2026-2027学年河北衡水中学高二（上）第一次月考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2026-2027学年河北衡水中学高二（上）第一次月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知向量a=(3,−3)是直线l的一个方向向量，则直线lA.30° B.60° C.120° D.150°2.已知直线l1：ax−(a−6)y+2=0，直线l2：x+ay+1=0.若l1//lA.−3 B.−2 C.2 D.2或−33.若向量p在基底{a,b,c}下的坐标为(2,4,3)，则pA.(−1,3,3) B.(3,−1,3) C.(−3,1,3) D.(1,−3,3)4.空间内有三点P(−1,2,3)，E(2,1,1)，F(1,2,2)，则点P到直线EF的距离为(

)A.2 B.3 C.25.已知点A(−1,1)、B(1,2)、C(0,−1)，过点C的直线l与线段AB有公共点，则直线l斜率k的取值范围是(

)A.[−2,3] B.[−2,0)∪(0,3]

C.(−∞,−2]∪[3,+∞) D.以上都不对6.如图，二面角α−l−β的平面角的大小为34π，A，B是棱l上的两点，AC⊥l，BD⊥l，且AB=AC=2，BD=22，则A.22

B.23

C.7.在空间直角坐标系Oxyz中，定义：经过点P(x0,y0,z0)且一个方向向量为m=(a,b,c)(abc≠0)的直线l方程为x−x0a=y−y0b=z−z0c，经过点P(x0,A.16 B.15 C.568.若圆(x+1)2+(y−2)2=1上存在两个不同的点M，N，直线4x+3y+t=0上存在一点P，使得∠MPN=60°A.[−12,8] B.(−∞,−12]∪[8,+∞)

C.[−16,4] D.(−∞,−16]∪[4,+∞)二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列四个命题中真命题有(

)A.直线y=x−2在y轴上的截距为−2

B.经过定点A(0,2)的直线都可以用方程y=kx+2表示

C.直线6x+my+14=0(m∈R)必过定点

D.已知直线3x+4y+9=0与直线6x+my+14=0平行，则平行线间的距离是110.在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点P满足BP=λA.若λ+u=1，则AP/​/面A1C1D

B.若λ+u=1，则AP⊥BC1

C.若λ=μ=12，则P到平面A1BD的距离为233

11.过直线2x+y−1=0上一点P作圆C：(x+2)2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，已知点QA.|PQ|的最小值是5−1

B.tan∠QPC的最大值是12

C.四边形PACB面积的最小值为23

D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.经过点M(6,3)且在两坐标轴上截距相等的直线是

．13.已知圆C：(x−8)2+(y−6)2=1，A(−m,0)，B(m,0)，若圆C上存在点P使∠APB=π214.对于两个空间向量a=(x1,y1,z1)与b=(x2,y2,z2)，我们定义它们之间的曼哈顿距离为d(a,b四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知圆C：(x−2)2+(y−3)2=1．

(1)过点P(3,5)作圆C的切线l，求l的方程；

(2)已知直线AB：x+2y−7=0，判断直线AB与圆C16.(本小题15分)

已知直线l：(a−1)y=(2a−3)x+1．

(1)求证：直线l过定点；

(2)若P(2,1)到直线l的距离最大，求a的值；

(3)若直线l与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求l的方程．17.(本小题15分)

在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，∠A1AD=∠BAD=∠A1AB=60°，AB=AD=1，AA1=2，E为A1C1与B1D1的交点．

(1)用向量18.(本小题17分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，PD⊥平面ABCD，AD⊥DC，AB//DC，AB=12CD=AD=1，PD=1，M为棱PC的中点．

(1)证明：BM/​/平面PAD；

(2)求二面角P−BM−D的余弦值；

(3)在棱PA上是否存在点Q，使得点Q到平面BDM的距离是519.(本小题17分)

定义：M是圆C上一动点，N是圆C外一点，记|MN|的最大值为m，|MN|的最小值为n，若m=3n，则称N为圆C的“伴随点”；若G同时是圆E和圆F的“伴随点”，则称G为圆“E−F”的“共生点”.已知圆A：(x−1)2+(y+1)2=32，P为圆A的“伴随点”．

(1)求点P所在曲线的方程；

(2)已知圆B：(x+2)2+(y−2)2=3，P，Q均为圆“A−B”的“共生点”．

(i)求直线PQ的方程；

(ii)若圆H是以线段PQ为直径的圆，过点I(1,0)且斜率不为0的直线l与圆H交于J1.【答案】C

2.【答案】A

3.【答案】A

4.【答案】A

5.【答案】C

6.【答案】D

7.【答案】A

8.【答案】A

9.【答案】AC

10.【答案】ACD

11.【答案】ABD

12.【答案】x+y−9=0或x−2y=0

13.【答案】[9,11]

14.【答案】215.【答案】解：(1)因为圆C：(x−2)2+(y−3)2=1，因此半径为1，圆心为C(2,3)，

由(3−2)2+(5−3)2=5>1，点P(3,5)在圆C外．

因此当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=3，此时圆心C到直线l的距离为1，即直线l与圆相切；

当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y−5=k(x−3)，即kx−y−3k+5=0，

此时圆心C(2,3)到直线l的距离d=|2k−3−3k+5|k2+1=|2−k|k2+1=1，解得k=34，

因此直线l的方程为y−5=34(x−3)，即3x−4y+11=0．

综上所述，直线l的方程为x=3或3x−4y+11=0．

(2)直线AB与圆C相交，理由如下：16.【答案】解：(1)证明：由直线l：(a−1)y=(2a−3)x+1整理可得：

ay−2ax−y+3x−1=0，即a(y−2x)+(−y+3x−1)=0，

则由y−2x=0−y+3x−1=0，即x=1y=2，

故直线l过定点Q(1,2)；

(2)当动直线l满足定点Q(1,2)与直线外点P(2,1)的连线垂直于l时，P(2,1)到直线l的距离最大，

因为kPQ=2−11−2=−1，则kl=1；

因为l：(a−1)y=(2a−3)x+1，

故kl=2a−3a−1=1，

解得a=2；

(3)由l：(a−1)y=(2a−3)x+1可得：

当x=0时，y=1a−1；当y=0时，x=−12a−3；

因为直线与坐标轴交于正半轴，

故−12a−3>01a−1>0，解得1<a<32；

此时三角形面积为S=17.【答案】解：(1)在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，∠A1AD=∠BAD=∠A1AB=60°，

AB=AD=1，AA1=2，E为A1C1与B1D1的交点，

∴由空间向量线性运算法则得：

AE=AA1+12A1C1=AA1+12AC=AA1+118.【答案】证明：取PD的中点E，连接AE，ME，可得EM//CD，且EM=12CD，

AB//DC，AB=12CD，可得四边形ABME为平行四边形，

所以BM//AE，

又因为AE⊂平面PAD，BM⊄平面PAD，

所以BM/​/平面PAD

23

在棱PA上存在点Q，使得点Q19.【答案】解：(1)易知圆A：(x−1)2+(y+1)2=32的圆心为A(1,−1)，半径为62，

因为点P为圆A的“伴随点”，所以|PA|+62=3(|PA|−62)，

可得|PA|=6，

因此点P的轨迹是以A为圆心，6为半径的圆，

故点P所在曲线的方程为(x−1)2+(y+1)2=6．

(2)(i)易知圆B：(x+2)2+(y−2)2=3的圆心为B(−2,2)，半径为3，

因为点P为圆B的“伴随点”，所以|PB|+3=3(|PB|−3)，

可得|PB|=23，

因此点P的轨迹是以B为圆心，23为半径的圆，

所以点P所在曲线的方程为(x+2)2+(y−2)2=12；

可得点P为圆(x−1)2+(y+1)2=6与圆(x+2)2+(y−2)2=12的交点；

因为P，Q均为圆“A−B”的“共生点”，

所以直线PQ的方程即为圆(x−1)2+(y+1)2=6与圆(x+2)2+(y−2)2=12的公共弦所在直线，

两