人教A版高中数学必修一题库 第二章　§2.1　第2课时　等式性质与不等式性质

第2课时等式性质与不等式性质学习目标1.了解等式的性质.2.掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题.(重点)导语通过上节课的学习，我们学会了用等式和不等式来表示现实生活中的相等关系和不等关系.现在就让我们一起探究等式性质和不等式性质，为我们下一步解不等式做好准备！一、等式性质与不等式的性质问题判断下列命题是否正确？(1)如果a=b，那么b=a；(2)如果a=b，b=c，那么a=c；(3)如果a=b，那么a±c=b±c；(4)如果a=b，那么ac=bc；(5)如果a=b，c≠0，那么ac提示以上均正确，这些都是等式的基本性质.知识梳理不等式的性质性质别名性质内容注意1对称性a>b⇔b<a⇔2传递性a>b，b>c⇒a>c不可逆3可加性a>b⇔a+c>b+c⇔4可乘性a>b，c>0⇒ac>bca>b，c<0⇒ac<bcc的符号5同向可加性a>b，c>d⇒a+c>b+d同向6同向同正可乘性a>b>0，c>d>0⇒ac>bd同向同正7可乘方性a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2)同正注意点：(1)若a>b>0，则0<1a若a<b<0，则0>1a(2)不等式只有同向可加和同向同正可乘，没有减法和除法运算.(3)若a>b>0，m>0，则ab>a+mb+m，ab例1对于实数a，b，c，下列命题中是真命题的为()A.若a<b，则ac2<bc2B.若a>b>0，则1C.若a<b<0，则bD.若a>b，1a>1b，答案D解析方法一当c=0时，有ac2=bc2，故A为假命题；由a>b>0，有ab>0⇒aab>ba<b<0⇒-a>-b>0⇒-1b>-1a>0，则aba>b⇒b-a<0，又1a>1b⇒1a-∵a>b，∴a>0，b<0，故D为真命题.方法二(特殊值排除法)取c=0，则ac2=bc2，故A为假命题；取a=2，b=1，则1a=12，1b=1，有1a<1b，故B为假命题；取a=-2反思感悟利用不等式的性质判断命题真假的注意点(1)运用不等式的性质判断时，要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不能想当然随意捏造性质.(2)也可采用特殊值法进行排除，注意取值一定要遵循如下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算.跟踪训练1(多选)下列四个命题中为假命题的是()A.若a>b，c>d，则a-d>b-cB.若a>b，则1C.若a<|b|，则a2>b2D.若a>b，c>d，则ac>bd答案BCD解析对于A，若c>d，则-d>-c，又a>b，所以a-d>b-c，故A为真命题；对于B，若a>b，且a>0，b<0，则1a>0，1b<0，此时1对于C，若a=-1，b=2，则a2=1<b2=4，故C为假命题；对于D，若a=5，b=1，而c=-1，d=-4，则ac=-5<bd=-4，故D为假命题.二、利用不等式的性质证明不等式例2(课本例2)已知a>b>0，c<0，求证ca证明因为a>b>0，所以ab>0，1ab于是a·1ab即1b由c<0，得ca例2已知c>a>b>0，求证：ac证明方法一因为c>a>b>0，所以0<c-a<c-b，所以(c-a)(c-b)>0，所以0<1(c-a)(c<1(c-a)(c-即0<1c-b<又因为a>b>0，所以ac方法二因为a>b>0，所以1因为c>0，所以c所以ca-1<cb-1因为c>a>b>0，所以c-a>0，c-b>0.所以ac方法三a=ac因为c>a>b>0，所以a-b>0，c-a>0，c-b>0，所以ac延伸探究1在本例条件不变的情况下，求证：a(证明方法一因为c>a>b>0，所以0<c-a<c-b，所以0<(c-a)2<(c-b)2，所以(c-a)2(c-b)2>0，所以0<1(c-a)2(<1(c-a)2(c即0<1所以1(c又因为a>b>0，所以a(方法二a=a=a=a因为c>a>b>0，所以a-b>0，c2>ab，c-a>0，c-b>0，所以(a-b)(c2-ab)>0，所以(a-所以a(c因此a(反思感悟(1)利用不等式的性质对不等式的证明其实质就是利用性质对不等式进行变形，变形要等价，同时要注意性质适用的前提条件.(2)用作差法证明不等式和用作差法比较大小的方法原理一样，变形后判断符号时要注意充分利用题目中的条件.跟踪训练2证明下列不等式：(1)已知a>b>c>d，求证：1a(2)已知a>b>0，c<d<0，e<0，求证：ea证明(1)∵a>b>c>d，即a>b，-d>-c，∴a-d>b-c>0，则1a(2)∵a>b>0，c<d<0，e<0，∴-c>-d>0，∴a-c>b-d>0，b-a<0，c-d<0，则ea-∴ea三、利用不等式的性质求代数式的取值范围例3已知-6<a<8，2<b<3，求2a+b，a-b及ab的取值范围解因为-6<a<8，2<b<3，所以-12<2a<16，所以-10<2a+b<19.又因为-3<-b<-2，所以-9<a-b<6.又1①当0≤a<8时，0≤ab<4②当-6<a<0时，0<-a<6，所以0<-ab<3，所以-3<a由①②得-3<ab延伸探究2若将条件改为“1≤a+b≤4，-1≤a-b≤2”，则3a+2b的取值范围是.答案2≤3a+2b≤11解析设3a+2b=x(a+b)+y(a-b)=(x+y)a+(x-y)b，则x+y所以3a+2b=52(a+b)+12(a-b因为1≤a+b≤4，-1≤a-b≤2，所以52≤52(a+b)≤10，-12≤12因此，2≤3a+2b≤11.反思感悟利用不等式的性质求取值范围的策略(1)建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用不等式的性质进行运算，求得待求的范围.(2)同向不等式的两边可以相加，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围.跟踪训练3已知1<a<6，3<b<4，则a-b的取值范围是，ab的取值范围是答案-3<a-b<314解析∵3<b<4，∴-4<-b<-3.∴1-4<a-b<6-3，即-3<a-b<3.又14<1b<1.知识清单：(1)等式的性质.(2)不等式的性质及其应用.2.方法归纳：作差比较法、特值法、不等式性质法.3.常见误区：注意不等式性质的单向性或双向性，即每条性质是否具有可逆性.1.与a>b等价的不等式是()A.|a|>|b| B.a2>b2C.ab>1 D.a3>b答案D解析可利用赋值法.令a=1，b=-2，满足a>b，但|a|<|b|，a2<b2，ab=-1故A，B，C都不正确.2.(多选)已知a，b，c∈R，则下列命题正确的是()A.ac2>bc2⇒a>b B.ac>bcC.a>b,答案AC解析由ac2>bc2可知c≠0，∴c2>0，∴a>b，A成立；当c<0时，B不成立；ab<0，a>b⇒aab<bab同理可证D不成立.3.若1<a<3，-4<b<2，那么a-|b|的范围是()A.-3<a-|b|≤3 B.-3<a-|b|<5C.-3<a-|b|<3 D.1<a-|b|<4答案C解析∵-4<b<2，∴0≤|b|<4，∴-4<-|b|≤0.又∵1<a<3，∴-3<a-|b|<3.4.对于实数a，b，“a+b>0,ab>0”是“a>0,b>0”的条件.(填“充要答案充要解析当a+b>0,ab>0成立时，由ab>0可知a与b同号，再由a+b即a>0由不等式的性质可知ab>0且a+b>0，即a+b所以“a+b>0,ab>0”课时对点练[分值：100分]单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共12分1.已知a，b，c，d∈R，则下列命题中必成立的是()A.若a>b，c>d，则a+b>c+dB.若a>-b，则c-a<c+bC.若a>b，c<d，则aD.若a3>b3，则-a>-b答案B解析选项A，取a=1，b=0，c=2，d=1，则a+b<c+d，A不成立；选项B，因为a>-b，所以-a<b，所以c-a<c+b，则B成立；选项C，当a>b>0，c<0<d时，C不成立；选项D，当a=1，b=0时，D不成立.2.如果a<0，b>0，那么下列不等式中一定正确的是()A.1a<C.a2<b2 D.|a|>|b|答案A解析∵a<0，b>0，∴1a<0，1b>0，3.若-1<α<β<1，则α-β的取值范围为()A.-2<α-β<0B.-2<α-β<-1C.-1<α-β<0D.0<α-β<1答案A解析因为-1<α<β<1，所以α-β<0,-1<-β4.已知a+b>0，b<0，那么a，b，-a，-b的大小关系是()A.a>b>-b>-a B.a>-b>-a>bC.a>-b>b>-a D.a>b>-a>-b答案C解析∵a+b>0，b<0，∴a>-b>0，0>b>-a，∴a>-b>b>-a.5.(多选)若m≥1，则下列选项中正确的是()A.1-m≤0 B.m3≥1C.m2≤m D.m-1答案AB解析因为m≥1，所以-m≤-1，1-m≤0，故A正确；由不等式的性质可得m3≥1，故B正确；当m=2时，m2>m，故C错误；当m=1时，m-1=0，故D6.设x<a<0，则下列不等式一定成立的是()A.x2<ax<a2 B.x2>ax>a2C.x2<a2<ax D.x2>a2>ax答案B解析方法一∵x<a<0，∴x2>a2.∵x2-ax=x(x-a)>0，∴x2>ax.又ax-a2=a(x-a)>0，∴ax>a2.∴x2>ax>a2.方法二∵x<a<0，∴x·x>a·x>0，a·x>a·a>0，∴x2>ax>a2.7.若a，b都是实数，则“a-b>0”是“a2-b2>0”的(A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案A解析∵a-b>0，∴a>∴(a)2>(b)2≥0，∴a>b≥0，∴a2-b2>0，∴“a-b>0”是“a2-b2>0又∵a2-b2>0，不妨取a=-2，b=1，无法推出a-b>0，故A8.(5分)设a，b，c是任意实数，能够说明“若c<b<a且ac<0，则ab<ac”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为.答案1，0，-1(答案不唯一)解析若c<b<a且ac<0，则a>0，c<0，则取a=1，b=0，c=-1，则满足条件ac<0，但ab<ac不成立.9.(5分)若-2≤x≤1，0≤y≤1，则xy的取值范围为.答案-2≤xy≤1解析当0<x≤1，0<y≤1时，0<xy≤1；当-2≤x<0，0<y≤1时，0<-x≤2，所以0<-xy≤2，即-2≤xy<0；当x=0或y=0时，xy=0，综上所述，-2≤xy≤1.10.(10分)判断下列命题的真假，并说明理由.(1)若ac>bd，则ad>(2)若a<b<0，则1a-b<(3)设a，b为正实数，若a-1a<b-1b，则a<b解(1)因为ac>bd，所以a所以ad即ad>bc且cd>0，或ad<bc且cd<0，故(1)为假命题.(2)由a<b<0得a<a-b<0，所以1a-b<1a(3)因为a-1a<b-1b，且a>0，b>0，所以a2b-b<ab2-a⇒a2b-ab2-b+a<0⇒ab(a-b)+(a-b)<0⇒(a-b)(ab+1)<0，所以a-b<0，即a<b，故(311.已知x>y>z，x+y+z=0，则下列不等式中一定成立的是()A.xy>yz B.xz>yzC.xy>xz D.x|y|>z|y|答案C解析因为x>y>z，x+y+z=0，所以3x>x+y+z=0，3z<x+y+z=0，所以x>0，z<0.所以由x>0,y>z,12.(多选)已知-5≤a-b≤4，2≤2a+b≤8，则()A.-1≤a≤4 B.0≤b≤4C.-28≤2a-5b≤14 D.ab的最大值为24答案AC解析由题意可得-3≤3a≤12，即-1≤a≤4，故A正确；由-5≤a-b≤4，可得-8≤2b-2a≤10，又2≤2a+b≤8，则-6≤3b≤18，即-2≤b≤6，故B错误；设2a-5b=x(a-b)+y(2a+b)，则x+2y因为-20≤4(a-b)≤16，-8≤-(2a+b)≤-2，所以-28≤2a-5b≤14，故C正确；由-1≤a≤4，以及-2≤b≤6，若ab的最大值为24，则a=4，b=6，此时2a+b=14>8，故D错误.13.(5分)某高校在9月初共有m名在校学生，其中有n(m>n)名大一新生，在9月底，又补录了b名学生，则新生占学生的比例(选填“变大”“变小”或“不变”)，其理论论据用数学形式表达为.答案变大若m>n>0，b>0，则n解析由题意补录了b名学生，新生人数增多，而原有学生人数不变，由此知，新生所占的比例必增大.由于补录后新生人数变为n+b，在校生人数增加为m+b，故所对应的不等式模型是n即若m>n>0，b>0，则nm14.(11分)(1)设0<x<1，0<y<1，求证：x(1-y)+y(1-x)<1；(5分)(2)设0<x<1，0<y<1，0<z<1，求证：x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)<1.(6分)证明(1)方法一∵0<x<1，0<y<1，∴0<xy<1，0<1-y<1，∴0<x(1-y)<1-y，∴x(1-y)+y(1-x)<(1-y)+y(1-x)=1-y+y-xy=1-xy<1.方法二∵0<x<1，0<y<1，∴0<xy<1，0<1-x<1，0<1-y<1，∴0<x(1-y)<1-y，0<y(1-x)<y，∴x(1-y)+y(1-x)<(1-y)+y(1-x)<1-y+y=1.方法三∵x(1-y)+y(1-x)+xy+(1-x)(1-y)=1，∴x(1-y)+y(1-x)=1-xy-(1-x)(1-y)，∵0<x<1，0<y<1，∴0<xy<1，0<1-x<1，0<1-y<1，0<(1-x)(1-y)<1，∴x(1-y)+y(1-x)=1-xy-(1-x)(1-y)<1，即x(1-y)+y(1-x)<1.(2)方法一∵x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)+xyz+(1-x)(1-y)(1-z)=1，∴x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)=1-xyz-(1-x)(1-y)(1-z)，∵0<x<1，0<y<1，0<z<1，∴0<xyz<1，0<1-x<1，0<1-y<1，0<1-z<1，0<(1-x)(1-y)(1-z)<1，∴1-xyz-(1-x)(1-y)(1-z)<1，∴x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)<1.方法二∵0<x<1，0<y<1，0<z<1，∴0<1-x<1，0<1-y<1，0<1-z<1，∵x(1-y)=x(1-y)(1-z)+xz(1-y)，y(1-z)=y(1-z)(1-x)+yx(1-z)，z(1-x)=z(1-x)(1-y)+zy(1-x)，∴x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)=x(1-y)(1-z)+xz(1-y)+y