四川资阳市安岳中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷（解析版）

安岳中学高级第二学期半期考试数学试卷考试时间：分钟85分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.的面积为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】方法一、根据直观图还原到原图形即可求面积，方法二、根据直接求解.【详解】方法一、设矩形与相交于点，则原图形如下，，则，所以.方法二、由，所以.故选：C.2.已知向量，，且，则等于（）第1页/共20页A.B.C.10D.【答案】D【解析】【分析】根据平面向量共线的坐标公式直接运算即可.【详解】由，及，得，所以，故选：D3.下列说法正确的是（）A.棱柱是有且仅有两个平面平行，其他平面为平行四边形的多面体B.圆柱是由一个四边形绕着其中一条边旋转得到的C.用一个平面去截圆锥，这个平面和圆锥的底面之间的部分是圆台D.棱台的所有侧棱所在直线交于同一点【答案】D【解析】【详解】棱柱可能有多组平面平行，如正方体有三组平面平行，并非“有且仅有两个平面平行”，故A错误；圆柱由矩形绕其一边旋转得到，任意四边形旋转不一定得到圆柱，故B错误；只有当截面与圆锥底面平行时，这个平面和圆锥的底面之间的部分是圆台，否则不是，故C错误；棱台是由棱锥截得的，其侧棱延长线交于同一点，故D正确．4.数学兴趣小组想要测量桑园子黄河大桥北塔的高度，但不能直接测量，现采用以下方案：假定大桥北塔垂直于桥面，一辆小汽车在行驶过程中，车内观测员两次仰望塔顶的仰角分别为，，.若在同一水平高度，且，，在同一竖直平面内，则北塔高为（）A.B.C.D.【答案】B第2页/共20页【解析】【详解】设，因为，所以，又因为，所以，所以，解得.所以.5.如图，是一个正三棱台，而且下底面边长为4，上底面边长和侧棱长都为2，则棱台的高为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】结合图形，取正三棱台的上下底面中心为，连接并延长交于点，连接并延长交于点，分别计算的长，利用直角梯形即可求得答案.【详解】如图，取正三棱台的上下底面中心为，则即为棱台的高.连接并延长交于点，连接并延长交于点.第3页/共20页依题意，，，在直角梯形中，，即棱台的高为.故选：D.6.已知为锐角，，，则=（）A.B.C.D.或【答案】B【解析】【详解】因为为锐角，，所以.因为，所以，且，所以，所以.7.在中的角的对应边分别为，且，则的形状为（）A.等腰三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.直角或等腰三角形【答案】B【解析】【分析】将已知条件中的半角余弦表达式转化为边长关系，通过代数运算推导出角为直角.【详解】因为，所以，即，所以，第4页/共20页即，整理得，角为直角，为直角三角形.8.在中，内角所对应边分别为，则下列说法不正确的是（）A.若满足，的有两解，则a的取值范围为B.若为锐角三角形，且，则的取值范围是C.若则是的外心D.若点O为内一点，且，则【答案】C【解析】【分析】对于A，利用正弦定理和三角函数的性质求解；对于B，根据余弦定理和已知条件化简，求出，再用正弦定理对进行化简，根据的范围判断即可；对于C，由向量的数量积的运算及外心的定义判断；对于D，交于点，由向量的线性运算法则及向量共线定理，可得，从而求得面积比.【详解】对于A，，所以，因为，要使有两解，则，所以，A正确；对于B，因为，又，所以，即，即，所以，即，即，因为，所以，即第5页/共20页所以，因为为锐角三角形，所以，所以，所以，B正确；对于C，则，所以，所以点在边的高线上，所以不一定是的外心，C错误；对于D，若点O为内一点，且，延长交于点，故存在实数，使得，由于在直线上，故，从而，即，所以，故，D正确.36分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.B.若是关于的方程的根，则第6页/共20页C.若复数满足，则的最大值和最小值的和为D.若，则【答案】BCD【解析】【分析】根据复数定义，可以判断A选项；根据复数范围内二次方程的解互为共轭复数且满足根与系数关B判断C选项；根据复数的乘法运算可判断D选项.【详解】对于A，复数包括实数和虚数，实数可以比较大小，虚数不可以比较大小，故A错误.对于B是关于的方程也是关于的方程的一个根，所以，因此,故B正确.对于C，设，若复数满足，则有，所以在复平面内对应点的轨迹为以为圆心，半径为的圆，的几何意义为圆上点到原点的距离，，，所以，故C正确.对于D，由可得，，则，因此，故D正确.10.如图，是圆锥的底面圆的直径，点是底面圆上异于、的动点，点是母线上一点，已知圆锥的底面半径为，侧面积为，则下列说法正确的是（）第7页/共20页A.若，则从点出发绕圆锥侧面一周到达点的最短长度为B.该圆锥的体积为C.该圆锥的侧面展开图的圆心角大小为D.三棱锥的体积的最大值为【答案】ACD【解析】A其高，结合锥体的体积公式判断B；由扇形的弧长公式判断C；求出面积的最大值，结合锥体的体积公式判断D.【详解】对于C，由圆锥的侧面积为，得圆锥的母线长，侧面展开图弧长，因此圆锥的侧面展开图的圆心角，C正确；对于A，侧面展开图扇形圆心角，点在上且，则，在展开后的扇形中，与（对应底面同一点）的圆心角为，最短路径为线段，且，A正确；对于B，设圆锥的高，该圆锥的体积为，B错误；对于D，由圆的几何性质知，由勾股定理得，由基本不等式得，则，当且仅当，即当时取等号，第8页/共20页此时，因此，D正确.满足，且，则（）A.三个内角满足关系B.的周长为C.若的角平分线与交于，则的长为D.设为外接圆上任意一点，则的最大值为【答案】ABD【解析】【分析】借助正弦定理将角的关系转化为边的关系，再结合余弦定理和面积即可求得三角形的边长，利用出最大值.【详解】因为，由正弦定理得，因为，所以，所以，对于A：由余弦定理知，，因为，所以，所以，即，故A正确；对于B：因为，所以的周长为，故B正确；对于C：若的角平分线与交于，则，因为，所以，第9页/共20页即，解得，故C错误；对于D：因为，设外接圆的圆心为，半径为，由正弦定理知，，所以，过点作的垂线，垂足为，则，当，且点在的延长线上时，取得最大值，如图所示，此时，所以的最大值为，故D正确.三、填空题（共分）12.若复数，则______.【答案】【解析】【分析】利用复数的除法求出，进而求出其模.【详解】依题意，，所以.故答案为：13.边长为1的正方形ABCD上有一动点，则向量的范围是___________.【答案】第10页/共20页【解析】【分析】建立平面直角坐标系，利用向量数量积的坐标运算求解【详解】如图，分别以,为建立平面直角坐标系，则，设，则，，当在边或边上时，，所以，当在边上时，，，当在边上时，，，所以的取值范围为，14.已知函数在的图象上，且，若将图象上每个点的横坐标变为原来的倍，得函数在上恰有一个最大值，一个最小值，则m的取值范围是___________.【答案】【解析】第11页/共20页【分析】结合型函数图象的几何意义，求解出，由图象变换得到表达式，根据函数图象在恰有一个最大值，一个最小值求解出的范围.【详解】因为，点在的图象上，所以，即，因为，所以，即，由，可得，所以，而在轴左侧，所以，即，因此，由图象可知，，则，因为且，所以，设将图象上每个点的横坐标变为原来的倍后得到的函数为，所以，，当时，，当时，，故，而的最大值为，最小值为，所以，即，因此的取值范围为四、解答题（共分）15.已知向量，，且与垂直.（1）求；第12页/共20页（2）若与互相垂直，求实数的值.【答案】（1）5（2）【解析】1）先根据向量垂直得出的值，然后根据向量模长的公式求模长；（2）根据向量垂直列方程，求的值。【小问1详解】与垂直，所以，得，，.【小问2详解】，，与互相垂直，所以，即，即，所以.16.如图，长方体的三条棱的长分别为．（1）将此长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，求剩下的几何体的体积；（2）求长方体外接球的体积和表面积．【答案】（1）第13页/共20页（2）体积为，表面积为【解析】1）根据求解即可；（2）根据长方体的体对角线为外接球的直径可求解.【小问1详解】在长方体中，．则．，所以剩余部分的体积为．【小问2详解】长方体的体对角线长为，设长方体的外接球的半径为，可得，即，所以外接球的体积为，表面积为．17.在中，角所对的边分别为，已知，且，的中点为M.（1）求；（2）若为锐角三角形，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】1）由得，根据的范围求值；第14页/共20页（2）由正弦定理得，，由，利用向量运算结合三角恒等变换可得，求出的范围结合三角函数性质得解.【小问1详解】由，得，又，所以，所以，.【小问2详解】由，且可得，又，为外接圆半径）所以，又，所以，在中，由正弦定理得，所以，.由的中点为M，得，所以.第15页/共20页因为为锐角三角形，所以，得，则，所以，，则，故的取值范围是.18.．（1）求的值；（2）求在上的值域；（3）将函数的图象上的所有点的横坐标伸长为原来的2的图象，若不等式对于任意恒成立，求实数a的最大值．【答案】（1）（2）（3）【解析】1）直接代入即可求解，（2）在已知x的取值范围的情况下，通过分析的范围，进而得出函数的值域.（3）根据三角函数图象的伸缩变换得到，通过换元构造函数，令，再将第16页/共20页进行化简，参变分离，转化为对任意的恒成立，利用基本不等式求a的取值范围．【小问1详解】；【小问2详解】时，，故．即在上的值域为．【小问3详解】将函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的2得到函数，则，令，因为，所以.则不等式对任意的恒成立，第17页/共20页等价于对任意的恒成立，即对任意的恒成立.整理得，因为，所以，则；令，，由于，故，则，因此，当且仅当，即时取到等号，所以.所以，即实数的取值范围是.19.著名的费马问题是法国数学家皮埃尔·德·年提出的平面几何极值问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”，费马问题中的所求点称为费马点．已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点．在锐角中，角的对边分别为，且．若是锐角的“费马点”，．（1）求角；（2）若；求的面积；第18页/共20页（3）若，且．①求的周长；②求的值．【答案】（1）（2）（3）①；③【解析】1）利用正弦定理结合已知条件求解；（2）利用正三角形的性质，结合费马点定义、余弦定理构造方程求出，进而利用三角形面积公式求解；（3）利用费马点性质结合