不随时间改变的电磁场课件

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不隨時間改變的電磁場*2.1靜電場和靜磁場（Jf和

f為自由電荷和傳導電流）*邊值關係一、電勢電場對電荷作的功與路徑無關，只與起點和終點的位置有關電場對電荷作正功，電勢下降。*電場強度的梯度等於電勢的負梯度只有勢的差值才有物理意義，如果電荷分佈於有限區域，通常選取無窮遠處的電勢為零。若電荷連續分佈*二、勢的方程及邊值關係（泊松方程）（

為自由電荷密度）在介面上，電勢連續在分界面上，電勢的邊值條件*n為介面上由介質l指向介質2的法線，

為介面的自由電荷面密度導體的靜電條件及導體表面的邊值關係(1)導體內部不帶電，電荷只能分佈於導體表面上(2)導體內部電場為零(3)導體表面上電場必沿法線方向，因此導體表面為等勢面，導體表面的電勢處處相等*三、唯一性定理設區域V內給定自由電荷分佈

(x)，在V內的邊界S上給定（1）電勢或（2）電勢的法嚮導數,則V內的電勢唯一地確定。導體表面的邊值關係

＝常量*例1：求均勻電場E0的電勢（第55頁）*例2：兩塊接地的無限大導體板相互平行，在兩板間區域內分佈著自由電荷求導體板間的電場分佈和板上感應電荷面密度解：直角坐標系中的泊松方程為而

與y和z無關，*邊界條件因此電場強度為左板感應電荷面密度右板感應電荷面密度

（自由電荷與感應電荷符號相反）*例3：無限長圓柱導體，半徑為a，單位長度荷電為

，求導體柱外的電勢和電場。解：在柱坐標系中在球坐標系中導體柱外的泊松方程*邊界條件為：

(1)在導體表面電荷密度(2)選擇電勢參考點。在本題中，導體柱無限長，電荷分佈在無限空間，不能選無限遠處電勢為零，可選擇在某一個柱面上r=R0（R0>a）為零，即方程的解為最後求得*例4：在介電常數為

的液面上浮著一半徑為a的帶電導體球，電量為Q。導體一半浸入液體中，一半在空氣中（介電常數

0）(見圖)。求電勢、電場和導體表面電荷分佈。解：以球心為原點選取球座標，極軸垂直液面向上。設液體中和空氣中的電勢分別為

1和

2

，在兩個區域中有邊界條件是：*（1）（2）邊值關係為（3）（4）*由於軸對稱性，電勢與方位角

無關。又因為導體表面等勢，所以在上、下兩個半球，

都與

無關。由此推測

1、

2都只與r有關。設這個解滿足邊界條件（2）及邊值關係（4），利用邊值關係（3），有根據邊界條件（1），得*所以電位移向量D為電場強度為*上、下半球上電荷面密度請參閱課本中第62頁的例題*2.2用分離變數法求解拉普拉斯方程如果自由電荷只出現在一些導體的表面上，在空間中沒有其他自由電荷分佈，那麼選擇這些導體表面作為區域V的邊界，則在V內部自由電荷密度

=0，因而泊松方程化為比較簡單的拉普拉斯（Laplace）方程如果求解的問題中具有對稱軸，取此軸為極軸，則電勢

不依賴於方位角

，在球坐標系中拉氏方程的通解為*

為勒讓德函數，an和bn待定常數，由邊界條件確定。例1一個內徑和外徑分別為R2和R3的導體球殼，帶電荷Q，同心地包圍著一個半徑為Rl的導體球(Rl＜R2)．使這個導體球接地，求空間各點的電勢和這個導體球的感應電荷．（P64）***例介電常數為

的介質球置於均勻外電場E0中，求電勢。

設球半徑為R0，球外為真空，這問題具有抽對稱性，對稱軸為通過球心沿外電場E0方向的軸線，取此軸線為極軸。解：極化電荷只存在介質球的表面，在球內和球外的兩個區域沒有自由電荷，故電勢滿足拉氏方程。球外：*球內：（1）在無窮遠處，，則所以（2）R=0,

2為有限值，因此*（3）在介質球面上，（R=R0）代入

1、

2的方程中比較P1的係數，可得*由此求得比較其他Pn項的係數，可得最後*電象法的基本思路是：利用點電荷電場的特性，用區域以外假想的點電荷代替導體表面感應電荷分佈或介質介面的電荷分佈對區域內電場的影響，同時保證邊界條件得到滿足。這樣，區域內真實的點電荷與區域外假想的點電荷在所研究區域內產生的總電場就是所求的電場。2.3電象法*例:設在一無限大接地導體平面上方，與平面相距為d處，有一點電荷q，求平面以上空間內的電勢分佈及導體面上感應電荷密度。電勢滿足的邊界條件*（0,0,d）點電荷q和（0,0,-d）點電荷-q，相距2d，在空間產生的電勢為導體面上感應電荷密度為*例2

如圖，半徑為a的接地導體球外有一點電荷q，其與導體球心相距l(l＞a)，求導體外真空中的電勢和導體球上的面電荷分佈。

解：以導體球心為原點建立球座標，極軸通過點電荷q。邊界條件是設象電荷q‘在極軸上，距原點l'＜a，同時撤掉導體球，q'與原電荷q在空間任一點p(r,,)產生的電勢為*要求在r＝a的球面上滿足邊界條件：*上式要求對任意

都成立，則有物理意義的解是*