2，则j_3+j_4+j_5的值等于______。参考答案：27三、判断题（共10小题，每题2分）1.等差数列的前n项和公式为Sn=n(a1+an)/2。参考答案：√2.如果一个数列的通项公式是an=2n-1，那么这个数列是等比数列。参考答案：×3.在等比数列中，若m+n=p+q，则aman=apaq。参考答案：√4.数列{an}是递增数列的充分必要条件是对于任意n∈N，都有an+1an。参考答案：×5.数列的前n项和Sn=2^n-1，则这个数列一定是等比数列。参考答案：√6.已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=3^n-1，则数列{an}是等比数列。参考答案：√7.等差数列的任意两项之差等于公差。参考答案：√8.如果数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=na+nb，那么数列{an}是等差数列。参考答案：√9.数列{an}是等差数列的充要条件是存在常数d，使得对于任意n∈N，都有an+1=an+d。参考答案：√10.数列{an}是等比数列的充要条件是存在常数q≠0，使得对于任意n∈N，都有an+1=anq。参考答案：×四、简答题（共8小题，每题2分）1.简述等差数列的定义及其通项公式。参考答案：等差数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数的数列，这个常数叫做公差。等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d，其中a1是首项，d是公差，n是项数。2.说明等比数列的通项公式是如何推导的。参考答案：等比数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数的数列，这个常数叫做公比。等比数列的通项公式为an=a1q^(n-1)，其中a1是首项，q是公比，n是项数。该公式可以通过递推关系推导得到。3.列举等差数列和等比数列的主要性质。参考答案：等差数列的主要性质包括：任意两项之差为常数；若m+n=p+q，则am+an=ap+aq；数列的前n项和Sn=n(a1+an)/2；数列的任意连续三项也构成等差数列。等比数列的主要性质包括：任意两项之比为常数；若m+n=p+q，则aman=apaq；数列的前n项和Sn=a1(1-q^n)/(1-q)（q≠1）；数列的任意连续三项也构成等比数列。4.分析如何判断一个数列是否为等差数列或等比数列。参考答案：判断一个数列是否为等差数列，可以检查从第二项起，每一项与它的前一项的差是否为同一个常数。如果是，则该数列为等差数列；否则，不是。判断一个数列是否为等比数列，可以检查从第二项起，每一项与它的前一项的比是否为同一个常数。如果是，则该数列为等比数列；否则，不是。5.简述等差数列前n项和的公式及其推导过程。参考答案：等差数列前n项和的公式为Sn=n(a1+an)/2，其中a1是首项，an是第n项。推导过程可以通过构造一个等差数列的和，然后将其倒序相加，最后得到前n项和的公式。6.说明等比数列前n项和的公式及其适用条件。参考答案：等比数列前n项和的公式为Sn=a1(1-q^n)/(1-q)（q≠1），其中a1是首项，q是公比。该公式适用于公比q不等于1的等比数列。当q=1时，等比数列的前n项和为Sn=na1。7.列举等差数列和等比数列在实际生活中的应用实例。参考答案：等差数列在实际生活中的应用实例包括：银行按揭贷款的每月还款额；物体做匀加速直线运动时，每秒的速度变化量；工厂生产线上，每小时的产量增加量等。等比数列在实际生活中的应用实例包括：细菌的繁殖速度；复利计算；放射性物质的衰变速度等。8.分析等差数列和等比数列在数学其他分支中的应用。参考答案：等差数列和等比数列在数学其他分支中的应用包括：在函数中，等差数列可以表示函数的离散化形式；在微积分中，等差数列可以用于近似计算；在组合数学中，等差数列和等比数列可以用于求解排列组合问题等。五、应用题（共8小题，每题3分）1.已知等差数列{a_n}的首项为3，公差为2，求该数列的前10项和S_10。参考答案：S_10=2102.在等比数列{b_n}中，b_1=1，b_3=8，求b_5的值。参考答案：b_5=323.某工厂计划每年比上一年增产10%的产品，如果今年产量为100万件，求5年后的预计产量（精确到0.1万件）。参考答案：161.1万件4.已知数列{c_n}的前n项和为S_n=2n^2+3n，求c_4的值。参考答案：c_4=355.某城市人口每年自然增长率为1%，如果当前人口为100万，求10年后的人口数量（精确到0.1万）。参考答案：110.5万6.在等差数列{d_n}中，d_5=10，d_10=25，求该数列的通项公式。参考答案：d_n=3n-57.已知数列{e_n}的前n项和为S_n=n^2+n，求e_3的值。参考答案：e_3=88.某投资项目的年利率为5%，如果现在投资1000元，求5年后的本息和（精确到1元）。参考答案：1283元标准答案与解析一、单项选择题1.参考答案：C解析：由S_n=3a_n-4可得a_1=2=3a_1-4，解得a_1=2。当n≥2时，a_n=S_n-S_{n-1}=(3a_n-4)-(3a_{n-1}-4)=3a_n-3a_{n-1}，整理得a_n=3a_{n-1}。因此数列{a_n}是首项为2，公比为3的等比数列，通项公式为a_n=23^(n-1)。故正确答案为C。选项A错误，3^n不是首项为2的等比数列；选项B错误，23^(n-1)是首项为2的等比数列但公比应为3；选项D错误，23^n是首项为6的等比数列。2.参考答案：B解析：由等比数列性质可得b_3b_5=b_4^2=b_1q^6。又b_3=12，b_5=96，则1296=b_4^2，解得b_4=24。又b_4=b_3q=12q，则12q=24，解得q=2。故正确答案为B。选项A错误，q=2时b_4=24；选项C错误，q=4时b_4=48；选项D错误，q=6时b_4=72。3.参考答案：C解析：由c_{n+1}=c_n+n可得c_2=c_1+1=1+1=2，c_3=c_2+2=2+2=4，c_4=c_3+3=4+3=7，c_5=c_4+4=7+4=11。故正确答案为C。选项A错误，11≠10；选项B错误，11≠11；选项D错误，11≠15。4.参考答案：B解析：由S_n=n^2+n可得d_n=S_n-S_{n-1}=(n^2+n)-[(n-1)^2+(n-1)]=n^2+n-n^2+2n-1-n+1=2n。则d_4=24=8。故正确答案为B。选项A错误，8≠7；选项C错误，8≠12；选项D错误，8≠10。5.参考答案：C解析：由等差数列性质可得e_3+e_7=e_1+2d+e_1+6d=2e_1+8d。又d=2，e_3+e_7=18，则2e_1+82=18，解得2e_1+16=18，2e_1=2，e_1=1。故正确答案为C。选项A错误，e_1=1≠2；选项B错误，e_1=1≠4；选项D错误，e_1=1≠8。6.参考答案：D解析：由等比数列性质可得f_2f_8=f_5^2=f_1q^8。又f_2f_8=64，则f_5^2=64，解得f_5=±8。又数列{f_n}是等比数列，若f_10，则所有项均为正，故f_5=8。故正确答案为D。选项A错误，8≠2；选项B错误，8≠4；选项C错误，8≠8。7.参考答案：B解析：由S_n=2^n-1可得g_n=S_n-S_{n-1}=(2^n-1)-(2^{n-1}-1)=2^n-2^{n-1}=2^{n-1}。则g_4=2^{4-1}=2^3=8。故正确答案为B。选项A错误，8≠8；选项C错误，8≠6；选项D错误，8≠5。8.参考答案：B解析：由h_n=n(n+1)/2可得h_6=6(6+1)/2=67/2=42/2=21。故正确答案为B。选项A错误，21≠21；选项C错误，21≠30；选项D错误，21≠36。9.参考答案：D解析：由等差数列前n项和公式S_n=n(a_1+a_n)/2可得100=10(a_1+i_{10})/2，即100=5(a_1+i_{10})，解得a_1+i_{10}=20。又i_{10}=i_1+9d=i_1+93=i_1+27，则i_1+27=20，解得i_1=20-27=-7。故正确答案为D。选项A错误，-7≠1；选项B错误，-7≠2；选项C错误，-7≠3。10.参考答案：A解析：由等比数列通项公式可得j_10=j_1q^9=1q^9=q^9=1024。又1024=2^10，则q^9=2^10，解得q=2。故正确答案为A。选项B错误，q=4时q^9=4^9≠1024；选项C错误，q=8时q^9=8^9≠1024；选项D错误，q=16时q^9=16^9≠1024。二、填空题1.参考答案：2解析：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=3，a_5=9，得9=3+4d，解得d=2。2.参考答案：8解析：由等比数列通项公式b_n=b_1q^(n-1)，代入b_1=1，b_2=2，b_3=4，得2=q，4=q^2，解得q=2，故b_4=2^3=8。3.参考答案：25解析：S_5=c_1+c_2+c_3+c_4+c_5=(21-1)+(22-1)+(23-1)+(24-1)+(25-1)=1+3+5+7+9=25。4.参考答案：10解析：由数列递推关系d_n=d_{n-1}+3，可得d_2=d_1+3=4，d_3=d_2+3=7，d_4=d_3+3=10，d_5=13，d_6=16。5.参考答案：6解析：由等差数列性质e_3+e_7=2e_5，代入e_3+e_7=18，得2e_5=18，解得e_5=9。6.参考答案：10解析：f_4=S_4-S_3=4^2+4-3^2-3=16+4-9-3=10。7.参考答案：18解析：g_3=S_3-S_2=(3^3-1)-(2^3-1)=27-1-8+1=18。8.参考答案：3解析：由等比数列通项公式h_n=h_1q^(n-1)，代入h_2=6，h_4=54，得6=h_1q，54=h_1q^3，联立解得q=3。9.参考答案：0解析：S_6=(-1)^21+(-1)^32+(-1)^43+(-1)^54+(-1)^65+(-1)^76=1-2+3-4+5-6=0。10.参考答案：27解析：j_3+j_4+j_5=34/2+45/2+56/2=6+10+15=27。三、判断题1.参考答案：√解析：等差数列的前n项和公式Sn=n(a1+an)/2是数学中关于等差数列的基本公式，它表示等差数列前n项的和等于首项与末项的算术平均数乘以项数n，该公式在等差数列的求和问题中具有广泛的应用，是高中数学数列部分的核心知识点之一。2.参考答案：×解析：数列an=2n-1的通项公式表明每一项与前一项的比值是常数2，因此这个数列是等比数列，而不是等差数列。等比数列的定义是相邻两项的比值相等，而等差数列的定义是相邻两项的差相等。在这个数列中，an+1-an=2(n+1)-1-(2n-1)=2，这是一个常数，所以这个数列是等差数列，而不是等比数列。3.参考答案：√解析：在等比数列中，若m+n=p+q，则根据等比数列的性质，aman=apaq。这是因为等比数列的每一项可以表示为首项乘以公比的幂次，即an=a1q^(n-1)。因此，aman=a1q^(m-1)a1q^(n-1)=a1^2q^(m+n-2)，apaq=a1^2q^(p+q-2)。由于m+n=p+q，所以aman=apaq，这表明等比数列中满足m+n=p+q的任意两项的乘积等于满足p+q的另外两项的乘积。4.参考答案：×解析：数列{an}是递增数列的充分必要条件是对于任意n∈N，都有an+1an。这个说法是错误的，因为数列{an}是递增数列的定义是对于任意n∈N，都有an+1≥an，而不是an+1an。如果存在某个n使得an+1=an，那么数列仍然是递增的，只是在这个点上没有严格递增。5.参考答案：√解析：数列的前n项和Sn=2^n-1，这个数列是等比数列。这是因为等比数列的前n项和公式为Sn=a1(1-q^n)/(1-q)，其中a1是首项，q是公比。将Sn=2^n-1代入公式，可以得到a1=1，q=2，因此这个数列是首项为1，公比为2的等比数列。6.参考答案：√解析：已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=3^n-1，则数列{an}是等比数列。这是因为等比数列的前n项和公式为Sn=a1(1-q^n)/(1-q)，其中a1是首项，q是公比。将Sn=3^n-1代入公式，可以得到a1=1，q=3，因此这个数列是首项为1，公比为3的等比数列。7.参考答案：√解析：等差数列的任意两项之差等于公差是等差数列的基本性质。等差数列的定义是相邻两项的差是一个常数，这个常数被称为公差。因此，对于等差数列{an}，任意两项an和an+k的差是a(n+k)-an=kd，其中d是公差，k是任意正整数。8.参考答案：√解析：如果数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=na+nb，那么数列{an}是等差数列。这是因为等差数列的前n项和公式为Sn=n(a1+an)/2，其中a1是首项，an是第n项。将Sn=na+nb代入公式，可以得到a1=0，an=2a+2b，因此这个数列是首项为0，公差为2a+2b的等差数列。9.参考答案：√解析：数列{an}是等差数列的充要条件是存在常数d，使得对于任意n∈N，都有an+1=an+d。这是等差数列的定义，即相邻两项的差是一个常数，这个常数被称为公差。因此，如果数列{an}是等差数列，那么存在常数d，使得对于任意n∈N，都有an+1=an+d。10.参考答案：×解析：数列{an}是等比数列的充要条件是存在常数q≠0，使得对于任意n∈N，都有an+1=anq。这个说法是错误的，因为数列{an}是等比数列的定义是对于任意n∈N，都有an+1/an=q，其中q是公比。如果存在某个n使得an=0，那么数列不可能是等比数列，因为等比数列中不能有零项。四、简答题1.参考答案：等差数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数的数列，这个常数叫做公差。等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d，其中a1是首项，d是公差，n是项数。解析：等差数列的定义是核心考点，通过首项和公差可以确定数列中的任意一项。通项公式an=a1+(n-1)d是等差数列的基本公式，它揭示了数列中任意项与首项、公差和项数之间的关系。在解题时，需要根据已知条件求出首项和公差，然后代入公式求解。错误选项可能包括将公差误认为是任意项与首项的差，或者将通项公式误写为an=a1+nd等。2.参考答案：等比数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数的数列，这个常数叫做公比。等比数列的通项公式为an=a1q^(n-1)，其中a1是首项，q是公比，n是项数。该公式可以通过递推关系推导得到。解析：等比数列的定义和通项公式是等比数列的核心内容。通项公式an=a1q^(n-1)揭示了数列中任意项与首项、公比和项数之间的关系。推导过程通常从第二项开始，利用递推关系an=an-1q，逐步展开得到通项公式。错误选项可能包括将公比误认为是任意项与首项的比，或者将通项公式误写为an=a1qn等。3.参考答案：等差数列的主要性质包括：任意两项之差为常数；若m+n=p+q，则am+an=ap+aq；数列的前n项和Sn=n(a1+an)/2；数列的任意连续三项也构成等差数列。等比数列的主要性质包括：任意两项之比为常数；若m+n=p+q，则aman=apaq；数列的前n项和Sn=a1(1-q^n)/(1-q)（q≠1）；数列的任意连续三项也构成等比数列。解析：等差数列和等比数列的性质是解决相关问题的关键。等差数列的性质主要涉及项与项之间的关系、前n项和的计算等；等比数列的性质则涉及项与项之间的比例关系、前n项和的计算等。在解题时，需要根据已知条件选择合适的性质进行应用。错误选项可能包括将等差数列的性质误用于等比数列，或者将等比数列的性质误用于等差数列。4.参考答案：判断一个数列是否为等差数列，可以检查从第二项起，每一项与它的前一项的差是否为同一个常数。如果是，则该数列为等差数列；否则，不是。判断一个数列是否为等比数列，可以检查从第二项起，每一项与它的前一项的比是否为同一个常数。如果是，则该数列为等比数列；否则，不是。解析：判断数列类型是等差数列还是等比数列是基本技能。对于等差数列，需要检查项与项之间的差是否为常数；对于等比数列，需要检查项与项之间的比是否为常数。在解题时，需要仔细观察数列的规律，避免误判。错误选项可能包括将差误认为是比，或者将比误认为是差。5.参考答案：等差数列前n项和的公式为Sn=n(a1+an)/2，其中a1是首项，an是第n项。推导过程可以通过构造一个等差数列的和，然后将其倒序相加，最后得到前n项和的公式。解析：等差数列前n项和的公式是等差数列的重要性质之一。推导过程通常采用构造法，通过将数列的和倒序相加，利用等差数列的性质得到前n项和的公式。在解题时，需要根据已知条件求出首项和第n项，然后代入公式求解。错误选项可能包括将公式误写为Sn=n(a1-an)/2，或者将公式误用于等比数列。6.参考答案：等比数列前n项和的公式为Sn=a1(1-q^n)/(1-q)（q≠1），其中a1是首项，q是公比。该公式适用于公比q不等于1的等比数列。当q=1时，等比数列的前n项和为Sn=na1。解析：等比数列前n项和的公式是等比数列的重要性质之一。该公式适用于公比q不等于1的等比数列，当q=1时，等比数列的前n项和为na1。在解题时，需要根据已知条件求出首项和公比，然后代入公式求解。错误选项可能包括将公式误写为Sn=a1(1-q)/(1-q^n)，或者将公式误用于等差数列。7.参考答案：等差数列在实际生活中的应用实例包括：银行按揭贷款的每月还款额；物体做匀加速直线运动时，每秒的速度变化量；工厂生产线上，每小时的产量增加量等。等比数列在实际生活中的应用实例包括：细菌的繁殖速度；复利计算；放射性物质的衰变速度等。解析：等差数列和等比数列在实际生活中有广泛的应用。等差数列主要应用于涉及等量增加或减少的情况；等比数列主要应用于涉及等比增长或减少的情况。在解题时，需要根据实际问题的特点选择合适的数列类型进行建模。错误选项可能包括将等差数列误用于等比数列，或者将等比数列误用于等差数列。8.参考答案：等差数列和等比数列在数学其他分支中的应用包括：在函数中，等差数列可以表示函数的离散