人教A版高中数学必修一 第二课时　两角和与差的正弦、余弦、正切公式

第二课时两角和与差的正弦、余弦、正切公式学习目标1.掌握由两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式以及两角和与差的正弦、正切公式.2.会利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行简单的求值、化简、计算等.3.熟悉两角和与差的正弦、余弦、正切公式的灵活运用,以及公式的正用、逆用和角的变换的常用方法.【引入】上一节我们学习了两角差的余弦公式,利用C(α-β)可以解决许多三角变换问题,给三角运算带来方便.那么类似cos(30°+45°),sin(45°-15°),sin(60°+45°),tan(30°+45°),tan(45°-30°)等问题,如何用单角的正弦、余弦、正切进行表示?又如何进一步对其进行求值呢?今天我们就利用两角差的余弦公式对上述问题进一步探究.探究1你能利用两角差的余弦公式得到两角和的余弦公式吗?提示cos(α+β)=cos[α-(-β)]=cosαcos(-β)+sinαsin(-β)=cosαcosβ-sinαsinβ.探究2如何利用两角差的余弦公式和诱导公式得到两角和与差的正弦公式?提示sin(α+β)=cosπ=cosπ2-α-β)sinπ2-αsinβ=sinαcosβ+cosαsin对于sin(α-β),我们可利用sin(α-β)=sin[α+(-β)]展开即可得到sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ.1.两角和的余弦公式:cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ,其中α,β∈R,记为C(α+β).

2.两角和与差的正弦公式简记公式S(α+β)sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβS(α-β)sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ温馨提示(1)两角和与差的余弦公式的记忆为:余余正正,符号相异.(2)两角和与差的正弦公式记忆口诀:正余余正,符号相同.探究3回顾同角的商数关系,回答下列问题.(1)如何由两角和的正弦、余弦公式得到两角和的正切公式?提示tan(α+β)=sin(=sinα分子分母同除以cosαcosβ,弦化切可得.tan(α+β)=tanα(2)如何由两角和的正切公式得到两角差的正切公式?提示用“-β”替换tan(α+β)中的角β.(3)在两角和与差的正切公式中,α,β,α±β的取值是任意的吗?提示公式T(α±β)中,α,β,α±β都不能等于kπ+π2(k∈Z1.两角和的正切公式tan(α+β)=tanα+tanβ1-tanαtanβ,其中α,β,α+β≠kπ+π2(k∈Z),2.两角差的正切公式tan(α-β)=tanα-tanβ1+tanαtanβ,其中α,β,α-β≠kπ+π2(k∈Z),温馨提示(1)只有当α,β,α+β,α-β都不等于kπ+π2(k∈Z)时,上述公式才能成立(2)公式的符号变化简记为:“分子同,分母反”.3.常用变形公式tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ),

tanα-tanβ=tan(α-β)(1+tanαtanβ),

tanαtanβ=1-tanα一、给角求值例1(1)[链接教材P219例4(2)]sin245°sin125°+sin155°sin35°=.

(2)sin47°-sin17°cos30°cos17°=.(3)[链接教材P254T12(2)]tan23°+tan37°+3tan23°tan37°=.

答案(1)-12(2)12解析(1)原式=-sin65°sin55°+sin25°sin35°=-cos25°cos35°+sin25°sin35°=-cos(35°+25°)=-cos60°=-12(2)sin47°-sin17°cos30°=sin(17°+30°)-sin17°cos30°=sin17°cos30°+cos17°sin30°-sin17°cos30°=cos17°sin30°cos17°=sin30°=1(3)∵tan23°+tan37°=tan60°(1-tan23°tan37°),∴原式=3-3tan23°tan37°+3tan23°tan37°=3.思维升华1.非特殊角的三角函数求值一般要化为特殊角的和或差的形式,解题时要逆用或变用公式.2.对于非特殊角的三角函数进行变换时,一定要本着先整体后局部的基本原则,如果整体符合三角公式的形式,则整体变形;否则进行局部的变形.3.化简求值中要注意“特殊值”的代换和应用,如“1=tanπ4”“3=tanπ3”,这样可以构造出利用公式的条件,4.整体意识:若化简的式子中出现了“tanα±tanβ”及“tanα·tanβ”两个整体,常考虑tan(α±β)的变形公式.训练1(1)1-3tan75°3+tan75°(2)sin7°+cos15°sin8°cos7°-sin15°sin8°=.(3)(1+tan18°)(1+tan27°)=.

答案(1)-1(2)2-3(3)2解析(1)原式=1-tan60°tan75°=1tan(60°+75°)=1(2)原式=sin(15°-8°)+cos15°sin8°=sin15°cos8°-cos15°sin8°+cos15°sin8°=sin15°cos8°cos15°cos8°=sin15°cos15°=6-24(3)(1+tan18°)(1+tan27°)=1+(tan18°+tan27°)+tan18°tan27°=1+tan45°(1-tan18°tan27°)+tan18°tan27°=1+tan45°=2.二、给值求值例2(1)若tanα=13,tan(α+β)=12,则tanβ=答案1解析tanβ=tan[(α+β)-α]=tan(α+β)-tanα(2)已知α,β均为锐角,sinα=13,cos(α+β)=4①求cosα+π②求sinβ的值.解①∵α为锐角,sinα=13∴cosα=1-sin2α∴cosα+π3=cosαcosπ3-sin=223×12-13×②∵α,β均为锐角,∴α+β∈(0,π),由cos(α+β)=45得sin(α+β)=1-cos2(∴sinβ=sin[(α+β)-α]=sin(α+β)cosα-cos(α+β)sinα=35×223-45×思维升华1.解题关键是找出已知式子与待求式子之间的联系及函数名称和结构的差异.一定要注意已知角与所求角之间的关系,恰当地运用拆角、拼角技巧,同时分析角之间的关系,利用角的代换化异角为同角.2.解题时,角的范围不容忽视,往往要借助三角函数值缩小角的范围.训练2(1)[链接教材P220练习T2(3)]若tanα=3,则tanα+π4=答案-2解析∵tanα=3,∴tanα+π=3+11-3(2)[链接教材P254T11(2)]已知π4<α<3π4,0<β<π4,cosπ4+α=-35,sin3π4+β=解因为π4<α<3π4,所以π2<π4+因为cosπ4+α所以sinπ4+α因为0<β<π4,所以3π4<3π4因为sin3π4+β所以cos3π4+β因为3π4+β+π4+所以sin(α+β)=-sin[π+(α+β)]=-sin3π=-sin3π4+βcosπ4=-513×-35--1213三、给值求角例3已知锐角α,β满足sinα=255,cosβ=1010,则α+β=答案3π解析∵α,β为锐角,sinα=255,cosβ=∴cosα=55,sinβ=3∴cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=55×1010-255×又∵0<α+β<π,∴α+β=3π4迁移本例中若sinα=55,其余条件不变,求α-β的值解因为α,β均为锐角,且sinα=55,cosβ=10所以cosα=255,sinβ=所以sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ=55×1010-255×又因为α,β均为锐角,所以-π2<α-β<π故α-β=-π4思维升华1.解决此类题目的关键是求出所求角的某一三角函数值,再求角的范围,进而确定角的大小.2.三角函数的选取,一般要结合角的范围.若角的范围为0,π2,选正弦函数和余弦函数都可;若角的范围是-π2,π2训练3已知tan(α-β)=12,tanβ=-17,α,β∈(0,π),求2α-β解∵tan(α-β)=12,tanβ=-1∴tanα=tan[(α-β)+β]=tan(α-β)+tanβ∵α∈(0,π),∴0<α<π4,0<2α<π又tanβ=-17<0,β∈∴π2<β<π,∴-π<2α-β又tan(2α-β)=tan[(α-β)+α]=tan(α-β∴2α-β=-3π4【课堂达标】1.sin20°cos10°-cos160°sin10°等于()A.-32 B.C.-12 D.答案D解析sin20°cos10°-cos160°sin10°=sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin30°=122.已知α为钝角,且sinα+π12=13,则cosαA.22+C.-22+答案C解析∵α为钝角,且sinα+π12∴cosα+π12∴cosα+5π=cosα+π12cosπ3-sin=-223×12-13×3.已知α为锐角,且tan(α+β)=3,tan(α-β)=2,则角α等于()A.π8 B.C.38π D.答案C解析tan2α=tan[(α+β)+(α-β)]=tan(α+β又∵α为锐角,∴0<2α<π,∴2α=3π4,∴α=3π4.化简:tan10°tan20°+tan20°tan60°+tan60°tan10°的值等于.

答案1解析原式=tan10°tan20°+tan60°(tan20°+tan10°)=tan10°tan20°+3tan(20°+10°)·(1-tan20°tan10°)=tan10°tan20°+1-tan20°·tan10°=1.课时精练一、基础巩固1.化简1-tan15°1+tan15°=(A.-1 B.1C.-33 D.答案D解析1-tan15°1+tan15°==tan(45°-15°)=tan30°=332.cos70°cos50°+cos200°cos40°的值为()A.-32 B.-C.12 D.答案B解析法一原式=sin20°sin40°-cos20°cos40°=-(cos20°cos40°-sin20°sin40°)=-cos60°=-12法二原式=cos70°sin40°-cos20°cos40°=sin40°cos70°-sin70°cos40°=sin(40°-70°)=sin(-30°)=-sin30°=-123.已知sinα=35,α∈π2,π,tan(π-β)=12,则tan(α-β)A.-211 B.C.112 D.-答案A解析因为sinα=35,α∈π所以cosα=-45,即tanα=-3因为tan(π-β)=-tanβ=12所以tanβ=-12故tan(α-β)=tan=-34-4.在△ABC中,sinA·sinB<cosA·cosB,则这个三角形为()A.锐角三角形 B.钝角三角形C.直角三角形 D.等腰三角形答案B解析∵在△ABC中,sinA·sinB<cosA·cosB,∴cos(A+B)>0,∴cosC<0,则C为钝角,故△ABC是钝角三角形.5.已知cos(α+β)=45,cos(α-β)=-45,则cosαcosβ的值为(A.0 B.4C.0或45 D.0或±答案A解析cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=45cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=-45两式相加,得2cosαcosβ=0,则cosαcosβ=0.6.若sinαcosπ3-cosαsinπ3=12,α∈[0,2π],则α等于A.π2 B.C.π6或3π2 D.π答案D解析sinαcosπ3-cosαsinπ3=sinα-又α∈[0,2π],所以α=π27.3tan18°tan42°+tan18°-tan138°=()A.3 B.-3C.33 D.-答案A解析由tan60°=tan(18°+42°)=tan18°+tan42°1-tan18°tan42°=3得tan18°+tan42°=3(1-tan18°tan42°),则tan18°+tan42°+3tan18°tan42°=3,所以3tan18°tan42°+tan18°-tan138°=3tan18°tan42°+tan18°+tan42°=3.8.已知2tanθ-tanθ+π4=7,则tanθ=答案2解析∵2tanθ-tanθ+∴2tanθ-tanθ则2tanθ-2tan2θ-tanθ-1=7-7tanθ,∴2tan2θ-8tanθ+8=0,即2(tanθ-2)2=0,解得tanθ=2.9.已知sinα+cosβ=1,cosα+sinβ=0,则sin(α+β)=.

答案-1解析∵sinα+cosβ=1,cosα+sinβ=0,∴sin2α+cos2β+2sinαcosβ=1,①cos2α+sin2β+2cosαsinβ=0,②①+②得2+2(sinαcosβ+cosαsinβ)=1.故sin(α+β)=-1210.tanπ9+tan2π9+3tanπ9tan2π9答案3解析tanπ9+tan2π9+3tanπ=tanπ9+2π91-tanπ=31-tanπ9tan2π9+3tan11.已知sin(α-β)cosα-cos(β-α)sinα=45,β是第三象限角,求sinβ+解∵sin(α-β)cosα-cos(β-α)sinα=sin(α-β)cosα-cos(α-β)sinα=sin(α-β-α)=sin(-β)=-sinβ=45∴sinβ=-45,又β是第三象限角∴cosβ=-1-sin2β∴sinβ+π4=sinβcosπ4+cosβsinπ4=-45×2二、综合运用12.(多选)在△ABC中,C=120°,tanA+tanB=233,下列各式正确的是(A.A+B=2CB.tan(A+B)=-3C.tanA=tanBD.cosB=3sinA答案CD解析∵C=120°,∴A+B=60°,∴2(A+B)=C,∴tan(A+B)=tan60°=3,因此选项A,B不正确;∵tanA+tanB=3(1-tanA·tanB)=23∴tanA·tanB=13,又tanA+tanB=233∴联立①②解得tanA=tanB=33∴A=B=30°,∴cosB=3sinA,故选项C,D正确.13.已知α∈0,π2,β∈-π2,0,且cos(α-β)=35,sinβ=-210答案π解析由sinβ=-210,β∈-得cosβ=72因为α∈0,π2,β∈则0<α-β<π.又cos(α-β)=35,得sin(α-β)=4则sinα=sin[(α-β)+β]=sin(α-β)cosβ+cos(α-β)sinβ=45×7210+35×因此α=π414.已知cosα=55,sin(α-β)=1010,且α,β∈