2026-2027学年广东省东莞市众美中学高三（上）第一次月考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2026-2027学年广东省东莞市众美中学高三（上）第一次月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.(1+5i)i的虚部为(

)A.−1 B.5 C.1 D.−52.下列函数中，在区间(0,+∞)上单调递增的是(

)A.f(x)=−lnx B.f(x)=12x C.f(x)=−3.设x∈R，则“x−3x+1≤0”是“|x−1|≤2”的(

)A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.已知平面向量a=(−2,x)，b=(−1,1)，若a⊥b，则a+bA.23 B.223 5.甲、乙、丙三人相互做传球训练，由甲开始传球，传球者每次传球时都将球传给另夕两个人中的一个人.经过4次传球后球在甲手中，则不同的传递方式共有(

)A.6种 B.8种 C.10种 D.16种6.已知函数f(x)=x+1,x<02x−2−x+1,x≥0，则满足A.(−∞,2) B.(−∞,1) C.(−1,+∞) D.(−2,+∞)7.甲箱中有2个白球和4个黑球，乙箱中有4个白球和2个黑球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，以A1，A2分别表示由甲箱中取出的是白球和黑球；再从乙箱中随机取出一球，以B表示从乙箱中取出的是白球，则下列结论错误的是(

)A.A1，A2互斥 B.P(B|A1)=58.在△ABC中，AC=3，BC=4，∠C=90°.P为△ABC所在平面内的动点，且PC=1，则PA⋅PB的取值范围是(

)A.[−5,3] B.[−3,5] C.[−6,4] D.[−4,6]二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列说法正确的有(

)A.设a，b∈R，则“a≠0”是“ab≠0”必要不充分条件

B.若2<a<5，3<b<10，则−18<a−2b<−1

C.当x>1时，x+1x−1的最小值是2

D.若p：∃n∈N，n2>2n10.已知(3x−13)n=a0+A.n=11 B.展开式的二项式系数和为212

C.展开式的各项系数和为(8311.函数f(x)=x+1x,x<03xex,x≥0，关于A.函数f(x)的值域为(−∞,3e]

B.函数f(x)的单调减区间为(−1,0)，(1,+∞)

C.当m=12时，则方程有6个不相等的实数根

D.若方程有三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知集合A={x|x2<3x}，B={x|x>2}，则A∪B=

13.设正实数x，y满足4x+y=xy，则x+y的最小值是

．14.如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D，E，F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D，E，F重合，得到三棱锥.当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积(单位：cm3)的最大值为

．

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

随着时代和科技的进步，人工智能在生产领域中越来越重要，某研究团队在商业运营数据分析中，收集了某商家一段时间内投入人工智能的费用与对应产品销量数据如下表，将投入经费(单位：万元)作为解释变量x，销售量(单位：万件)作为响应变量y，已知x与y之间呈现出线性相关关系，y−=8.4，x(投入经费)12345y(销售量)3mn1115(1)求m，n的值以及y关于x的经验回归方程y​=b​x+a​；

(2)从上述5组数据(xi,yi16.(本小题15分)

如图，在三棱锥A−BCD中，点E在BD上，AE⊥CE，AE⊥DE，CD⊥AD．

(1)证明：平面ACD⊥平面ABD；

(2)若DE=2，BE=1，AE=2，CD=23，求平面ABC与平面ACD夹角的余弦值．17.(本小题15分)

如图，在六面体ABCDMN中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠DAB=60°，DM⊥平面ABCD，DM/​/CN，CN=2DM，P是BC的中点．

(1)证明：DP/​/平面BMN；

(2)若直线DP与平面ABM所成角的正弦值为24，求DM18.(本小题17分)

设二次函数f(x)=ax2+(b−2)x+3(a,b∈R)．

(1)若f(1)=2a+6且a<1，解不等式f(x)≤0(结果用含字母a的集合表示)；

(2)若a>0，b=−1且存在m<n<32a，使得f(x)在区间[m,n]上的值域也为19.(本小题17分)

每年夏天都有大量游客来海边游玩.为了合理配置旅游资源，文旅部门对来游玩的游客进行了问卷调查，据统计，其中25的人选择只游览海滨栈道，另外35的人选择既游览海滨栈道又到海滨公园游玩.每位游客若选择只游览海滨栈道，则记1分；若选择既游览海滨栈道又到海滨公园游玩，则记2分.假设游客之间的旅游选择意愿相互独立，视频率为概率．

(1)从游客中随机抽取2人，记这2人的合计得分为X，求X的分布列和数学期望；

(2)从游客中随机抽取n个人(n∈N∗)，记这n个人的合计得分恰为n+1分的概率为pn，求i=1npi；

(3)从游客中随机抽取若干人，记这些人的合计得分恰为n分1.【答案】C

2.【答案】C

3.【答案】A

4.【答案】C

5.【答案】A

6.【答案】A

7.【答案】C

8.【答案】D

9.【答案】ABD

10.【答案】AD

11.【答案】ACD

12.【答案】(0,+∞)

13.【答案】9

14.【答案】415.【答案】解：(1)由y−=3+m+n+11+155=8.4，得m+n=13，

由i=15xiyi=3+2m+3n+44+75=156，得2m+3n=34，

联立m+n=132m+3n=34，解得m=5n=8，

x−=1+2+3+4+55=3，i=15xi2=12+22+32+42+52=55，

则b=i=15(xi−x−)(yi−X012P331所以E(X)=0×31016.【答案】解：(1)证明：因为AE⊥CE，AE⊥DE，DE，CE⊂平面CDE，DE∩CE=E，

所以AE⊥平面CDE，而CD⊂平面CDE，

则AE⊥CD，

因为CD⊥AD，AE∩AD=A，AE，AD⊂平面ABD，

所以CD⊥平面ABD，

因为CD⊂平面ACD，所以平面ACD⊥平面ABD．

(2)如图，在平面BCD内过点E作EQ//CD交BC于点Q，

以E为原点，EQ为x轴，ED为y轴，EA为z轴建立如图所示空间直角坐标系，

由题意得DE=2，BE=1，AE=2，CD=23，

则D(0,2,0)，B(0,−1,0)，A(0,0,2)，E(0,0,0)，C(23,2,0)，

由题意得AC=(23,2,−2)，AD=(0,2,−2)，

设平面ACD的法向量为m=(x,y,z)，

可得AC⋅m=23x+2y−2z=0AD⋅m=2y−2z=0，取y=1，得x=0，z=1，

所以平面ACD的一个法向量为m=(0,1,1)，

由题意得AB=(0,−1,−2)，AC=(23,2,−2)，

设平面ABC的法向量为s=(a,b,c)，

可得AC⋅s=23a+2b−2c=0AB17.【答案】取BN的中点Q，连接MQ，PQ，

因为P为BC的中点，

所以PQ/​/CN，且PQ=12CN，

又DM/​/CN，CN=2DM，

所以DM//PQ，DM=PQ，

所以四边形DMQP是平行四边形，

所以DP//MQ，

而DP⊄平面BMN，MQ⊂平面BMN，

所以DP/​/平面BMN18.【答案】解：(1)由f(1)=a+b−2+3=a+b+1=2a+6，则b=a+5，

所以f(x)=ax2+(a+3)x+3=(x+1)(ax+3)≤0，

当a<0时，−3a>−1，解得x≤−1或x≥−3a，

当0<a<1时，−3a<−1，解得−3a≤x≤−1，

故当a<0时，不等式的解集为{x|x≤−1或x≥−3a}；

当0<a<1时，不等式的解集为{