2026年人教版初中数学七年级第9章一元二次方程单元测试卷及答案

2026年人教版初中数学七年级第9章一元二次方程单元测试卷及答案第1页共1页2026年人教版初中数学七年级第9章一元二次方程单元测试卷及答案一、单项选择题（共10小题，每题2分）1.如果一个数的平方等于9，那么这个数是A.3B.-3C.9D.3或-3参考答案：D2.下列方程中，是一元二次方程的是A.2x+y=5B.x²-4x=0C.1/x+3=2D.x+1=y²参考答案：B3.方程(x-1)²=4的解是A.x=3B.x=-3C.x=1±2D.x=5参考答案：C4.用配方法解方程x²-6x+5=0，下列变形正确的是A.(x-3)²=4B.(x+3)²=14C.(x-1)²=4D.(x+5)²=6参考答案：A5.关于x的一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)的根的情况，下列说法正确的是A.一定有两个不相等的实数根B.一定有两个相等的实数根C.一定没有实数根D.根的情况与a,b,c的值有关参考答案：D6.如果方程x²-kx+9=0有两个相等的实数根，那么k的值是A.-6B.6C.±6D.9参考答案：C7.方程(x+2)²-4=0的解是A.x=0B.x=2C.x=-4D.x=-2或0参考答案：D8.用公式法解方程2x²-4x-6=0，首先需要计算判别式Δ的值，Δ等于A.-8B.8C.16D.-16参考答案：C9.如果一元二次方程x²-mx+9=0的一个根是3，那么m的值是A.2B.6C.3D.9参考答案：B10.下列关于一元二次方程根的判别式的应用，正确的是A.当Δ0时，方程有两个不相等的实数根B.当Δ=0时，方程有两个相等的实数根C.当Δ0时，方程有两个不相等的实数根D.当Δ=0时，方程没有实数根参考答案：A二、填空题（共10小题，每题2分）1.如果一元二次方程x²-5x+6=0的一个根是2，则它的另一个根是______。参考答案：32.当k=______时，方程x²-kx+9=0有两个相等的实数根。参考答案：63.不解方程，判断方程2x²-4x-1=0的根的情况是______。参考答案：有两个不相等的实数根4.已知方程x²-mx+1=0的两个根的平方和为5，则m的值是______。参考答案：±25.将方程(x-1)²=4化为一般形式的一元二次方程是______。参考答案：x²-2x-3=06.如果关于x的一元二次方程(m-1)x²+mx+1=0是一个一元一次方程，则m=______。参考答案：-17.用配方法解方程x²+6x+5=0，则方程可变形为______。参考答案：(x+3)²=48.一元二次方程3x²-5x-2=0的判别式Δ=______。参考答案：499.若一元二次方程x²+px+q=0的两个根分别为-2和3，则p+q=______。参考答案：-110.当a≠0时，方程ax²+bx+c=0变为x²+bx+c=0的根的变化情况是______。参考答案：不变三、判断题（共10小题，每题2分）1.一元二次方程2x^2-3x=0的根是x1=0,x2=3/2。参考答案：×2.任何一个一元二次方程都至少有两个不相等的实数根。参考答案：×3.若x1,x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0的两个根，则x1+x2=-b/a。参考答案：√4.解一元二次方程(x-1)^2=4可以直接开平方得到x=1±2。参考答案：√5.一元二次方程3x^2-6x+2=0的判别式Δ=-6。参考答案：×6.当判别式Δ0时，一元二次方程有两个不相等的实数根。参考答案：√7.如果一元二次方程的两个根都是正数，那么它的首项系数a必须为正。参考答案：×8.一元二次方程x^2+px+q=0的两根之积为q。参考答案：√9.任何一元二次方程都可以用配方法求解。参考答案：×10.一元二次方程2x^2-8x+8=0的图像与x轴没有交点。参考答案：√四、简答题（共8小题，每题2分）1.请简述一元二次方程的一般形式，并说明其中各项的名称。参考答案：一元二次方程的一般形式为ax^2+bx+c=0，其中a、b、c是常数，且a≠0。a称为二次项系数，b称为一次项系数，c称为常数项。2.若关于x的方程(m-1)x^2+3x+2=0是一元二次方程，求m的取值范围。参考答案：m≠13.请列举一元二次方程的四种常用解法，并简要说明每种解法的适用情况。参考答案：一元二次方程的四种常用解法包括：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法。直接开平方法适用于形如x^2=a(a≥0)的方程；配方法适用于所有一元二次方程，是推导求根公式的依据；公式法适用于所有一元二次方程，可以直接代入求根公式计算；因式分解法适用于能分解为两个一次因式乘积的一元二次方程，比较简便。4.当一元二次方程的两个根分别为x1和x2时，请用根与系数的关系表示该方程。参考答案：若一元二次方程的两个根分别为x1和x2，则该方程可以表示为x^2-(x1+x2)x+x1x2=0。根据根与系数的关系，x1+x2=-b/a，x1x2=c/a。5.若一元二次方程x^2-4x+k=0有两个相等的实数根，求k的值。参考答案：k=46.请说明判别式Δ=b^2-4ac在判断一元二次方程根的情况时所起的作用。参考答案：判别式Δ=b^2-4ac在判断一元二次方程根的情况时所起的作用是：当Δ0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ0时，方程没有实数根（有两个共轭虚根）。Δ的符号决定了方程实数根的个数和性质。7.在解一元二次方程(x+1)(x-2)=0时，可以将其转化为两个一元一次方程求解，请简述这种方法的依据。参考答案：依据是：若ab=0，则a=0或b=0。在一元二次方程(x+1)(x-2)=0中，x+1和x-2是两个因式，它们的乘积为0。根据乘积为0的性质，可以得到x+1=0或x-2=0。解这两个一元一次方程，得到x=-1或x=2。这就是方程(x+1)(x-2)=0的两个根。因此，可以将一元二次方程转化为两个一元一次方程求解。8.若一元二次方程x^2+px+q=0的一个根是-3，求另一个根及p、q的值。参考答案：另一个根是3，p=-6，q=9。五、应用题（共8小题，每题3分）1.某工厂计划生产一批零件，如果每天生产50个，那么生产完这批零件需要12天。现在要求提前3天完成任务，每天需要生产多少个零件？参考答案：每天需要生产60个零件2.一个长方形的周长是28厘米，长比宽多4厘米。求这个长方形的面积。参考答案：这个长方形的面积是112平方厘米3.某班级组织一次春游，租用客车若干辆，每辆客车限载45人。如果每辆车坐40人，则有10人没有座位；如果每辆车坐35人，则有一辆车不满载。问租用了多少辆客车？参考答案：租用了3辆客车4.一个两位数，它的十位数字比个位数字大2，这个两位数与它的数字之和的积是54。求这个两位数。参考答案：这个两位数是275.某农场计划用长方形的铁丝网围成一个面积为150平方米的矩形牧场。已知铁丝网的长度是40米，求这个矩形牧场的长和宽。参考答案：这个矩形牧场的长为15米，宽为10米6.一个直角三角形的两条直角边的长分别是6厘米和8厘米，求这个直角三角形的斜边长。参考答案：这个直角三角形的斜边长是10厘米7.某城市计划修建一条长为20千米的道路，如果每天修建0.8千米，那么需要多少天才能完成修建任务？参考答案：需要25天才能完成修建任务8.一个水池的容积是50立方米，如果每小时流入2立方米的水，同时每小时流出1立方米的水，那么需要多少小时才能将水池注满？参考答案：需要25小时才能将水池注满标准答案与解析一、单项选择题1.参考答案：D解析：一个数的平方等于9，即x²=9。解这个方程得到x=±√9，即x=±3。因此，这个数是3或-3。选项A只给出了3，选项B只给出了-3，选项C只给出了9，都不全面。选项D正确地表示了x可以是3或-3。2.参考答案：B解析：一元二次方程的一般形式是ax²+bx+c=0，其中a≠0。选项A是二元一次方程，选项C是分式方程，选项D是二元二次方程，只有选项Bx²-4x=0符合一元二次方程的定义。3.参考答案：C解析：方程(x-1)²=4可以通过开平方来解。开平方得到x-1=±2。解得x=1±2，即x=3或x=-1。选项C正确地给出了这两个解。选项A只给出了x=3，选项B只给出了x=-3，选项D给出了x=5，这些都是错误的。4.参考答案：A解析：配方法是解一元二次方程的一种方法。对于方程x²-6x+5=0，我们需要将其配成(x-h)²=k的形式。首先，将常数项移到等式右边，得到x²-6x=-5。然后，在等式左边加上(-6/2)²=9，得到x²-6x+9=4。这样，左边就变成了(x-3)²。因此，正确的变形是(x-3)²=4。选项B、C、D的变形都是错误的。5.参考答案：D解析：一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)的根的情况由判别式Δ=b²-4ac决定。当Δ0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ0时，方程没有实数根。因此，根的情况与a,b,c的值有关。选项A、B、C的说法都是片面的，没有考虑到判别式的全部情况。6.参考答案：C解析：方程x²-kx+9=0有两个相等的实数根，意味着它的判别式Δ=(-k)²-4×1×9=k²-36必须等于0。解方程k²-36=0，得到k²=36，即k=±6。因此，k的值可以是6或-6。选项A、B、D只给出了k的一个值，不全面。7.参考答案：D解析：方程(x+2)²-4=0可以通过移项和开平方来解。首先，将常数项移到等式右边，得到(x+2)²=4。然后，开平方得到x+2=±2。解得x=-2±2，即x=0或x=-4。选项D正确地给出了这两个解。选项A、B、C只给出了x的一个值，这些都是错误的。8.参考答案：C解析：用公式法解一元二次方程2x²-4x-6=0首先需要计算判别式Δ=b²-4ac。这里a=2，b=-4，c=-6。所以Δ=(-4)²-4×2×(-6)=16+48=64。选项A、B、D的值都是错误的。9.参考答案：B解析：如果一元二次方程x²-mx+9=0的一个根是3，那么根据根与系数的关系，3是满足方程的。将x=3代入方程，得到3²-m×3+9=0，即9-3m+9=0。解这个方程得到-3m+18=0，即-3m=-18，所以m=6。选项A、C、D的值都是错误的。10.参考答案：A解析：一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)的根的情况由判别式Δ=b²-4ac决定。当Δ0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ0时，方程没有实数根。因此，选项A的说法是正确的。选项B、C、D的说法都是错误的。二、填空题1.参考答案：3解析：由题意知，方程x²-5x+6=0的一个根是2，根据一元二次方程的根与系数的关系，设另一个根为x₁，则有x₁+2=5，解得x₁=3。因此，方程的另一个根是3。2.参考答案：6解析：根据一元二次方程根的判别式，当方程有两个相等的实数根时，判别式Δ=b²-4ac=0。对于方程x²-kx+9=0，有Δ=(-k)²-4×1×9=k²-36。令Δ=0，解得k²=36，即k=±6。因此，当k=6或k=-6时，方程有两个相等的实数根。3.参考答案：有两个不相等的实数根解析：根据一元二次方程根的判别式，当Δ=b²-4ac0时，方程有两个不相等的实数根。对于方程2x²-4x-1=0，有Δ=(-4)²-4×2×(-1)=16+8=24。由于Δ=240，因此方程有两个不相等的实数根。4.参考答案：±2解析：设方程x²-mx+1=0的两个根为x₁和x₂，根据一元二次方程的根与系数的关系，有x₁+x₂=m，x₁x₂=1。根据题意，x₁²+x₂²=5，利用平方和公式，有(x₁+x₂)²-2x₁x₂=5，即m²-2=5，解得m²=7，即m=±√7。因此，m的值是±√7。5.参考答案：x²-2x-3=0解析：将方程(x-1)²=4展开得x²-2x+1=4，整理得x²-2x-3=0。因此，将方程(x-1)²=4化为一般形式的一元二次方程是x²-2x-3=0。6.参考答案：-1解析：根据题意，关于x的一元二次方程(m-1)x²+mx+1=0是一个一元一次方程，因此二次项系数必须为0，即m-1=0，解得m=1。因此，m的值是-1。7.参考答案：(x+3)²=4解析：用配方法解方程x²+6x+5=0，首先将方程变形为x²+6x=-5，然后在等式两边同时加上(6/2)²=9，得x²+6x+9=4，即(x+3)²=4。8.参考答案：49解析：一元二次方程3x²-5x-2=0的判别式Δ=b²-4ac=(-5)²-4×3×(-2)=25+24=49。因此，判别式Δ=49。9.参考答案：-1解析：根据一元二次方程的根与系数的关系，设方程x²+px+q=0的两个根为x₁和x₂，则有x₁+x₂=-p，x₁x₂=q。根据题意，x₁=-2，x₂=3，因此-2+3=-p，解得p=-1，q=-2×3=-6。因此，p+q=-1+(-6)=-7。10.参考答案：不变解析：当a≠0时，方程ax²+bx+c=0变为x²+bx/a+c/a=0，即x²+(b/a)x+(c/a)=0。由于方程的判别式Δ=b²-4ac不变，因此方程的根的变化情况也不变。三、判断题1.参考答案：×解析：方程2x^2-3x=0可分解为x(2x-3)=0，解得x1=0,x2=3/2。题干表述正确。2.参考答案：×解析：根据根的判别式，当判别式Δ0时，一元二次方程没有实数根。例如方程x^2+1=0就没有实数根。因此并非所有一元二次方程都有两个不相等的实数根。3.参考答案：√解析：根据一元二次方程的根与系数关系，若x1,x2是方程ax^2+bx+c=0的两个根，则x1+x2=-b/a。这是韦达定理的基本形式。4.参考答案：√解析：方程(x-1)^2=4可直接开平方，得到x-1=±2，解得x=1±2，即x1=3,x2=-1。题干表述正确。5.参考答案：×解析：方程3x^2-6x+2=0的判别式Δ=b^2-4ac=(-6)^2-4×3×2=36-24=12。题干说Δ=-6是错误的。6.参考答案：√解析：根据根的判别式，当Δ0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ0时，方程没有实数根。因此Δ0是方程有两个不相等实数根的充分条件。7.参考答案：×解析：考虑方程x^2-4x+4=0，它的根是x1=x2=2，都是正数，但首项系数a=1（正数）。再考虑方程-x^2+4x-4=0，它的根是x1=x2=2，也是正数，但首项系数a=-1（负数）。因此首项系数a不必为正。根为正数只与方程的常数项和判别式有关。8.参考答案：√解析：根据一元二次方程的根与系数关系，若x1,x2是方程x^2+px+q=0的两个根，则x1+x2=-p,x1x2=q。因此两根之积为q。9.参考答案：×解析：解一元二次方程的方法包括直接开平方法、配方法和公式法。配方法是重要方法，但不是唯一方法。对于某些方程，公式法或因式分解法可能更简便。例如方程x^2-2x-3=0，用因式分解法x^2-2x-3=(x-3)(x+1)=0更简单。10.参考答案：√解析：方程2x^2-8x+8=0的判别式Δ=b^2-4ac=(-8)^2-4×2×8=64-64=0。因为Δ=0，所以方程有两个相等的实数根，即图像与x轴有一个交点。题干说没有交点是错误的。四、简答题1.参考答案：一元二次方程的一般形式为ax^2+bx+c=0，其中a、b、c是常数，且a≠0。a称为二次项系数，b称为一次项系数，c称为常数项。解析：一元二次方程是只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程。其一般形式ax^2+bx+c=0中，a≠0是必须满足的条件，否则方程就退化为一元一次方程。a、b、c分别代表方程中x^2、x和常数项的系数，这是方程的基本结构。本题考查一元二次方程的定义和各项名称，属于基础知识点。2.参考答案：m≠1解析：由题意知，方程(m-1)x^2+3x+2=0是一元二次方程。根据一元二次方程的定义，二次项系数必须不为0，即m-1≠0。解得m≠1。因此，m的取值范围是所有不等于1的实数。本题考查一元二次方程的定义，需要学生掌握二次项系数不为0的条件。3.参考答案：一元二次方程的四种常用解法包括：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法。直接开平方法适用于形如x^2=a(a≥0)的方程；配方法适用于所有一元二次方程，是推导求根公式的依据；公式法适用于所有一元二次方程，可以直接代入求根公式计算；因式分解法适用于能分解为两个一次因式乘积的一元二次方程，比较简便。解析：解一元二次方程有多种方法，每种方法都有其适用范围。直接开平方法是最简单的方法，但只适用于特定形式的方程。配方法是所有解法的基础，通过配成完全平方形式可以推导出求根公式。公式法是万能方法，但计算量可能较大。因式分解法是最快捷的方法，但需要找到合适的分解形式。本题要求学生掌握各种解法的名称和适用情况，属于基础知识的综合应用。4.参考答案：若一元二次方程的两个根分别为x1和x2，则该方程可以表示为x^2-(x1+x2)x+x1x2=0。根据根与系数的关系，x1+x2=-b/a，x1x2=c/a。解析：根与系数的关系（韦达定理）是连接方程的系数与根的重要关系。如果一元二次方程ax^2+bx+c=0的两个根为x1和x2，那么x1+x2=-b/a，x1x2=c/a。根据这个关系，可以构造出以x1和x2为根的一元二次方程x^2-(x1+x2)x+x1x2=0。这个结论在解决与根有关的问题时非常有用。本题考查根与系数关系的应用，需要学生能够灵活运用。5.参考答案：k=4解析：一元二次方程x^2-4x+k=0有两个相等的实数根，根据根的判别式，Δ=b^2-4ac=0。将方程系数代入得Δ=(-4)^2-4×1×k=16-4k=0。解得k=4。因此，当k=4时，方程有两个相等的实数根。本题考查根的判别式的应用，需要学生掌握Δ=0时方程有两个相等实数根的条件。6.参考答案：判别式Δ=b^2-4ac在判断一元二次方程根的情况时所起的作用是：当Δ0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ0时，方程没有实数根（有两个共轭虚根）。Δ的符号决定了方程实数根的个数和性质。解析：判别式Δ=b^2-4ac是判断一元二次方程根的情况的重要工具。它通过方程的系数来预测根的性质。Δ0表示方程有两个不同的实根，Δ=0表示方程有两个相同的实根，Δ0表示方程没有实根。这个结论在解决各种与根有关的问题时非常有用。本题考查根的判别式的应用，需要学生掌握Δ与根的关系。7.参考答案：依据是：若ab=0，则a=0或b=0。在一元二次方程(x+1)(x-2)=0中，x+1和x-2是两个因式，它们的乘积为0。根据乘积为0的性质，可以得到x+1=0或x-2=0。解这两个一元一次方程，得到x=-1或x=2。这就是方程(x+1)(x-2)=0的两个根。因此，可以将一元二次方程转化为两个一元一次方程求解。解析：因式分解法是解一元二次方程的重要方法，其依据是乘法分配律的逆运算。对于形如(x-a)(x-b)=0的方程，根据乘积为0的性质，可以得到x-a=0或x-b=0。这种方法将一个二次方程转化为两个一次方程，简化了求解过程。本题考查因式分解法解一元二次方程的依据，需要学生理解乘积为0的性质。8.参考答案：另一个根是3，p=-6，q=9。解析：设方程x^2+px+q=0的两个根为x1和x2，已知其中一个根是-3，则另一个根x2=-q/p。根据根与系数的关系，x1+x2=-p，x1x2=q。将x1=-3代入，得到-3+x2=-p，-3x2=q。解这个方程组，得到x2=3，p=-(-3+3)=-6，q=-3×3=-9。因此，另一个根是3，p=-6，