2026年人教版高中数学必修第一册第7章数列练习题及答案

2026年人教版高中数学必修第一册第7章数列练习题及答案第1页共1页2026年人教版高中数学必修第一册第7章数列练习题及答案一、单项选择题（共10小题，每题2分）1.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_1=2，且对于任意正整数n，都有S_n=3a_n-4，则数列{a_n}的通项公式为A.a_n=3^nB.a_n=23^(n-1)C.a_n=32^(n-1)D.a_n=23^n参考答案：C2.在等差数列{b_n}中，若b_3+b_7=12，且公差d≠0，则b_5的值为A.4B.6C.8D.10参考答案：B3.已知数列{c_n}满足c_1=1，c_2=2，且对于任意正整数n(n≥2)，都有c_n=c_(n-1)+c_(n-2)，则c_6的值为A.8B.13C.21D.34参考答案：C4.若数列{d_n}的前n项和S_n=n^2+n+1，则d_4的值为A.15B.16C.17D.18参考答案：C5.已知等比数列{e_n}的首项e_1=1，公比q=2，则e_3+e_5的值为A.15B.16C.17D.18参考答案：A6.在等差数列{f_n}中，若f_1+f_2+f_3=9，且公差d=1，则f_4的值为A.3B.4C.5D.6参考答案：C7.已知数列{g_n}的前n项和T_n=2^n-1，则g_4的值为A.8B.7C.6D.5参考答案：B8.若数列{h_n}满足h_n=n(n+1)，则h_3+h_4+h_5的值为A.45B.46C.47D.48参考答案：A9.已知等比数列{i_n}的前3项之积为8，公比q=2，则i_4的值为A.16B.32C.64D.128参考答案：B10.在等差数列{j_n}中，若j_1=1，j_2=4，j_3=7，则j_10的值为A.19B.20C.21D.22参考答案：C二、填空题（共10小题，每题2分）1.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_1=2，且a_n=3S_n-2，则a_5=______。参考答案：2562.在等差数列{b_n}中，若b_3=7，b_7=15，则该数列的通项公式b_n=______。参考答案：b_n=2n-13.已知数列{c_n}的通项公式为c_n=2^n-1，则该数列的前n项和S_n=______。参考答案：2^n-14.若数列{d_n}满足d_1=1，d_n+1=2d_n+1，则d_4=______。参考答案：75.在等比数列{e_n}中，若e_2=6，e_4=54，则该数列的公比q=______。参考答案：36.已知数列{f_n}的前n项和为T_n，且f_n=T_n-T_{n-1}（n≥2），若f_1=1，则f_10=______。参考答案：5127.若数列{g_n}的前n项和为U_n=3n^2-2n，则该数列的通项公式g_n=______。参考答案：g_n=6n-38.在等差数列{h_n}中，若h_1=-5，公差d=3，则h_10=______。参考答案：209.已知数列{i_n}的前n项和为V_n=n^2+n，则i_3=______。参考答案：810.若数列{j_n}满足j_1=2，j_n+1=3j_n-2，则j_5=______。参考答案：160三、判断题（共10小题，每题2分）1.等差数列的前n项和公式为Sn=n(a1+an)/2。参考答案：√2.如果一个数列的通项公式是an=2n-1，那么这个数列是等比数列。参考答案：×3.在等比数列中，若m+n=p+q，则aman=apaq。参考答案：√4.数列{an}是等差数列的充要条件是存在常数d，使得对任意n∈N，都有an+1=an+d。参考答案：√5.数列{an}的前n项和为Sn=3n^2+2n，则这个数列是等差数列。参考答案：√6.等差数列的任意两项之差等于公差。参考答案：√7.数列{an}是等比数列的充要条件是存在常数q，使得对任意n∈N，都有an=an-1q。参考答案：×8.如果数列{an}的前n项和Sn=2^n-1，那么这个数列是等比数列。参考答案：×9.在等差数列中，若a1+a2+a3=12，则a2=4。参考答案：√10.数列{an}是等差数列的充要条件是它的任意三项a_i,a_j,a_k（i≠j≠k）满足a_j-a_i=a_k-a_j。参考答案：√四、简答题（共8小题，每题2分）1.简述数列的定义及其与函数的关系。参考答案：数列是按照一定次序排列的一列数，可以看作是定义域为正整数集N（或其子集）的函数。数列的通项a_n是自变量为n时的函数值，因此数列是特殊的函数。2.写出等差数列的前n项和公式，并说明其应用场景。参考答案：等差数列的前n项和公式为S_n=n(a_1+a_n)/2或S_n=n[2a_1+(n-1)d]/2，其中a_1为首项，d为公差。应用场景包括计算等差数列的总和、解决与等差数列相关的实际问题（如平均增长量问题）、证明与等差数列有关的等式或不等式等。3.列举等比数列的三个主要性质。参考答案：等比数列的三个主要性质包括：①任意两项之比等于公比，即a_m/a_n=q^(m-n)；②若m+n=p+q，则a_ma_n=a_pa_q；③数列的任意连续三项满足a_(n+1)^2=a_na_(n+2)。4.解释数列的通项公式与递推公式的区别。参考答案：通项公式直接给出数列的第n项a_n的表达式，通常是关于n的显式函数，如a_n=2n+1。递推公式通过已知项与未知项之间的关系来定义数列，如a_(n+1)=a_n+3，初始项a_1=1。区别在于：通项公式直接计算任意项，递推公式需要从初始项开始逐项计算。5.指出数列{a_n}是单调递增的充要条件。参考答案：数列{a_n}是单调递增的充要条件是对于任意正整数n，都有a_(n+1)a_n，或者等价地，a_(n+1)-a_n0。6.说明如何判断一个数列是否为等差数列。参考答案：判断一个数列是否为等差数列的方法包括：①计算相邻项之差，若所有相邻项之差相等，则该数列是等差数列；②写出通项公式，若通项公式可以表示为a_n=a_1+(n-1)d的形式，则该数列是等差数列；③通过递推公式，若递推公式满足a_(n+1)=a_n+d，则该数列是等差数列。7.简述数列极限的概念及其意义。参考答案：数列极限的概念是指当数列的项数n无限增大时，数列的项a_n无限接近某个确定的常数A，则称A为数列{a_n}的极限，记作lim(n→∞)a_n=A。意义在于描述数列的长期行为，是微积分学研究的基础，可以用来定义连续函数、求解无穷级数等。8.列举数列求和的两种常见方法。参考答案：数列求和的两种常见方法包括：①分组求和法，将数列的项进行适当分组，使每组项的和具有某种规律，如等差数列与等比数列的混合数列求和；②裂项相消法，将数列的通项拆分为两项之差，使得求和时中间项相互抵消，如1/(n(n+1))可以拆分为1/n-1/(n+1)。五、应用题（共8小题，每题3分）1.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a_1=2，a_n+1=3a_n-2。求该数列的通项公式a_n。参考答案：a_n=3^(n-1)+12.在等差数列{b_n}中，b_3=7，b_5=11。求该数列的通项公式b_n和前10项和S_10。参考答案：b_n=2n-1，S_10=903.已知数列{c_n}满足c_1=1，c_n+1=c_n+2n。求该数列的前5项和S_5。参考答案：S_5=554.在等比数列{d_n}中，d_2=6，d_4=54。求该数列的通项公式d_n。参考答案：d_n=23^(n-2)5.已知数列{e_n}的前n项和为S_n，且满足e_n=S_n/(n-1)（n≥2），e_1=1。求该数列的通项公式e_n。参考答案：e_n=n6.在等差数列{f_n}中，f_1=-5，公差d=3。求该数列的前n项和S_n的最小值。参考答案：S_n最小值为-557.已知数列{g_n}满足g_1=3，g_n+1=2g_n+1。求该数列的通项公式g_n。参考答案：g_n=2^n+18.在等比数列{h_n}中，h_1=2，公比q=-3。求该数列的前4项和S_4。参考答案：S_4=-62标准答案与解析一、单项选择题1.参考答案：C解析：由S_n=3a_n-4可得a_1=2=3a_1-4，解得a_1=2。当n≥2时，a_n=S_n-S_(n-1)=(3a_n-4)-(3a_(n-1)-4)=3a_n-3a_(n-1)，整理得a_n=3a_(n-1)。因此数列{a_n}是首项为2，公比为3的等比数列，通项公式为a_n=23^(n-1)。故正确答案为C。选项A错误，等比数列通项公式应为23^(n-1)而不是3^n。选项B错误，等比数列通项公式应为23^(n-1)而不是23^(n-1)。选项D错误，等比数列通项公式应为23^(n-1)而不是23^n。2.参考答案：B解析：由等差数列性质可得b_3+b_7=b_1+b_9=12。又因为b_1=b_3-2d，b_9=b_3+6d，所以(b_3-2d)+(b_3+6d)=12，整理得2b_3+4d=12，即b_3+2d=6。又因为b_5=b_3+2d，所以b_5=6。故正确答案为B。选项A错误，b_5=6而不是4。选项C错误，b_5=6而不是8。选项D错误，b_5=6而不是10。3.参考答案：C解析：由c_1=1，c_2=2，且c_n=c_(n-1)+c_(n-2)(n≥2)可得数列{c_n}是斐波那契数列，即c_3=c_2+c_1=3，c_4=c_3+c_2=5，c_5=c_4+c_3=8，c_6=c_5+c_4=13+8=21。故正确答案为C。选项A错误，c_6=21而不是8。选项B错误，c_6=21而不是13。选项D错误，c_6=21而不是34。4.参考答案：C解析：由d_n=S_n-S_(n-1)(n≥2)可得d_4=S_4-S_3=(4^2+4+1)-(3^2+3+1)=21-13=8。又因为d_1=S_1=1^2+1+1=3，所以d_4=8。故正确答案为C。选项A错误，d_4=8而不是15。选项B错误，d_4=8而不是16。选项D错误，d_4=8而不是18。5.参考答案：A解析：由等比数列性质可得e_3+e_5=e_1q^2+e_1q^4=12^2+12^4=4+16=20。故正确答案为A。选项B错误，e_3+e_5=20而不是16。选项C错误，e_3+e_5=20而不是17。选项D错误，e_3+e_5=20而不是18。6.参考答案：C解析：由等差数列性质可得f_1+f_2+f_3=3f_2=9，解得f_2=3。又因为公差d=1，所以f_4=f_2+2d=3+2=5。故正确答案为C。选项A错误，f_4=5而不是3。选项B错误，f_4=5而不是4。选项D错误，f_4=5而不是6。7.参考答案：B解析：由g_n=T_n-T_(n-1)(n≥2)可得g_4=T_4-T_3=(2^4-1)-(2^3-1)=15-7=8。又因为g_1=T_1=1，所以g_4=8。故正确答案为B。选项A错误，g_4=8而不是7。选项C错误，g_4=8而不是6。选项D错误，g_4=8而不是5。8.参考答案：A解析：由h_n=n(n+1)可得h_3=34=12，h_4=45=20，h_5=56=30，所以h_3+h_4+h_5=12+20+30=62。故正确答案为A。选项B错误，h_3+h_4+h_5=62而不是46。选项C错误，h_3+h_4+h_5=62而不是47。选项D错误，h_3+h_4+h_5=62而不是48。9.参考答案：B解析：由等比数列性质可得i_1i_2i_3=i_2^3=8，解得i_2=2。又因为公比q=2，所以i_4=i_2q^2=22^2=82=16。故正确答案为B。选项A错误，i_4=16而不是16。选项C错误，i_4=16而不是64。选项D错误，i_4=16而不是128。10.参考答案：C解析：由等差数列性质可得4=1+3d，解得d=1。所以j_n=1+(n-1)1=n。故j_10=10。故正确答案为C。选项A错误，j_10=10而不是19。选项B错误，j_10=10而不是20。选项D错误，j_10=10而不是22。二、填空题1.参考答案：256解析：由a_n=3S_n-2可得a_1=3S_1-2，即2=3S_1-2，解得S_1=4/3。当n≥2时，a_n=3S_n-2，a_{n-1}=3S_{n-1}-2，两式相减得a_n-a_{n-1}=3a_n，即a_n=-a_{n-1}/2。由此可得a_2=-2/3，a_3=1/3，a_4=-1/6，a_5=1/12。又因为a_n=2×(-1/2)^(n-1)，所以a_5=256。2.参考答案：b_n=2n-1解析：由b_3=7，b_7=15可得4d=8，解得d=2。又因为b_1=a_1=2-2d=2-4=-2，所以b_n=-2+2(n-1)=2n-4。化简得b_n=2n-1。3.参考答案：2^n-1解析：由c_n=2^n-1可得S_n=2^1-1+2^2-1+…+2^n-1=2(2^n-1)/2-1=2^n-1。4.参考答案：7解析：由d_1=1，d_n+1=2d_n+1可得d_2=2×1+1=3，d_3=2×3+1=7，d_4=2×7+1=15。5.参考答案：3解析：由e_2=6，e_4=54可得q^2=54/6=9，解得q=3。6.参考答案：512解析：由f_n=T_n-T_{n-1}（n≥2）可得f_1=T_1-T_0=1-0=1。当n≥2时，f_n=T_n-T_{n-1}，f_{n-1}=T_{n-1}-T_{n-2}，两式相减得f_n-f_{n-1}=0，即f_n=f_{n-1}。由此可得f_n=1，所以f_10=512。7.参考答案：g_n=6n-3解析：由U_n=3n^2-2n可得g_n=U_n-U_{n-1}=3n^2-2n-[3(n-1)^2-2(n-1)]=6n-3。8.参考答案：20解析：由h_1=-5，d=3可得h_n=-5+3(n-1)=3n-8，所以h_10=20。9.参考答案：8解析：由V_n=n^2+n可得i_n=U_n-U_{n-1}=n^2+n-[（n-1）^2+(n-1)]=2n，所以i_3=8。10.参考答案：160解析：由j_1=2，j_n+1=3j_n-2可得j_2=3×2-2=4，j_3=3×4-2=10，j_4=3×10-2=28，j_5=3×28-2=82。三、判断题1.参考答案：√解析：等差数列的前n项和公式Sn=n(a1+an)/2是数学定理，适用于所有等差数列，可以直接用于计算前n项和。2.参考答案：×解析：通项公式an=2n-1表示数列是等差数列，公差为2，不是等比数列。等比数列要求相邻项之比为常数，而这里相邻项之比为(2(n+1)-1)/(2n-1)=2n+1/(2n-1)不恒定，因此不是等比数列。3.参考答案：√解析：根据等比数列的性质，若m+n=p+q，则aman=apaq。这是等比数列的乘法性质，可以直接应用。4.参考答案：√解析：数列{an}是等差数列的定义就是存在常数d，使得对任意n∈N，都有an+1=an+d。这是等差数列的基本定义。5.参考答案：√解析：数列{an}的前n项和为Sn=3n^2+2n，则an=Sn-Sn-1=3n^2+2n-[3(n-1)^2+2(n-1)]=6n-1，因此数列是等差数列，公差为6。6.参考答案：√解析：等差数列的定义就是任意两项之差等于公差，这是等差数列的基本性质。7.参考答案：×解析：数列{an}是等比数列的充要条件是存在常数q，使得对任意n≥2，都有an/an-1=q。题干中只说了n∈N，没有明确n≥2，因此不完整。8.参考答案：×解析：数列{an}的前n项和Sn=2^n-1，则an=Sn-Sn-1=2^n-1-(2^(n-1)-1)=2^n-1-2^(n-1)+1=2^(n-1)，因此数列是等比数列，公比为2，但题干没有说明n≥2，因此不完整。9.参考答案：√解析：在等差数列中，若a1+a2+a3=12，则3a1+3d=12，即a1+d=4，因此a2=a1+d=4。10.参考答案：√解析：数列{an}是等差数列的充要条件是它的任意三项a_i,a_j,a_k（i≠j≠k）满足a_j-a_i=a_k-a_j。这是等差数列的性质，可以直接应用。四、简答题1.参考答案：数列是按照一定次序排列的一列数，可以看作是定义域为正整数集N（或其子集）的函数。数列的通项a_n是自变量为n时的函数值，因此数列是特殊的函数。解析：数列的定义强调元素的有序性，这是与一般函数的区别。数列可以看作是f:N→R的特例，其中N是正整数集。例如，自然数列1,2,3,...可以看作是函数f(n)=n在N上的取值。这种对应关系使得数列的研究可以借助函数的理论和方法。数列的图像是一系列离散的点，横坐标为正整数，纵坐标为对应的数列值。2.参考答案：等差数列的前n项和公式为S_n=n(a_1+a_n)/2或S_n=n[2a_1+(n-1)d]/2，其中a_1为首项，d为公差。应用场景包括计算等差数列的总和、解决与等差数列相关的实际问题（如平均增长量问题）、证明与等差数列有关的等式或不等式等。解析：前n项和公式有两种形式，第一种形式适用于已知首项和末项时，第二种形式适用于已知首项和公差时。推导过程可以通过倒序相加法得到。应用场景广泛，例如计算阶梯电价的总费用、计算等差数列的前100项和等。3.参考答案：等比数列的三个主要性质包括：①任意两项之比等于公比，即a_m/a_n=q^(m-n)；②若m+n=p+q，则a_ma_n=a_pa_q；③数列的任意连续三项满足a_(n+1)^2=a_na_(n+2)。解析：第一个性质是等比数列的定义特征，第二个性质体现了等比数列的对称性，第三个性质是等比数列的判别条件。这些性质在证明等比数列相关问题、求解未知项、判断数列性质等方面有重要应用。4.参考答案：通项公式直接给出数列的第n项a_n的表达式，通常是关于n的显式函数，如a_n=2n+1。递推公式通过已知项与未知项之间的关系来定义数列，如a_(n+1)=a_n+3，初始项a_1=1。区别在于：通项公式直接计算任意项，递推公式需要从初始项开始逐项计算。解析：通项公式是封闭形式的表达，而递推公式是递归形式的定义。对于某些数列，可能难以找到通项公式，但可以通过递推公式完全确定数列。例如斐波那契数列就是典型的递推定义。5.参考答案：数列{a_n}是单调递增的充要条件是对于任意正整数n，都有a_(n+1)a_n，或者等价地，a_(n+1)-a_n0。解析：单调递增的定义是后一项总是大于前一项。这个条件可以转化为公差d0（对于等差数列），也可以通过不等式链来证明。例如，若要证明数列{a_n}单调递增，可以假设a_(n+1)-a_n0对所有n成立，然后通过数学归纳法或直接计算来验证。6.参考答案：判断一个数列是否为等差数列的方法包括：①计算相邻项之差，若所有相邻项之差相等，则该数列是等差数列；②写出通项公式，若通项公式可以表示为a_n=a_1+(n-1)d的形式，则该数列是等差数列；③通过递推公式，若递推公式满足a_(n+1)=a_n+d，则该数列是等差数列。解析：等差数列的核心特征是相邻项之差（公差）相等。因此，可以通过计算相邻项之差来验证。通项公式和递推公式的形式也是判断等差数列的重要依据。7.参考答案：数列极限的概念是指当数列的项数n无限增大时，数列的项a_n无限接近某个确定的常数A，则称A为数列{a_n}的极限，记作lim(n→∞)a_n=A。意义在于描述数列的长期行为，是微积分学研究的基础，可以用来定义连续函数、求解无穷级数等。解析：极限是数列的一种收敛性概念，与函数极限类似但研究对象不同。数列极限的几何意义是数列的项在数轴上无限靠近某个点。数列极限的存在性决定了数列的稳定性，是研究数列性质的重要工具。8.参考答案：数列求和的两种常见方法包括：①分组求和法，将数列的项进行适当分组，使每组项的和具有某种规律，如等差数列与等比数列的混合数列求和；②裂项相消法，将数列的通项拆分为两项之差，使得求和时中间项相互抵消，如1/(n(n+1))可以拆分为1/n-1/(n+1)。解析：分组求和法适用于数列的项可以分成若干组，每组的和有简单表达式的情形。裂项相消法适用于通项可以拆分为两项之差，且相邻项的拆分部分相互抵消的情形。这两种方法都是数列求和的重要技巧，需要根据数列的具体形式选择合适的方法。五、应用题1.参考答案：a_n=3^(n-1)+1解析：由a_n+1=3a_n-2可得a_n+1-3a_n=-2，即a_n+1-3a_n+2=0，整理得(a_n+1+1)/3=(a_n+2)/3，故数列{a_n+1}是首项为3、公比为3的等比数列，即a_n+1=3^n，所以a_n=3^n-1=3^(n-1)+1。2