2025-2026学年江苏省宜兴市第二高级中学高一（下）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年江苏省宜兴市第二高级中学高一（下）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.复数5i−2的共轭复数是(

)A.i+2 B.−2+i C.−2−i D.2−i2.已知向量a、b满足a⋅b=−3，且|b|=2，则向量A.−34b B.−32b3.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c=2，b=2，C=π6，则角BA.π4 B.π3 C.π4或3π4 4.如图，四边形ABCD的斜二测画法的直观图为等腰梯形A′B′C′D′，已知A′B′=4，C′D′=2，则平面图形ABCD中BC的长度为(

)A.22

B.23

C.5.位于灯塔A处正西方相距15海里的B处有一艘甲船，需要海上加油，位于灯塔A处北偏东45°方向有一与灯塔A相距52海里的C处有一艘乙船，则乙船前往支援B处甲船需要航行的距离是(

)A.55海里 B.517海里 C.46.下列命题中错误的是(

)A.如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β

B.如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β

C.如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β

D.如果平面α⊥平面γ，平面γ⊥平面β，α∩β=l，则l⊥γ7.如图，在四边形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，已知|AB|=2，|CD|=3，则EFA.52

B.−52

C.198.明代墩式碗是永乐宣德年间青花瓷器的典范.如图所示的明代墩式碗，其内壁可以近似看作一个半径为10cm的半球面.现将碗平放于水平桌面上，在碗中注入少量水，静止时水面的面积为50πcm2，若将碗缓慢倾斜，使得水可以从碗口倒出，则至少需要将碗倾斜的角度为(

)A.30° B.45° C.60° D.75°二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.为了实现教育资源的均衡化，某地决定派遣480名教师志愿者(480名教师情况如图)轮流支援当地的教育工作.若第一批志愿者采用分层抽样的方法随机派遣150名教师，则(

)A.派遣的青年男、女教师的人数之和与老年教师的人数相同

B.派遣的青年女教师的人数占派遣人员总数的10%

C.派遣的老年教师有144人

D.派遣的青年女教师有15人10.有下列说法，其中错误的说法为(

)A.λ、μ为实数，若λa=μb，则a与b共线

B.若a//b、b//c，则a//c

C.两个非零向量a、b，若|a−b|=|a+b|，则a与b垂直

11.如图，AC为圆锥SO底面圆O的直径，点B是圆O上异于A、C的动点，SO=2，OC=2，则下列结论正确的是(

)A.圆锥SO的侧面积为23π

B.三棱锥S−ABC体积的最大值为4

C.圆锥SO外接球的表面积为9π

D.若AB=BC，E为线段AB上的动点，则SE+CE三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知复数(m2−5m+6)+(m2−3m)i是纯虚数，则实数13.如图，四边形ABCD是直角梯形，其中AB=1，CD=2，AD⊥DC，O是AD的中点，以AD为直径的半圆O与BC相切于点P．APD与梯形ABCD以AD为旋转轴旋转一周，可以分别得到一个球和一个圆台，则该圆台的体积与球的体积之比为

．

14.在△ABC中，D，E在BC上，BD=DE=EC，|AD|=233，AD与AE四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知向量，a=(−1,2),|b|=25．

(1)若a/​/b，求b的坐标；

(2)若16.(本小题15分)

如图，三棱锥P−ABC中，∠ACB=90°，PA⊥底面ABC．

(I)求证：平面PAC⊥平面PBC；

(II)若AC=BC=PA，M是PB的中点，求AM与平面PBC所成角的正切值．17.(本小题15分)

已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，且3(a2+c2−b2)=4S．

(1)求角B的大小；

(2)若a+c=4，S=32，求b的值；

(3)若18.(本小题17分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，△PAD和△BAD均为正三角形，AD⊥DC，DC=3，AB=2，M为PC上一点．

(1)求证：AD//面PBC；

(2)当PA//平面DMB时，面DAM与PB交于Q，

(ⅰ)求PQQB的值；

(ⅱ)求19.(本小题17分)

在△ABC中，记角A，B，C所对的边分别为a，b，c，acosC+3asinC−b−2c=0，AD为BC边上的中线．

(1)求角A；

(2)若sinBsinC=23，求tan∠BAD；

(3)若E在边AB上，且BE=2EA=2，AD与CE交于点1.【答案】B

2.【答案】A

3.【答案】C

4.【答案】B

5.【答案】B

6.【答案】A

7.【答案】B

8.【答案】B

9.【答案】ABD

10.【答案】AB

11.【答案】ACD

12.【答案】2

13.【答案】7：4

14.【答案】112415.【答案】解：(1)a//b，a=(−1,2)，

则可设b=(−λ,2λ)，

|b|=25，

则(−λ)2+(2λ)2=20，解得λ=2或−2，

故b=(−2,4)或(2,−4)．

(2)a=(−1,2)，

则|a|=5，

(516.【答案】(I)证明：∵PA⊥底面ABC，∴BC⊥PA．

∵∠ACB=90°，∴BC⊥AC．

∵PA∩AC=A，∴BC⊥平面PAC，

∵BC⊂平面PBC，

∴平面PAC⊥平面PBC；

(II)解：取PC中点D，连接AD．

∵AC=PA，∴AD⊥PC，

∵平面PAC⊥平面PBC，

平面PAC∩平面PBC=PC，

∴AD⊥平面PBC，

连接DM，则∠AMD就是AM与平面PBC所成角．

设AC=BC=PA=a，则AD=a2，AM=3a2，∴DM=a2，

∴tan17.【答案】解：(1)已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，

△ABC的面积为S，且3(a2+c2−b2)=4S，

根据余弦定理和三角形的面积公式可得3⋅2accosB=4⋅12acsinB⇒tanB=3，

又

B∈(0,π)，故B=π3；

(2)由S=12acsinB=34ac=32，得ac=2，

又a+c=4，则(a+c)2=a2+c2+2ac=42⇒a2+18.【答案】证明见解析；

(ⅰ)2；(ⅱ)2319.【答案】解：(1)因为acosC+3asinC−b−2c=0，

根据正弦定理，可得sinAcosC+3sinAsinC=sinB+2sinC，

又sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC，

所以3sinAsinC=cosAsinC+2sinC．

因为C为三角形内角，所以sinC≠0，

所以3sinA−cosA=2，

所以2sin(A−π6)=2，

又A为三