人教A版高中数学必修一 1.4.1　充分条件与必要条件

1.4充分条件与必要条件1.4.1充分条件与必要条件学习目标1.通过对典型数学命题的梳理,理解必要条件的意义,理解性质定理与必要条件的关系.2.通过对典型数学命题的梳理,理解充分条件的意义,理解判定定理与充分条件的关系.【引入】在初中,我们已经对命题有了初步的认识.中学数学中的许多命题可以写成“若p,则q”的形式,下面我们将进一步探究“若p,则q”形式的命题中p和q的关系.一、命题概念的回顾探究1回顾初中学习过的命题,给出命题的相关概念,完成下面知识填空.1.(1)一般地,我们把用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题.(2)判断为真的语句是真命题;判断为假的语句是假命题.2.“若p,则q”形式的命题中,p称为命题的条件,q称为命题的结论.例1判断下列命题的真假:(1)已知a,b,c,d∈R,若a≠c,b≠d,则a+b≠c+d;(2)若x∈N,则x3>x2成立;(3)若m>1,则方程x2-2x+m=0无实数根;(4)存在一个三角形没有外接圆.解(1)假命题.反例:1≠4,5≠2,而1+5=4+2.(2)假命题.反例:当x=0时,x3>x2不成立.(3)真命题.∵m>1,∴Δ=4-4m<0,∴方程x2-2x+m=0无实数根.(4)假命题.因为不共线的三点确定一个圆,即任何三角形都有外接圆.思维升华要判断一个命题是真命题,一般需要经过严格的推理论证,在判断时要有理有据,有时应综合各种情况作出正确的判断.而判断一个命题是假命题,只需举出一个反例即可.训练1(多选)下面四个命题中,为真命题的有()A.若xy=1,则x,y互为倒数B.平面内,四条边相等的四边形是正方形C.平行四边形是梯形D.若ac2>bc2,则a>b答案AD解析AD是真命题;平面内,四条边相等的四边形是菱形,但不一定是正方形,选项B错误;平行四边形不是梯形,选项C错误.二、充分条件与必要条件探究2下列“若p,则q”形式的命题中,哪些是真命题?哪些是假命题?(1)若平行四边形的对角线互相垂直,则这个平行四边形是菱形;(2)若两个三角形的周长相等,则这两个三角形全等;(3)若x2-4x+3=0,则x=1;(4)若平面内两条直线a和b均垂直于直线l,则a∥b.提示在命题(1)(4)中,由条件p通过推理可以得出结论q,所以它们是真命题.在命题(2)(3)中,由条件p不能得出结论q,所以它们是假命题.充分条件与必要条件命题真假“若p,则q”为真命题“若p,则q”为假命题推出关系p⇒qp_⇏q条件关系p是q的充分条件,q是p的必要条件p不是q的充分条件,q不是p的必要条件温馨提示(1)若p⇒q,则p是q的充分条件,要使结论q成立,条件p是足够的,是足以保证的.q是p的必要条件,说明q是p成立的必不可少的,缺其不可的条件.(2)数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件.(3)数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件.例2(链接教材P18例1)下列“若p,则q”形式的命题,哪些命题中的p是q的充分条件?(1)p:两个三角形相似,q:两个三角形全等;(2)p:一个四边形是矩形,q:四边形的对角线相等;(3)p:A⊆B,q:A∩B=A;(4)p:a>b,q:ac>bc.解(1)因为两个三角形相似⇏两个三角形全等,所以p不是q的充分条件.(2)因为矩形的对角线相等,所以p是q的充分条件.(3)因为A⊆B⇒A∩B=A,所以p是q的充分条件.(4)当c≤0时,a>b⇏ac>bc,所以p不是q的充分条件.思维升华充分、必要条件的判断方法(1)判断p是q的什么条件,主要判断若p成立时,能否推出q成立,反过来,若q成立时,能否推出p成立;若p⇒q为真,则p是q的充分条件,若q⇒p为真,则p是q的必要条件.(2)利用集合的关系判断,如果条件甲“x∈A”,条件乙“x∈B”,若A⊇B,则甲是乙的必要条件.训练2(链接教材P19例2)下列“若p,则q”形式的命题,哪些命题中的q是p的必要条件?(1)p:实数a能被8整除,q:实数a能被2整除;(2)p:x>2且y>3,q:x+y>5;(3)p:△ABC有两个角相等,q:△ABC是正三角形.解(1)实数a能被8整除,则一定能被2整除,所以q是p的必要条件.(2)因为x>2且y>3时,x+y>5成立,所以q是p的必要条件.(3)因为△ABC有两个角相等⇏△ABC是正三角形,所以q不是p的必要条件.三、充分条件与必要条件的应用例3已知p:实数x满足3a<x<a,其中a<0;q:实数x满足-2≤x≤3.若p是q的充分条件,求实数a的取值范围.解p:3a<x<a,a<0,即集合A={x|3a<x<a,且a<0}.q:-2≤x≤3,即集合B={x|-2≤x≤3}.因为p⇒q,所以A⊆B,所以3a≥-2,a≤3,所以a的取值范围是a-思维升华充分条件与必要条件的应用(1)应用:可利用充分性与必要性进行相关问题的求解,特别是求参数的值或取值范围问题.(2)求解步骤:先把p,q等价转化,利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系,建立关于参数的不等式(组)进行求解.训练3将例3中条件p改为“实数x满足a<x<3a,其中a>0”,若p是q的必要条件,求实数a的取值范围.解p:a<x<3a,a>0,即集合A={x|a<x<3a,a>0},q:-2≤x≤3,即集合B={x|-2≤x≤3}.因为q⇒p,所以B⊆A,所以3a>3,a因此实数a的取值范围是⌀.【课堂达标】1.(多选)使x>1成立的一个必要条件可以是()A.x>0 B.x>-1C.x>2 D.x<2答案AB解析只有x>1⇒x>0,x>1⇒x>-1,其他选项均不可由x>1推出.2.若“-1<x<3”是“x>2a-3”的充分条件,则实数a的取值范围是()A.{a|a<1} B.{a|a≤1}C.{a|a>1} D.{a|a≥1}答案B解析因为“-1<x<3”是“x>2a-3”的充分条件,所以{x|-1<x<3}是{x|x>2a-3}的子集,则2a-3≤-1,解得a≤1.3.“x2=2x”是“x=0”的条件,“x=0”是“x2=2x”的条件(用“充分”“必要”填空).

答案必要充分解析由于x=0⇒x2=2x,所以“x2=2x”是“x=0”的必要条件,“x=0”是“x2=2x”的充分条件.4.已知P={x|a-4<x<a+4},Q={x|1<x<3},若“x∈P”是“x∈Q”的必要条件,求实数a的取值范围.解因为“x∈P”是“x∈Q”的必要条件,所以Q⊆P,所以a即a≤5,a≥-1,所以-1故实数a的取值范围为{a|-1≤a≤5}.课时精练一、基础巩固1.下列语句是命题的为()A.0是偶数吗?B.这个数学问题真难啊!C.你,出去!D.x2+y2=0只有一组解答案D解析可以判断真假的陈述句叫做命题,根据定义可知,只有D选项符合题意.2.下列选项中,p是q的充分条件的为()A.p:ab≠0,q:a≠0B.p:a2+b2≥0,q:a≥0且b≥0C.p:x2>1,q:x>1D.p:a>b,q:a>b答案A解析根据充分条件的概念逐一判断,只有ab≠0⇒a≠0.3.(多选)若“-1<x≤3”是“-3<x<a”的充分条件,则实数a的值可以是()A.2 B.3C.4 D.5答案CD解析因为“-1<x≤3”是“-3<x<a”的充分条件,所以a>3.结合选项a可取的值有4,5.4.下列说法正确的是()A.命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等”B.语句“当a>4时,方程x2-4x+a=0有实数根”不是命题C.命题“对顶角相等”是真命题D.“x=3时,x2-3x+2=0”是真命题答案C解析命题“直角相等”写成“若p,则q”的形式为:若两个角都是直角,则这两个角相等,所以选项A错误;语句“当a>4时,方程x2-4x+a=0有实数根”是陈述句,而且可以判断真假,故该语句是命题,所以选项B错误;选项D错误,当x=3时,x2-3x+2≠0;选项C正确.5.(多选)下列各选项中,p是q的充分条件的为()A.p:梯形的对角线相等,q:梯形是等腰梯形B.对于实数x,p:-1≤x≤5,q:x≥9或x≤5C.p:x=-1,q:x2+2x+1=0D.p:△ABC是等腰三角形,q:△ABC是直角三角形答案ABC解析因为对角线相等的梯形为等腰梯形,所以A中p是q的充分条件;由-1≤x≤5可推出x≥9或x≤5,所以B中p是q的充分条件;由x=-1可得x2+2x+1=0,所以C中p是q的充分条件;因为等腰三角形不一定是直角三角形,所以D中p不是q的充分条件.6.(多选)下列“若p,则q”形式的命题中,p是q的必要条件的有()A.若x,y是偶数,则x+y是偶数B.若a<2,则方程x2-2x+a=0有实数根C.若四边形的对角线互相平分,则这个四边形是平行四边形D.若ab=0,则a=0答案BCD解析对于A,若x+y是偶数,则x,y可能都是偶数,也可能都是奇数,故A不符合题意;对于B,若方程x2-2x+a=0有实数根,则Δ=4-4a≥0,即a≤1,可推出a<2,故B符合题意;对于C,若四边形是平行四边形,则四边形的对角线互相平分,故C符合题意;对于D,若a=0,则ab=0,故D符合题意.7.设x,y是两个实数,命题:“x,y中至少有一个数大于1”的充分条件是()A.x+y=2 B.x+y>2C.x2+y2>2 D.xy>1答案B解析对于选项A,当x=1,y=1时,满足x+y=2,但命题不成立;对于选项C,D,当x=-2,y=-3时,满足x2+y2>2,xy>1,但命题不成立,也不符合题意.8.下列说法正确的是(填序号).

①“x>5”是“x>4”的充分条件;②“xy=1”是“x=1且y=1”的充分条件;③“-2<x<2”是“x<2”的充分条件.答案①③解析②中由xy=1不能推出x=1且y=1,则②不正确;①③正确.9.已知p:A={x|-1≤x≤5},q:B={x|-m<x<2m-1},若p是q的充分条件,则实数m的取值范围是.

答案{m|m>3}解析因为p是q的充分条件,所以A⊆B,如图,则-m<-1,2m10.已知p:-1<x<3,若-a<x-1<a是p的一个必要条件,则使a>b恒成立的实数b的取值范围是.

答案{b|b<2}解析由于p:-1<x<3,又由-a<x-1<a,得1-a<x<1+a,依题意,得{x|-1<x<3}⊆{x|1-a<x<1+a},所以1-a≤-1,1+则使a>b恒成立的实数b的取值范围是{b|b<2}.11.判断下列语句是不是命题,若是命题,请判断其是真命题还是假命题.(1)7是21的约数吗?(2)一个数不是正数就是负数.(3)-2<a<3.(4)画线段AB=CD.(5)把门关上.(6)10000000是一个好大的数啊!(7)4>3.(8)(x-y)(x+y)=x2-y2.解(1)是疑问句,不能判断真假,不是命题.(2)是命题,一个数还可以是0,因此是假命题.(3)是开语句,不能判断真假,不是命题.(4)和(5)都是祈使句,不能判断真假,不是命题.(6)是感叹句,不能判断真假,不是命题.(7)是命题,是真命题.(8)是命题,是真命题.二、综合运用12.(多选)一元二次方程x2+4x+n=0有正数根的充分条件是()A.n=4 B.n=-5C.n=-2 D.n=-1答案BCD解析由一元二次方程x2+4x+n=0有实数根知Δ=16-4n≥0,即n≤4.设两实数根为x1,x2,则x1+x2=-4,又方程x2+4x+n=0有正数根,因此x1,x2一正一负,所以x1x2=n<0,所以一元二次方程x2+4x+n=0有正数根的充分条件可以是选项BCD.13.若a,b都是实数,试从①ab=0;②a+b=0;③a(a2+b2)=0;④ab>0中选出适合的条件,用序号填空.(1)“a,b都为0”的必要条件是;

(2)“a,b都不为0”的充分条件是.

答案(1)①②③(2)④解析(1)“当a,b都为0”时,则有①ab=0,②a+b=0,③a(a2+b2)=0均成立,所以①②③是“a,b都为0”的必要条件.(2)当ab>0时,则a,b都不为0,所以④是“a,b都不为0”的充分条件.14.已知条件p:x<1-a或x>1+a和条件q:x<12或x>1,求使p是q的充分条件的最小正整数a解依题意a>0,由条件p:x<1-a或x>1+a,可设M={x|x<1-a,或x>1+a},由条件q:x<12或x可设N=xx要使p是q的充分条件,则M⊆N,应有1-a≤12,令a=1,则M={x|x<0,或x>2}⊆N=xx即p⇒q,所以a=1.三、拓展提高15.(多选)下列四个条件中能成为x>y的充分条件的有()A.xt2>yt2 B.xt>ytC.x2>y2 D.0<1x<答案AD解析对于A,由xt2>yt2可知t2>0,所以x>y,故xt2>yt2⇒x>y;对于B,当t>0时,x>y,当t<0时,x<y,故xt>yt⇏