第一章 勾股定理 单元测试卷 （含答案） 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

第一章勾股定理单元测试卷考试用时120分钟,满分120分学校姓名学号得分班级一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)1.如图，两个较小正方形的面积分别为9，16，则字母A所代表的正方形的面积为()A.5 B.10 C.15 D.252.下列各组数中，不是勾股数的是()A.3,4,5 B.5,12,13 C.12,15,18 D.7,24,253.如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形拼接而成.若AB=17，AH=8,则正方形EFGH的边长是()A.5 B.6 C.7 D.84.如图，在4×4的正方形网格中，△ABC的顶点都在格点上，下列结论错误的是()A.AB=5 B.∠C=90° C.AC5.已知直角三角形的两条边长分别是3和5，那么这个三角形的第三条边长的平方为()A.16 B.256 C.34 D.16或346.如图，在水塔O的东北方向32m处有一抽水站A，在水塔O的东南方向24m处有一建筑工地B，在抽水站A和建筑工地B之间建一条直水管，则水管的长为()A.45m B.40m C.50m D.56m7.如图,在长方形ABCD中,AB=3cm,AD=9cm,将此长方形折叠,使点B与点D重合,折痕为EF,则△ABE的面积为()A.3cm² B.4cm² C.6cm² D.12cm²8.在△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别记为a,b,c.下列条件中,不能判断△ABC是直角三角形的是()A.∠A=∠B=∠C BC.∠A+∠B=∠C D.a:b:c=3:4:59.勾股定理的验证方法很多，用面积(拼图)证明是最常见的一种方法.一个直立的长方体在桌面上慢慢地倒下，其示意图如图所示，启发人们想到勾股定理的证明方法.设AB=c，BC=a，AC=b，证明中用到的面积相等关系是()A.BCD10.由于大风，山坡上的一棵树甲从A点处被拦腰折断，如图所示，其树顶端恰好落在另一棵树乙的根部C处，已知AB=4米，BC=13米，两棵树的水平距离为12米，这棵树原来的高度是()A.12米 B.13米C.15米 D.19米二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)11.若边长为a的正方形的面积等于长为b+c，宽为b-c的长方形的面积，则以a，b，c为三边长的三角形是三角形.12.如图，有一圆柱，它的高为8cm，底面直径为4cm，在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面与A点相对的B点处的食物，沿圆柱侧面需要爬行的最短路程大约是(π取3).13.如图，在一棵树上10米高的B处有两只猴子.为抢吃池塘边的水果，一只猴子爬下树跑到A处(离树20米)的池塘边，另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算.若两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高米.14.定义：若一个直角三角形的两条直角边a和b满足a3=b15.如图，在直线l上依次摆放着7个正方形，已知斜放置的3个正方形的面积分别为1，1.21，1.44，正放置的4个正方形的面积分别为S₁，S₂，S₃，S₄，则S三、解答题(一)(本大题共3小题，每小题7分，共21分)16.如图，已知直角三角形一直角边a=8cm，斜边c=17cm，求这个直角三角形的周长.17.如图,在Rt△ABC中，18.如图是一个滑梯示意图，若将滑梯AC水平放置，则刚好与AB一样长，已知滑梯的高度CE=5m,BE=1四、解答题(二)(本大题共3小题，每小题9分，共27分)19.某学校有一块如图所示的三角形空地ABC，计划将这块空地建成一个花园，以美化校园环境，预计花园每平方米的造价为30元，那么学校修建这个花园需要投资多少元?20.如图，某校高17m的教学楼AB楼顶上有一块高5m的校训宣传牌AC.为安全起见，对校训宣传牌AC进行维护.一辆高2m的工程车在教学楼前点M处，伸长25m的云梯(云梯的最大长度为25m)刚好接触到AC的底部点A处.问工程车向教学楼方向行驶多少米，长25m的云梯刚好接触到AC的顶部点C处?21.综合与实践.【问题情境】数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为5，3，1，A和B是一个台阶两个相对的端点.【探究实践】老师让同学们探究：如图1，若点A处有一只蚂蚁要到B点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶爬到点B的最短路程是多少?(1)同学们经过思考得到如下解题方法：如图2，将三级台阶展开成平面图形，连接AB，经过计算得到AB长度即为最短路程，则AB=(直接写出答案)；【变式探究】(2)如图3，一只圆柱体玻璃杯，若该玻璃杯的底面周长是48厘米，高是7厘米，一只蚂蚁从点A出发沿着玻璃杯的侧面到上底面与点A相对的点B，求该蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米?【拓展应用】(3)如图4，若圆柱体玻璃杯的高是10厘米，底面周长是24厘米，在杯内壁离杯底2厘米的点A处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在外壁，离杯上沿1厘米，且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁从外壁点B处到内壁点A处所爬行的最短路程是多少厘米?(杯壁厚度不计)五、解答题(三)(本大题共2小题,第22题13分,第23题14分,共27分)22.用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度之间关系的有关问题，这种方法称为等面积法，这是一种重要的数学方法，请你用等面积法来探究下列三个问题：(1)如图1是著名的“赵爽弦图”，由四个全等的直角三角形拼成，请用它验证勾股定理c(2)如图2,在Rt△ABC中，(3)如图1，若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，求a+23.【问题背景】著名的赵爽弦图(如图1，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c)，大正方形的面积可以表示为c²，也可以表示为4×12ab【结论探究】(1)图2为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图2推导勾股定理；【结论应用】(2)如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，AB=AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H(点A，H，B在同一条直线上)，并新修一条路CH，且CH⊥AB于点H.测得CH=0.8千米，BH=0.6千米，求新路CH比原路AC少多少千米?【问题拓展】(3)在△ABC中,AC=10,BC=17,AB=21,CH⊥AB,垂足为点H,请用勾股定理求出CH的值.第一章《勾股定理》单元测试卷1.D2.C3.C4.D5.D6.B7.C8.A9.B10.D11.直角12.10cm13.1514.1015.2.4416.解:在直角三角形中,∵a=8cm,c=17cm,∴b∴直角三角形的周长为8+15+17=40(cm).17.解:如图,连接BE,∵AB的中垂线分别交AB,AC于点D,E,∴AE=BE.∵在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=12,BC=9,设AE=x,则BE=x,EC=AC-AE=12-x,∴x2=∴18.解：设滑梯的水平距离AE的长为xm，∵AC=AB,EB=CD=1m,∴AB=AC=(x+1)m,在Rt△ACE中，由勾股定理得A即x+1答：滑梯的水平距离AE的长为12m.19.解:如图,过点A作AD⊥BC于点D,设BD=x,则CD=14-x,在Rt△ABD与Rt△ACD中,∵∴即1解得x=5,∴∴AD=12(米),∴学校修建这个花园的费用=30×1答：学校修建这个花园需要投资2520元.20.解:如图,过点D作DE⊥AB交AB于点E,则点D,D',E在同一直线上，由题意,得AE=AB-BE=17-2=15(m),CE=AE+AC=15+5=20(m),在Rt△AED中，由勾股定理得DE在Rt△CED'中,由勾股定理得D'E答：工程车向教学楼方向行驶5米，长25m的云梯刚好接触到AC的顶部点C处.21.解:(1)13(2)如图1，将圆柱体侧面展开，由题意得AC=∴在Rt△ABC中,由勾股定理得AB∴AB=25cm,∴该蚂蚁爬行的最短路程是25厘米.(3)如图2，将玻璃杯侧面展开，作点B关于EF的对称点B',作B'D⊥AE,交AE延长线于点D,连接AB',由题意得DE=∴AD=8+1=9(cm),∵底面周长为24cm,∴.∴在Rt△AB'D中,由勾股定理得AB'2∴由两点之间线段最短可知，蚂蚁从外壁点B处到内壁点A处所爬行的最短路程是15厘米.22.解：(1)大正方形的面积=c2=4×(2)∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=3,∴AB²=AC²+BC²=25.∴AB=5,∵∴(3)∵大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，∴∵∴a+b223.解:(1)∵梯形ABCD的面积可表示为12a也可以表示为1∴12ab(2)设AB=