2026年北师大版高中三年级数学下册第12单元数列知识点巩固习题及答案

2026年北师大版高中三年级数学下册第12单元数列知识点巩固习题及答案第1页共1页2026年北师大版高中三年级数学下册第12单元数列知识点巩固习题及答案一、单项选择题（共10小题，每题2分）1.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_1=2，且对于任意正整数n，都有S_n=3a_n-4，则数列{a_n}的通项公式a_n为A.3^nB.23^(n-1)C.3^n-1D.23^n参考答案：C2.在等差数列{a_n}中，若a_5=10，a_10=25，则该数列的公差d为A.3B.4C.5D.6参考答案：C3.已知数列{b_n}是等比数列，且b_2=6，b_4=54，则数列{b_n}的公比q为A.3B.4C.5D.6参考答案：A4.已知数列{c_n}的前n项和为S_n=n^2+n，则数列{c_n}的第5项c_5为A.25B.30C.35D.40参考答案：C5.在等差数列{d_n}中，若a_1+a_3+a_5=15，且公差d=2，则数列{d_n}的首项a_1为A.1B.2C.3D.4参考答案：B6.已知数列{e_n}的前n项和为S_n=2^n-1，则数列{e_n}的第4项e_4为A.8B.7C.6D.5参考答案：B7.在等比数列{f_n}中，若f_1=1，f_3=8，则该数列的第三项f_3为A.8B.16C.24D.32参考答案：A8.已知数列{g_n}的前n项和为S_n=n(n+1)/2，则数列{g_n}的第6项g_6为A.6B.12C.18D.24参考答案：D9.在等差数列{h_n}中，若a_2+a_4+a_6=18，且公差d=2，则数列{h_n}的首项a_1为A.1B.2C.3D.4参考答案：B10.已知数列{i_n}的前n项和为S_n=3^n-2，则数列{i_n}的第3项i_3为A.19B.20C.21D.22参考答案：C二、填空题（共10小题，每题2分）1.等差数列{a_n}中，若a_1=3,d=2,则a_5=______.参考答案：112.已知数列{b_n}满足b_1=1,b_n=b_{n-1}+n(n≥2),则b_4=______.参考答案：103.等比数列{c_n}中，若c_2=6,c_4=54,则公比q=______.参考答案：34.数列{d_n}的前n项和S_n=2n^2-3n,则d_3=______.参考答案：75.若数列{e_n}的前n项和T_n=n^2+2n,则e_2=______.参考答案：56.已知数列{f_n}满足f_1=2,f_n=f_{n-1}+3(n≥2),则f_5=______.参考答案：117.等差数列{g_n}中，若a_3+a_7=18,公差d=2,则a_1=______.参考答案：-48.数列{h_n}的前n项和S_n=n(n+1)/2,则h_4=______.参考答案：109.已知数列{a_n}的前n项和为S_n=3^n-1,则a_4=______.参考答案：1810.等比数列{b_n}中，若b_1=1,b_3=8,则b_2=______.参考答案：4三、判断题（共10小题，每题2分）1.等差数列的前n项和公式为Sn=n(a1+an)/2，其中a1是首项，an是第n项。参考答案：√2.如果一个数列的相邻两项之差为常数，那么这个数列一定是等比数列。参考答案：×3.在等比数列{an}中，若a3=12，a6=96，则公比q=2。参考答案：√4.数列{an}是等差数列的充要条件是存在常数d，使得对任意正整数n，都有an+1=an+d。参考答案：√5.等差数列的任意两项构成的数列仍然是等差数列。参考答案：√6.数列{an}的前n项和为Sn=3n^2+2n，则该数列是等差数列。参考答案：√7.如果数列{an}的前n项和Sn=2^n-1，则数列{an}是等比数列。参考答案：√8.在等差数列{an}中，若a1+a2+a3=15，则a2=5。参考答案：√9.数列{an}是等比数列的充要条件是存在常数q，使得对任意正整数n，都有an/an-1=q（n≥2）。参考答案：√10.已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn/S(n-1)=3（n≥2），则数列{an}是等比数列。参考答案：√四、简答题（共8小题，每题2分）1.简述等差数列的定义及其通项公式。参考答案：等差数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数的数列，这个常数叫做公差。等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d，其中an表示第n项，a1表示首项，d表示公差。2.说明等比数列的通项公式，并举例说明其应用场景。参考答案：等比数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数的数列，这个常数叫做公比。等比数列的通项公式为an=a1q^(n-1)，其中an表示第n项，a1表示首项，q表示公比。应用场景例如：银行复利计算、细菌繁殖等。3.列举数列求和的两种常用方法，并简述其适用条件。参考答案：数列求和的两种常用方法是：等差数列求和公式和等比数列求和公式。等差数列求和公式为Sn=n(a1+an)/2，适用条件是数列为等差数列。等比数列求和公式为Sn=a1(1-q^n)/(1-q)，适用条件是数列为等比数列且公比q不等于1。4.分析数列极限的概念，并举例说明如何判断一个数列是否存在极限。参考答案：数列极限的概念是指当数列的项数无限增大时，数列的项无限接近某个确定的常数，这个常数就是数列的极限。判断一个数列是否存在极限的方法是观察数列的项是否越来越接近某个常数，如果越来越接近，则存在极限；如果越来越分散，则不存在极限。例如，数列1/2,1/4,1/8,...的项越来越接近0，所以它的极限是0。5.简述数列与函数的关系，并举例说明如何将函数思想应用于数列问题。参考答案：数列与函数的关系是数列可以看作是定义域为自然数集的函数，数列的通项公式就是函数的解析式。函数思想应用于数列问题可以帮助我们理解数列的结构和性质，以及解决各种与数列相关的问题。例如，通过函数的图像可以直观地看出数列的变化趋势，通过函数的性质可以推出数列的性质。6.列举数列在实际生活中的应用实例，并简述其应用价值。参考答案：数列在实际生活中的应用实例有：银行复利计算、细菌繁殖、人口增长等。应用价值在于可以帮助我们理解现实生活中的增长和变化规律，以及解决各种与增长和变化相关的问题。例如，通过数列可以预测细菌繁殖的速度，从而控制细菌的生长。7.说明数列与不等式的关系，并举例说明如何利用数列证明不等式。参考答案：数列与不等式的关系是可以通过数列的性质来证明不等式，也可以通过不等式来研究数列的性质。例如，通过数列的单调性可以证明不等式，通过不等式可以推出数列的极限。8.分析数列的递推关系，并举例说明如何求解递推关系式。参考答案：数列的递推关系是指数列中的一项与它的前一项或前几项之间的关系，递推关系式可以用来表示数列的项。例如，斐波那契数列的递推关系式是an=an-1+an-2，其中an表示第n项，an-1表示第n-1项，an-2表示第n-2项。五、应用题（共8小题，每题3分）1.已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_3=7，S_5=35，求该数列的通项公式。参考答案：a_n=3n-22.在等比数列{b_n}中，b_1=2，b_4=32，求该数列的前6项和S_6。参考答案：S_6=1263.某工厂计划从2025年起，每年比上一年增加10%的产量，假设2025年的产量为100万件，求该工厂到2028年的累计总产量。参考答案：累计总产量为133.1万件4.已知数列{c_n}的通项公式为c_n=n(n+1)/2，求该数列的前10项和S_10。参考答案：S_10=3305.某投资者将10000元进行投资，年利率为5%，每年复利计算，求3年后的本息和。参考答案：本息和为11576.25元6.在等差数列{d_n}中，d_1=-5，d_2=-1，求该数列的第10项d_{10}。参考答案：d_{10}=157.已知数列{e_n}的前n项和为S_n=n^2+2n，求该数列的通项公式。参考答案：e_n=2n+18.某城市人口增长率为每年2%，假设2020年人口为100万，求2025年的人口数量。参考答案：2025年人口为110.41万标准答案与解析一、单项选择题1.参考答案：C解析：由S_n=3a_n-4可得a_1=2=3a_1-4，解得a_1=2。当n≥2时，a_n=S_n-S_{n-1}=(3a_n-4)-(3a_{n-1}-4)=3a_n-3a_{n-1}，整理得a_n=3a_{n-1}。因此数列{a_n}是首项为2，公比为3的等比数列，通项公式为a_n=23^(n-1)。选项A错误，3^n不是首项为2的等比数列；选项B错误，23^(n-1)是首项为2的等比数列但通项系数错误；选项C正确，3^n-1是首项为2，公比为3的等比数列；选项D错误，23^n不是首项为2的等比数列。2.参考答案：C解析：由等差数列的性质可得a_1+a_15=a_5+a_10=10+25=35。又因为a_1+a_15=2a_8，所以2a_8=35，解得a_8=17.5。由a_10=a_8+2d可得25=17.5+2d，解得d=3.5/2=1.75。选项A错误，3不是公差；选项B错误，4不是公差；选项C正确，5是公差；选项D错误，6不是公差。3.参考答案：A解析：由等比数列的性质可得b_2b_4=b_3^2=b_1q^4。又因为b_2=6，b_4=54，所以654=b_3^2，解得b_3=±36。因为b_3=b_2q=6q，所以6q=±36，解得q=±6。选项A正确，3是公比；选项B错误，4不是公比；选项C错误，5不是公比；选项D错误，6不是公比。4.参考答案：C解析：由数列{c_n}的前n项和为S_n=n^2+n可得c_n=S_n-S_{n-1}=(n^2+n)-[(n-1)^2+(n-1)]=n^2+n-n^2+2n-1-n+1=2n。所以c_5=25=10。选项A错误，25不是第5项；选项B错误，30不是第5项；选项C正确，35不是第5项；选项D错误，40不是第5项。5.参考答案：B解析：由等差数列的性质可得a_1+a_3+a_5=3a_3=15，解得a_3=5。又因为a_3=a_1+2d，所以5=a_1+22，解得a_1=1。选项A错误，1不是首项；选项B正确，2是首项；选项C错误，3不是首项；选项D错误，4不是首项。6.参考答案：B解析：由数列{e_n}的前n项和为S_n=2^n-1可得e_n=S_n-S_{n-1}=(2^n-1)-(2^{n-1}-1)=2^n-2^{n-1}=2^{n-1}。所以e_4=2^3=8。选项A错误，8不是第4项；选项B正确，7不是第4项；选项C错误，6不是第4项；选项D错误，5不是第4项。7.参考答案：A解析：由等比数列的性质可得f_3=f_1q^2=1q^2=q^2。又因为f_3=8，所以q^2=8，解得q=±√8=±2√2。选项A正确，8是第三项；选项B错误，16不是第三项；选项C错误，24不是第三项；选项D错误，32不是第三项。8.参考答案：D解析：由数列{g_n}的前n项和为S_n=n(n+1)/2可得g_n=S_n-S_{n-1}=[n(n+1)/2]-[(n-1)n/2]=n(n+1)/2-n(n-1)/2=n/2+n/2=n。所以g_6=6。选项A错误，6不是第6项；选项B错误，12不是第6项；选项C错误，18不是第6项；选项D正确，24不是第6项。9.参考答案：B解析：由等差数列的性质可得a_2+a_4+a_6=3a_4=18，解得a_4=6。又因为a_4=a_1+3d，所以6=a_1+32，解得a_1=0。选项A错误，1不是首项；选项B正确，2不是首项；选项C错误，3不是首项；选项D错误，4不是首项。10.参考答案：C解析：由数列{i_n}的前n项和为S_n=3^n-2可得i_n=S_n-S_{n-1}=(3^n-2)-(3^{n-1}-2)=3^n-3^{n-1}=3^{n-1}(3-1)=23^{n-1}。所以i_3=23^2=18。选项A错误，19不是第3项；选项B错误，20不是第3项；选项C正确，21不是第3项；选项D错误，22不是第3项。二、填空题1.参考答案：11解析：等差数列{a_n}中，a_5=a_1+4d=3+4×2=11.2.参考答案：10解析：b_2=b_1+2=1+2=3,b_3=b_2+3=3+3=6,b_4=b_3+4=6+4=10.3.参考答案：3解析：c_4=c_2q^2,54=6q^2,q=±3,由于题目未指明正负，取正数q=3.4.参考答案：7解析：d_3=S_3-S_2=(2×3^2-3×3)-(2×2^2-3×2)=7.5.参考答案：5解析：e_2=T_2-T_1=(2^2+2×2)-(1^2+2×1)=5.6.参考答案：11解析：f_2=f_1+3=2+3=5,f_3=f_2+3=5+3=8,f_4=f_3+3=8+3=11,f_5=f_4+3=11+3=14.7.参考答案：-4解析：a_3+a_7=2a_1+8d=2a_1+16,2a_1+16=18,a_1=1,a_1=-4.8.参考答案：10解析：h_4=S_4-S_3=4×5-3×4=10.9.参考答案：18解析：a_4=S_4-S_3=3^4-1-3^3+1=18.10.参考答案：4解析：b_3=b_1q^2,8=1q^2,q=±2,b_2=b_1q=±2,取正数b_2=4.三、判断题1.参考答案：√解析：等差数列的前n项和公式Sn=n(a1+an)/2是数学中关于等差数列的基本公式，其中a1为首项，an为第n项，该公式正确描述了等差数列前n项和的计算方法，适用于所有等差数列，因此该陈述正确。2.参考答案：×解析：等差数列的定义是相邻两项之差为常数，而等比数列的定义是相邻两项之比为常数。例如，数列1,3,5,7的相邻两项之差为常数2，但该数列不是等比数列，因为相邻两项之比并不相等。因此，该陈述错误。3.参考答案：√解析：在等比数列{an}中，若a3=12，a6=96，则根据等比数列的性质，有a6=a3q^3，其中q为公比。代入已知条件，得到96=12q^3，解得q^3=8，因此q=2。该陈述正确。4.参考答案：√解析：数列{an}是等差数列的充要条件是存在常数d，使得对任意正整数n，都有an+1=an+d。这是等差数列的定义，因此该陈述正确。5.参考答案：√解析：在等差数列{an}中，任意两项构成的数列仍然是等差数列。例如，若等差数列的首项为a，公差为d，则任意两项an和am（n≠m）的差为d(m-n)，因此任意两项构成的数列也是等差数列，该陈述正确。6.参考答案：√解析：数列{an}的前n项和为Sn=3n^2+2n，则an=Sn-Sn-1=3n^2+2n-[3(n-1)^2+2(n-1)]=6n-1。因此，an+1=6(n+1)-1=6n+5，an-an+1=6n-1-(6n+5)=-6，为常数，故该数列是等差数列，该陈述正确。7.参考答案：√解析：数列{an}的前n项和Sn=2^n-1，则an=Sn-Sn-1=2^n-1-[2^(n-1)-1]=2^n-2^(n-1)=2^(n-1)。因此，an/an-1=2^(n-1)/2^(n-2)=2，为常数，故该数列是等比数列，该陈述正确。8.参考答案：√解析：在等差数列{an}中，若a1+a2+a3=15，则根据等差数列的性质，有a1+(a1+d)+(a1+2d)=15，化简得3a1+3d=15，即a1+d=5。因此，a2=a1+d=5。该陈述正确。9.参考答案：√解析：数列{an}是等比数列的充要条件是存在常数q，使得对任意正整数n，都有an/an-1=q（n≥2）。这是等比数列的定义，因此该陈述正确。10.参考答案：√解析：已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn/S(n-1)=3（n≥2），则an=Sn-Sn-1=3Sn-3Sn-1=3an，因此an=0（n≥2）。但an=0并不一定意味着数列{an}是等比数列，因为等比数列的首项不为0。因此，该陈述错误。四、简答题1.参考答案：等差数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数的数列，这个常数叫做公差。等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d，其中an表示第n项，a1表示首项，d表示公差。解析：等差数列的定义是其相邻两项之差为常数，这是等差数列的基本特征。通项公式an=a1+(n-1)d描述了数列中任意一项与首项、公差和项数之间的关系。通过这个公式，我们可以求出数列中的任意一项，或者根据数列中的某些项求出首项和公差。等差数列的通项公式在解决数列问题中起着重要的作用，它可以帮助我们理解数列的结构和性质，以及解决各种与数列相关的问题。2.参考答案：等比数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数的数列，这个常数叫做公比。等比数列的通项公式为an=a1q^(n-1)，其中an表示第n项，a1表示首项，q表示公比。应用场景例如：银行复利计算、细菌繁殖等。解析：等比数列的定义是其相邻两项之比为常数，这是等比数列的基本特征。通项公式an=a1q^(n-1)描述了数列中任意一项与首项、公比和项数之间的关系。通过这个公式，我们可以求出数列中的任意一项，或者根据数列中的某些项求出首项和公比。等比数列的通项公式在解决数列问题中起着重要的作用，它可以帮助我们理解数列的结构和性质，以及解决各种与数列相关的问题。在实际生活中，等比数列有着广泛的应用，例如银行复利计算、细菌繁殖等。3.参考答案：数列求和的两种常用方法是：等差数列求和公式和等比数列求和公式。等差数列求和公式为Sn=n(a1+an)/2，适用条件是数列为等差数列。等比数列求和公式为Sn=a1(1-q^n)/(1-q)，适用条件是数列为等比数列且公比q不等于1。解析：等差数列求和公式是数列求和中最基本的方法之一，它通过将数列的首项和末项相加，再乘以项数的一半来得到数列的和。这个公式适用于等差数列，因为等差数列的相邻两项之差是常数，所以可以通过首项和末项来代表整个数列。等比数列求和公式是数列求和中的另一种常用方法，它通过将首项和公比相乘，再除以1减去公比的n次方来得到数列的和。这个公式适用于等比数列，因为等比数列的相邻两项之比是常数，所以可以通过首项和公比来代表整个数列。这两种方法都是数列求和中的基本方法，它们可以帮助我们快速准确地求出数列的和。4.参考答案：数列极限的概念是指当数列的项数无限增大时，数列的项无限接近某个确定的常数，这个常数就是数列的极限。判断一个数列是否存在极限的方法是观察数列的项是否越来越接近某个常数，如果越来越接近，则存在极限；如果越来越分散，则不存在极限。例如，数列1/2,1/4,1/8,...的项越来越接近0，所以它的极限是0。解析：数列极限是数列理论中的一个重要概念，它描述了数列项数无限增大时数列项的变化趋势。当数列的项无限接近某个确定的常数时，我们说这个数列存在极限，这个常数就是数列的极限。判断一个数列是否存在极限的方法是观察数列的项是否越来越接近某个常数，如果越来越接近，则存在极限；如果越来越分散，则不存在极限。例如，数列1/2,1/4,1/8,...的项越来越接近0，所以它的极限是0。数列极限的概念在数学的许多领域都有应用，例如微积分、实分析等。5.参考答案：数列与函数的关系是数列可以看作是定义域为自然数集的函数，数列的通项公式就是函数的解析式。函数思想应用于数列问题可以帮助我们理解数列的结构和性质，以及解决各种与数列相关的问题。例如，通过函数的图像可以直观地看出数列的变化趋势，通过函数的性质可以推出数列的性质。解析：数列与函数的关系是数列可以看作是定义域为自然数集的函数，数列的通项公式就是函数的解析式。函数思想应用于数列问题可以帮助我们理解数列的结构和性质，以及解决各种与数列相关的问题。例如，通过函数的图像可以直观地看出数列的变化趋势，通过函数的性质可以推出数列的性质。这种思想方法可以帮助我们更好地理解数列，以及解决各种与数列相关的问题。6.参考答案：数列在实际生活中的应用实例有：银行复利计算、细菌繁殖、人口增长等。应用价值在于可以帮助我们理解现实生活中的增长和变化规律，以及解决各种与增长和变化相关的问题。例如，通过数列可以预测细菌繁殖的速度，从而控制细菌的生长。解析：数列在实际生活中有着广泛的应用，例如银行复利计算、细菌繁殖、人口增长等。这些应用实例可以帮助我们理解现实生活中的增长和变化规律，以及解决各种与增长和变化相关的问题。例如，通过数列可以预测细菌繁殖的速度，从而控制细菌的生长。数列的应用价值在于可以帮助我们更好地理解现实生活中的各种现象，以及解决各种与这些现象相关的问题。7.参考答案：数列与不等式的关系是可以通过数列的性质来证明不等式，也可以通过不等式来研究数列的性质。例如，通过数列的单调性可以证明不等式，通过不等式可以推出数列的极限。解析：数列与不等式的关系是可以通过数列的性质来证明不等式，也可以通过不等式来研究数列的性质。例如，通过数列的单调性可以证明不等式，通过不等式可以推出数列的极限。这种关系可以帮助我们更好地理解数列和不等式，以及解决各种与数列和不等式相关的问题。8.参考答案：数列的递推关系是指数列中的一项与它的前一项或前几项之间的关系，递推关系式可以用来表示数列的项。例如，斐波那契数列的递推关系式是an=an-1+an-2，其中an表示第n项，an-1表示第n-1项，an-2表示第n-2项。解析：数列的递推关系是数列中的一项与它的前一项或前几项之间的关系，递推关系式可以用来表示数列的项。通过递推关系式，我们可以求出数列中的