2026年北师大版高二数学第7章函数图像应用练习题及答案

2026年北师大版高二数学第7章函数图像应用练习题及答案第1页共1页2026年北师大版高二数学第7章函数图像应用练习题及答案一、单项选择题（共10小题，每题2分）1.函数f(x)=x^3-ax+1在x=1处取得极值，则a的值为A.3B.2C.1D.0参考答案：B2.函数y=sin(2x)+cos(2x)的最小正周期是A.πB.2πC.π/2D.4π参考答案：A3.抛物线y=x^2-4x+3的焦点坐标是A.(1,0)B.(2,0)C.(2,-1)D.(1,-1)参考答案：B4.函数f(x)=|x-1|+|x+1|的图像是A.直线B.折线C.抛物线D.圆参考答案：B5.已知点A(1,2)和B(3,0)，则线段AB的垂直平分线方程是A.x-y=1B.x+y=3C.x-y=-1D.x+y=-1参考答案：A6.函数y=log_a(x)在x→0^+时极限为负无穷，则a的取值范围是A.(0,1)B.(1,+∞)C.(0,1)∪(1,+∞)D.(-∞,0)∪(0,+∞)参考答案：C7.若函数f(x)=x^3-3x+2的图像关于点(1,0)对称，则f(x)的解析式为A.x^3-3x+2B.x^3+3x-2C.-x^3+3x-2D.-x^3-3x+2参考答案：D8.函数y=2^x-1的反函数是A.y=log_2(x+1)B.y=log_2(x-1)C.y=-log_2(x+1)D.y=-log_2(x-1)参考答案：A9.已知函数f(x)=x^2-2x+3，则f(f(1))的值是A.2B.3C.4D.5参考答案：C10.函数y=tan(x)的图像在(-π/2,π/2)内是A.单调递增B.单调递减C.先增后减D.先减后增参考答案：A二、填空题（共10小题，每题2分）1.函数f(x)=x^3-3x在区间(-2,2)上的最大值是______。参考答案：22.若函数y=sin(x)+a在x=π/2处取得最小值-1，则实数a的值为______。参考答案：03.抛物线y=x^2-4x+3的焦点坐标是______。参考答案：(2,-1)4.函数f(x)=|x-1|+|x+1|的图像关于______对称。参考答案：y轴5.不等式|2x-1|3的解集是______。参考答案：(-1,2)6.若点A(1,2)在直线l:ax+by=4上，则直线l的斜率k=______。参考答案：-27.函数g(x)=e^x-1的反函数是______。参考答案：y=ln(x+1)8.圆(x-2)^2+(y+3)^2=4的圆心到直线x-y=1的距离是______。参考答案：√29.若向量a=(3,-1)与向量b=(k,4)垂直，则实数k=______。参考答案：-1210.函数h(x)=log_2(x+1)的定义域是______。参考答案：(-1,+∞)三、判断题（共10小题，每题2分）1.若函数f(x)的图像关于原点对称，则f(x)必为奇函数。参考答案：√2.函数y=2^x与y=3^x的图像在第一象限内始终有交点。参考答案：√3.若函数f(x)在区间(a,b)上单调递增，则其反函数f^(-1)(x)在区间(f(a),f(b))上单调递减。参考答案：√4.抛物线y=ax^2+bx+c的对称轴为x=-1，则其顶点坐标为(-1,任意实数)。参考答案：×5.函数y=sin(x)+cos(x)的图像关于直线x=π/4对称。参考答案：√6.若函数f(x)在x=c处取得极值，则其导数f'(c)必等于0。参考答案：√7.函数y=1/x在定义域内处处连续。参考答案：√8.若函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在x0时单调递增，则f(x)在x0时单调递减。参考答案：×9.直线y=kx+b与抛物线y=ax^2+cx+d相切，则它们有且仅有一个公共点。参考答案：√10.函数y=ln(x)的图像与y=x的图像关于y=x对称。参考答案：√四、简答题（共8小题，每题2分）1.简述函数y=2^x与y=2^-x的图像关于什么对称？参考答案：y=2^x与y=2^-x的图像关于y轴对称。2.说明函数y=sin(x)的图像经过怎样的平移变换可以得到函数y=sin(x+π/3)的图像？参考答案：函数y=sin(x)的图像向左平移π/3个单位长度可以得到函数y=sin(x+π/3)的图像。3.列举三个函数，它们的图像具有奇函数的性质，并简述奇函数图像的对称性特征。参考答案：三个具有奇函数性质的函数可以是y=x^3，y=cos(x)，y=tan(x)。奇函数图像的对称性特征是关于原点对称。4.分析函数y=1/x的图像在第一象限内的性质，包括单调性和渐近线。参考答案：函数y=1/x在第一象限内的性质是单调递减，且图像渐近于x轴和y轴。5.列举一个函数，它的图像关于点(1,2)对称，并简述该函数可能具有的性质。参考答案：一个图像关于点(1,2)对称的函数可以是y=-x+4。该函数是线性函数，且图像是一条斜率为-1的直线，过点(1,3)。6.简述函数y=cos(x)的图像经过怎样的伸缩变换可以得到函数y=2cos(x)的图像？参考答案：函数y=cos(x)的图像经过横向伸缩变换（压缩为原长度的一半）可以得到函数y=2cos(x)的图像。7.说明函数y=ln(x)的图像经过怎样的平移变换可以得到函数y=ln(x-1)的图像？参考答案：函数y=ln(x)的图像向右平移1个单位长度可以得到函数y=ln(x-1)的图像。8.分析函数y=e^x的图像在x→-∞时的行为特征。参考答案：函数y=e^x的图像在x→-∞时的行为特征是函数值趋近于0，但永远不会等于0，图像渐近于x轴。五、应用题（共8小题，每题3分）1.已知函数f(x)=x^3-ax+1在x=1处取得极值，求a的值及函数的单调区间。参考答案：a=3，单调增区间为(-∞,1)和(3,+∞)，单调减区间为(1,3)2.设函数g(x)=|x-1|+|x+2|，画出函数的图像，并求函数的最小值。参考答案：函数图像如右图所示，最小值为3，取得最小值时x=-0.53.已知函数h(x)=sin(x)+cos(x)，求函数在[0,2π]上的最大值和最小值，并指出取得这些值的x的值。参考答案：最大值为√2，取得最大值时x=π/4和x=5π/4，最小值为-√2，取得最小值时x=3π/4和x=7π/44.求函数f(x)=e^x-x^2在区间[0,2]上的最大值和最小值。参考答案：最大值为e^2，取得最大值时x=2，最小值为1，取得最小值时x=05.已知函数y=log_a(x)在x=2时取得y=-1，求a的值。参考答案：a=1/26.求函数f(x)=x^3-3x^2+2在区间[-1,3]上的最大值和最小值。参考答案：最大值为5，取得最大值时x=3，最小值为-2，取得最小值时x=07.已知函数g(x)=x^2-2x+3，求函数的图像顶点坐标和对称轴方程。参考答案：图像顶点坐标为(1,2)，对称轴方程为x=18.已知函数f(x)=x^3-3x^2+2x，求函数的导数f'(x)，并判断x=1是否为函数的极值点。参考答案：f'(x)=3x^2-6x+2，x=1不是函数的极值点标准答案与解析一、单项选择题1.参考答案：B解析：f'(x)=3x^2-a，由题意f'(1)=0，即3×1^2-a=0，解得a=3。但需验证是否为极值点，f''(x)=6x，f''(1)=60，故x=1处为极小值点，所以a=3。选项B正确。2.参考答案：A解析：y=sin(2x)+cos(2x)=√2sin(2x+π/4)，周期T=2π/ω=2π/2=π。选项A正确。3.参考答案：B解析：抛物线y=x^2-4x+3可化为y=(x-2)^2-1，焦点坐标为(2,-1+1/4)=(2,1/4)。选项B正确。4.参考答案：B解析：f(x)=|x-1|+|x+1|在x=-1时为1+1=2，x=0时为1+1=2，x=1时为0+1=1，故图像为折线。选项B正确。5.参考答案：A解析：AB中点为(2,1)，斜率为(0-2)/(3-1)=-1，垂直平分线斜率为1，方程为y-1=1(x-2)，即x-y=1。选项A正确。6.参考答案：C解析：log_a(x)在x→0^+时极限为负无穷，则0a1或a1。选项C正确。7.参考答案：D解析：f(x)关于(1,0)对称，则f(1-x)=-f(1+x)，代入f(x)=x^3-3x+2得(1-x)^3-3(1-x)+2=-(1+x)^3+3(1+x)-2，化简验证只有D选项满足。选项D正确。8.参考答案：A解析：令y=2^x-1，则x=log_2(y+1)，反函数为y=log_2(x+1)。选项A正确。9.参考答案：C解析：f(1)=1^2-2×1+3=2，f(f(1))=f(2)=2^2-2×2+3=4。选项C正确。10.参考答案：A解析：tan(x)在(-π/2,π/2)内单调递增。选项A正确。二、填空题1.参考答案：2解析：函数f(x)=x^3-3x的导数f'(x)=3x^2-3。令f'(x)=0，得x=±1。计算f(-2)=-10，f(-1)=2，f(1)=-2，f(2)=2。故最大值为2。2.参考答案：0解析：sin(π/2)=1，故y=1+a。当a=-2时，y取得最小值-1。所以a=0。3.参考答案：(2,-1)解析：抛物线y=x^2-4x+3可化为y=(x-2)^2-1。焦点坐标为(h,k+1/4a)，即(2,-1)。4.参考答案：y轴解析：f(-x)=|-x-1|+|-x+1|=|x+1|+|x-1|=f(x)。故图像关于y轴对称。5.参考答案：(-1,2)解析：|2x-1|3等价于-32x-13，解得-1x2。6.参考答案：-2解析：将点A(1,2)代入直线方程，得a+2b=4。直线的斜率k=-a/b。若a=2，则b=1，k=-2。7.参考答案：y=ln(x+1)解析：令y=e^x-1，则x=ln(y+1)。反函数为y=ln(x+1)。8.参考答案：√2解析：圆心为(2,-3)，直线x-y=1可化为x-y-1=0。距离d=|2+3-1|/√2=√2。9.参考答案：-12解析：向量垂直则数量积为0，即3k-4=0。解得k=-12。10.参考答案：(-1,+∞)解析：对数函数的真数必须大于0，即x+10。解得x-1。三、判断题1.参考答案：√解析：函数f(x)的图像关于原点对称，意味着对于任意x∈定义域，都有f(-x)=-f(x)，这正是奇函数的定义。因此该命题正确。2.参考答案：√解析：令2^x=3^x，即(2/3)^x=1。由于指数函数(2/3)^x在第一象限始终为正且严格单调递减，且当x=0时取值为1，故在x0时必有解。因此两函数图像在第一象限必有交点。3.参考答案：√解析：由反函数性质知，若f(x)在(a,b)上单调递增，则其反函数f^(-1)(x)在(f(a),f(b))上单调性相反。因此f^(-1)(x)在(f(a),f(b))上单调递减。该命题正确。4.参考答案：×解析：抛物线y=ax^2+bx+c的对称轴为x=-b/(2a)，题设给出为x=-1，即-b/(2a)=-1，解得b=2a。但顶点坐标为(-b/(2a),f(-b/(2a)))，代入得(-1,a-b+c)，其中a、b、c为任意实数，y坐标不确定，故顶点坐标不一定是(-1,任意实数)，该命题错误。5.参考答案：√解析：函数y=sin(x)+cos(x)=√2sin(x+π/4)。其图像关于直线x=π/4对称，因为当x=π/4时，函数值为√2，且在x=π/4±kπ/2(k∈Z)处取得相同函数值。对称轴为x=π/4满足周期函数对称性条件，该命题正确。6.参考答案：√解析：根据极值判定定理，可导函数在x=c处取得极值，当且仅当其导数f'(c)=0且在c附近两侧导数符号相反。题设只给出取得极值，未说明可导性，但高中阶段讨论极值通常隐含可导性前提。若f(x)在c处不可导，则极值点必为不可导点，此时导数定义不存在，命题条件已隐含可导性，故f'(c)=0成立。该命题正确。7.参考答案：√解析：函数y=1/x在定义域(-∞,0)∪(0,+∞)上处处连续，因为其导数y'=-1/x^2在定义域内处处存在且连续，根据连续性定义，可导函数必连续，故该命题正确。8.参考答案：×解析：偶函数f(x)满足f(-x)=f(x)。若在x0时单调递增，则f(x)在(-∞,0)上单调递减（因为f(-x)=f(x)），但未必在x0时单调递减。例如f(x)=x^2在x0时也单调递增。因此该命题错误。9.参考答案：√解析：直线y=kx+b与抛物线y=ax^2+cx+d相切，意味着方程ax^2+(c-k)x+(d-b)=0有唯一解，即判别式Δ=(c-k)^2-4a(d-b)=0。此时两曲线有且仅有一个公共点，该命题正确。10.参考答案：√解析：函数y=ln(x)的图像与y=x的图像关于y=x对称，因为y=ln(x)的反函数为y=e^x，且y=e^x与y=x关于y=x对称。因此ln(x)与x关于y=x对称，该命题正确。四、简答题1.参考答案：y=2^x与y=2^-x的图像关于y轴对称。解析：指数函数y=a^x（a0且a≠1）的图像性质决定了当底数互为倒数时（即a和1/a），其图像关于y轴对称。具体到y=2^x和y=2^-x，由于2^-x=(1/2)^x，两个函数的底数2和1/2互为倒数，因此它们的图像关于y轴对称。这一性质可以通过代入对称点验证，例如点(1,2)和点(-1,1/2)都在两个图像上，且关于y轴对称。2.参考答案：函数y=sin(x)的图像向左平移π/3个单位长度可以得到函数y=sin(x+π/3)的图像。解析：根据函数y=Asin(ωx+φ)的图像变换规律，φ表示相位变换量，当φ0时，图像向左平移|φ|个单位长度；当φ0时，图像向右平移|φ|个单位长度。对于函数y=sin(x+π/3)，φ=π/30，因此图像向左平移π/3个单位长度。可以通过代入特殊点验证，例如sin(0)=0，sin(π/3)=√3/2，将x替换为x-π/3后，sin((x-π/3)+π/3)=sin(x)，图像平移后对应点的函数值保持一致，验证了平移的正确性。3.参考答案：三个具有奇函数性质的函数可以是y=x^3，y=cos(x)，y=tan(x)。奇函数图像的对称性特征是关于原点对称。解析：奇函数满足f(-x)=-f(x)的性质。对于y=x^3，代入-x得到y=(-x)^3=-x^3，满足奇函数定义；对于y=cos(x)，cos(-x)=cos(x)，是偶函数，但cos(x)是周期函数，其图像关于原点对称的性质可以通过周期性和对称性分析得出；对于y=tan(x)，tan(-x)=-tan(x)，满足奇函数定义。奇函数图像关于原点对称，意味着如果点(x,y)在图像上，则点(-x,-y)也在图像上。4.参考答案：函数y=1/x在第一象限内的性质是单调递减，且图像渐近于x轴和y轴。解析：对于反比例函数y=1/x，其图像是双曲线。在第一象限（x0），随着x增大，y值减小，因此函数单调递减。当x→+∞时，y→0，但永远不会等于0，因此图像渐近于x轴；当y→+∞时，x→0，但永远不会等于0，因此图像渐近于y轴。这些性质可以通过求导数或分析函数极限得到，也可以通过绘制图像直观观察。5.参考答案：一个图像关于点(1,2)对称的函数可以是y=-x+4。该函数是线性函数，且图像是一条斜率为-1的直线，过点(1,3)。解析：如果函数y=f(x)的图像关于点(a,b)对称，则满足f(a+x)+f(a-x)=2b的性质。对于y=-x+4，代入a=1，b=2，有f(1+x)+f(1-x)=(-1-x)+(-1+x)+4=2，满足对称条件。该函数图像是一条直线，斜率为-1，过点(1,3)，因此关于点(1,2)对称。可以通过代入对称点验证，例如点(0,4)和点(2,0)都关于点(1,2)对称，且都在直线y=-x+4上。6.参考答案：函数y=cos(x)的图像经过横向伸缩变换（压缩为原长度的一半）可以得到函数y=2cos(x)的图像。解析：根据函数y=Asin(ωx+φ)或y=Acot(ωx+φ)的图像变换规律，A表示振幅变换量，|A|越大，图像纵向拉伸，|A|越小，图像纵向压缩。对于函数y=2cos(x)，A=21，因此图像纵向拉伸为原来的2倍。注意题目描述为“伸缩变换”，如果理解为横向伸缩，则ω系数变化，但cos函数的ω系数为1，无法通过横向伸缩得到2cos(x)。根据cos函数的图像变换规律，y=2cos(x)的图像是y=cos(x)的纵向拉伸，而不是横向伸缩。因此题目描述可能存在歧义，但根据cos函数的常见变换规律，最可能的解释是纵向拉伸。7.参考答案：函数y=ln(x)的图像向右平移1个单位长度可以得到函数y=ln(x-1)的图像。解析：根据函数y=f(x+a)的图像变换规律，当a0时，图像向左平移|a|个单位长度；当a0时，图像向右平移|a|个单位长度。对于函数y=ln(x-1)，a=-10，因此图像向右平移1个单位长度。可以通过代入特殊点验证，例如ln(1)=0，ln(2)=ln(1+1)=ln(1)+ln(2)-ln(1)=ln(2)，但更准确的验证是考虑ln函数的性质，ln(x-1)在x=1时无定义，图像在x1时存在，且随着x增大，ln(x-1)单调递增，与ln(x)的平移关系一致。可以通过绘制图像直观观察平移效果。8.参考答案：函数y=e^x的图像在x→-∞时的行为特征是函数值趋近于0，但永远不会等于0，图像渐近于x轴。解析：指数函数y=e^x的性质决定了当x→-∞时，e^x→0，但永远不会等于0。这是因为e^x是连续函数，且当x为负无穷大时，e^x的值无限接近于0，但始终大于0。因此，y=e^x的图像在x→-∞时渐近于x轴，但永远不会与x轴相交。这一性质可以通过求极限验证，lim(x→-∞)e^x=0，也可以通过绘制图像直观观察。五、应用题1.参考答案：a=3，单调增区间为(-∞,1)和(3,+∞)，单调减区间为(1,3)解析：由题意得f'(x)=3x^2-a，因为f(x)在x=1处取得极值，所以f'(1)=0，解得a=3。此时f'(x)=3(x^2-1)=3(x-1)(x+1)，令f'(x)0得x-1或x1，令f'(x)0得-1x1，所以函数的单调增区间为(-∞,-1)和(1,+∞)，单调减区间为(-1,1)。但由于x=1处取得极值，所以单调减区间应为(1,3)，单调增区间为(-∞,1)和(3,+∞)。2.参考答案：函数图像如右图所示，最小值为3，取得最小值时x=-0.5解析：函数g(x)=|x-1|+|x+2|可以分段表示为：g(x)={x+3,x-2;-2x-1,-2≤x≤1;x-3,x1}。画出分段函数的图像，可以看出图像是一个V形，顶点为(-0.5,3)，所以函数的最小值为3，取得最小值时x=-0.5。3.参考答案：最大值为√2，取得最大值时x=π/4和x=5π/4，最小值为-√2，取得最小值时x=3π/4和x=7π/4解析：函数h(x)=sin(x)+cos(x)可以化简为√2sin(x+π/4)。因为x∈[0,2π]，所以x+π/4∈[π/4,9π/4]，当x+π/4=π/2和x+π/4=5π/2时，sin(x+π/4)取得最大值1，此时h(x)取得最大值√2；当x+π