高三数学一轮复习第二章函数与基本初等函数第8讲函数的奇偶性、周期性课件

第8讲函数的奇偶性、周期性第二章

函数与基本初等函数课程标准1.结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义.

2.会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性.

3.结合三角函数，了解周期性的概念和几何意义，会判断、应用简单函数的周期性解决问题.教材梳理夯实基础1.函数的奇偶性奇偶性偶函数奇函数前提函数定义域关于原点对称定义一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有－x∈D，且______________，那么函数f(x)就叫做偶函数一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有－x∈D，且________________，那么函数f(x)就叫做奇函数图象特点关于_____对称关于______对称等价形式f(－x)＝f(x)f(－x)＝－f(x)y轴原点2.函数的周期性(1)周期函数：设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D，都有x＋T∈D，且______________，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期；(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个______的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.f(x＋T)＝f(x)最小常用结论1.函数奇偶性的常用结论(1)如果函数f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，那么f(0)＝0.如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(｜x｜).(2)单调性与奇偶性的关系.奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性，即奇增增或奇减减；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性，即偶增减或偶减增.(3)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇.(4)[教材知识纵向延伸]若y＝f(x＋a)是奇函数，则f(－x＋a)＝－f(x＋a)；若y＝f(x＋a)是偶函数，则f(－x＋a)＝f(x＋a).

自测诊断1.(多选)下列结论错误的是A.若函数f(x)为奇函数，则f(0)＝0B.不存在既是奇函数，又是偶函数的函数C.对于函数y＝f(x)，若存在x，使f(－x)＝－f(x)，则函数y＝f(x)一定是奇函数D.若T是函数f(x)的一个周期，则kT(k∈N*)也是函数的一个周期√√√根据奇函数的定义知奇函数满足f(－x)＝－f(x)，且定义域关于原点对称，A选项为奇函数；B选项为偶函数；C选项为偶函数；D选项既不是奇函数，也不是偶函数.

√偶函数f(x)在区间[－2，－1]上单调递减，由偶函数的图象关于y轴对称，则有f(x)在[1，2]上单调递增，即有最小值为f(1)，最大值为f(2).故A正确.故选A.3.(链接人教A必修一P101T9)若偶函数f(x)在区间[－2，－1]上单调递减，则函数f(x)在区间[1，2]上A.单调递增，且有最小值f(1)B.单调递增，且有最大值f(1)C.单调递减，且有最小值f(2)D.单调递减，且有最大值f(2)√因为f(x＋3)＝f(x)，所以f(x)是以3为周期的周期函数，所以f(2

026)＝f(675×3＋1)＝f(1)＝5.4.(链接人教A必修一P203练习T4)已知函数f(x)满足f(x＋3)＝f(x)，当x∈[0，2]时，f(x)＝x2＋4，则f(2026)＝____.5返回考点探究

能力提升考点一函数奇偶性的判断

自主练透对于A、D，其定义域不关于原点对称，故其为非奇非偶函数；对于B，当x＝－1时，y＝0，而当x＝1时，函数无意义，故B也是非奇非偶函数；对于C，令y＝f(x)＝0，无论x取何值都满足f(－x)＝f(x)＝0.故选C.

√

√√3.(多选)已知f(x)是定义在R上的函数，下列结论正确的有A.若恒有f(x2)＝－f(－x2)，则f(x)是奇函数B.若恒有2f(x＋y)f(x－y)＝f(x)＋f(y)，且f(0)≠0，则y＝f(x)为奇函数C.若恒有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，则f(x)为偶函数D.若恒有f(xy)＝yf(x)＋xf(y)，则f(x)是奇函数√√对于A，若∀t∈R，当t＞0时，令t＝x2.因为f(x2)＝－f(－x2)，所以f(t)＝－f(－t)，即f(－t)＝－f(t)；当t＝0时，令t＝x2＝0.因为f(x2)＝－f(－x2)，所以f(0)＝－f(－0)，即f(0)＝0；当t＜0时，令t＝－x2，因为f(x2)＝－f(－x2)，所以f(－t)＝－f(t)，综上，∀t∈R，f(－t)＝－f(t)，所以f(x)是奇函数，故A正确；对于B，在2f(x＋y)f(x－y)＝f(x)＋f(y)中，令x＝y＝0，得2[f(0)]2＝2f(0)，因为f(0)≠0，所以f(0)＝1，显然不符合f(－x)＝－f(x)，故B错误；对于C，令x＝y＝0，则f(0)＋f(0)＝f(0)，所以f(0)＝0，令y＝－x，则f(x)＋f(－x)＝f(0)＝0，所以f(－x)＝－f(x)，即f(x)为奇函数，故C错误；对于D，对任意x，y∈R，总有f(xy)＝yf(x)＋xf(y)，令x＝y＝0得f(0)＝0；令x＝y＝1得f(1)＝f(1)＋f(1)，所以f(1)＝0；令x＝y＝－1得f(1)＝－f(－1)－f(－1)，所以f(－1)＝0；令y＝－1得f(－x)＝－f(x)＋xf(－1)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数，故D正确.故选AD.

解：f(x)的定义域是{－1，1}，关于原点对称.又f(－1)＝f(1)＝0，f(－1)＝－f(1)＝0，所以f(x)既是奇函数又是偶函数.

解：法一(定义法)：f(x)的定义域是{x｜x≠0}，关于原点对称.当x＞0时，－x＜0，f(－x)＝(－x)2＋2(－x)－1＝x2－2x－1＝－f(x)；当x＜0时，－x＞0，f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＋1＝－x2－2x＋1＝－f(x)，所以f(x)是奇函数.法二(图象法)：如图，作出函数f(x)的图象，由奇函数的图象关于原点对称的特征知函数f(x)是奇函数.1.判断函数奇偶性的方法(1)定义法；(2)图象法；(3)性质法.2.判断函数的奇偶性的关键点(1)定义域关于原点对称，否则即为非奇非偶函数.(2)判断f(x)与f(－x)的关系，在判断奇偶性的运算中，可以判断f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数)是否成立.规律方法考点二函数奇偶性的应用

多维探究

典例1

√溯源教材4溯源透视√透视

预测(1)若函数y＝(2x－m·2－x)x5是R上的偶函数，则实数m＝____.1解析：设f(x)＝(2x－m·2－x)x5，若该函数为R上的偶函数，则对任意的x∈R，f(－x)＝f(x)，即(2－x－m·2x)·(－x)5＝(2x－m·2－x)·x5，整理可得2－x＋2x－m(2x＋2－x)＝(1－m)(2x＋2－x)＝0，所以1－m＝0，解得m＝1.

－1

2

典例2√

－x

－4054

典例3√

规律方法

规律方法

√

√考点三函数的周期性

师生共研

典例4

√(2)函数f(x)满足f(x)f(x＋2)＝13，且f(0)＝2，则f(2026)＝____.

函数周期性的判定及应用1.求解与函数周期有关的问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期.2.利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题.规律方法对点练3.若定义在R上的函数f(x)满足f(x＋3)＋f(x＋1)＝f(1)，则f(2027)＝______.因为f(x＋3)＋f(x＋1)＝f(1)，将x用x－2代替，得f(x＋1)＋f(x－1)＝f(1).两式相减得，f(x＋3)＝f(x－1)，即f(x＋4)＝f(x)，所以4为函数f(x)的周期，因此f(2

027)＝f(4×506＋3)＝f(3).在f(x＋3)＋f(x＋1)＝f(1)中，令x＝0，则f(3)＋f(1)＝f(1)，所以f(3)＝0，即f(2

027)＝0.0对点练4.设f(x)是定义在R上周期为4的偶函数，且当x∈[0，2]时，f(x)＝log2(x＋1)，则函数f(x)在[2，4]上的解析式为__________________________.根据题意，设x∈[2，4]，则x－4∈[－2，0]，则有4－x∈[0，2]，当x∈[0，2]时，f(x)＝log2(x＋1)，则f(4－x)＝log2[(4－x)＋1]＝log2(5－x).又f(x)是周期为4的偶函数，所以f(x)＝f(x－4)＝f(4－x)＝log2(5－x)，x∈[2，4]，则有f(x)＝log2(5－x)，x∈[2，4].f(x)＝log2(5－x)，x∈[2，4]返回对点练5.已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x＜2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0，4]上与x轴的交点有_____个.5当0≤x＜2时，令f(x)＝x3－x＝x(x2－1)＝0，所以y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标分别为x1＝0，x2＝1.当2≤x＜4时，0≤x－2＜2.又f(x)的最小正周期为2，所以f(x－2)＝f(x)，所以f(x)＝(x－2)(x－1)(x－3)，所以当2≤x＜4时，y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标分别为x3＝2，x4＝3.又f(4)＝f(2)＝f(0)＝0，综上可知，共有5个交点.课时分层测评

√

√

3.已知定义域为[a－4，2a－2]的奇函数f(x)＝x3－2026sinx＋b＋2，则f(a)＋f(b)＝A.0 B.1C.2 D.不能确定√由题意得a－4＋2a－2＝0，解得a＝2，由f(0)＝b＋2＝0，得b＝－2，所以f(a)＋f(b)＝f(2)＋f(－2)＝0.故选A.4.设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是A.f(π)＞f(－3)＞f(－2)B.f(π)＞f(－2)＞f(－3)C.f(π)＜f(－3)＜f(－2)D.f(π)＜f(－2)＜f(－3)√因为f(x)是偶函数，所以f(－3)＝f(3)，f(－2)＝f(2).又因为函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，所以f(π)＞f(3)＞f(2)，即f(π)＞f(－3)＞f(－2).故选A.

√√

6.(多选)f(x)是定义在R上的偶函数，对∀x∈R，均有f(x＋2)＝－f(x)，当x∈[0，1]时，f(x)＝log2(2－x)，则下列结论正确的是A.函数f(x)的一个周期为4B.f(2026)＝1C.当x∈[2，3]时，f(x)＝－log2(4－x)D.函数f(x)在[0，2027]内有1013个零点√√因为f(x)是定义在R上的偶函数，对∀x∈R，均有f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以函数f(x)的一个周期为4，故A正确；f(2

026)＝f(4×506＋2)＝f(2)＝－f(0)＝－1，故B错误；当x∈[2，3]时，x－2∈[0，1]，则f(x)＝－f(x－2)＝－log2[2－(x－2)]＝－log2(4－x)，故C正确；易知f(1)＝f(3)＝f(5)＝…＝f(2

025)＝f(2

027)＝0，于是函数f(x)在[0，2

027]内有1

014个零点，故D错误.故选AC.

1

8.已知偶函数f(x)对任意的x∈R都有f(x＋2)－f(x)＝f(1)，且f(0)＝8，则f(99)＋f(100)＝_____.因为f(x)为偶函数，f(x＋2)－f(x)＝f(1)，所以f(－1＋2)－f(－1)＝f(1)，解得f(1)＝f(－1)＝0，所以f(x＋2)＝f(x)，即f(x)的周期为2，所以f(100)＝f(0)＝8，f(99)＝f(1)＝0，故f(99)＋f(100)＝8.89.(10分)设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x).当x∈[0，2]时，f(x)＝2x－x2.(1)求证：f(x)是周期函数；解：证明：因为f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)是周期为4的周期函数.(2)当x∈[2，4]时，求f(x)的解析式；解：当x∈[－2，0]时，－x∈[0，2]，由已知得f(－x)＝2(－x)－(－x)2＝－2x－x2.又f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)＝－2x－x2，所以f(x)＝x2＋2x.又当x∈[2，4]时，x－4∈[－2，0]，所以f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4).又f(x)是周期为4的周期函数，所以f(x)＝f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)＝x2－6x＋8.从而求得x∈[2，4]时，f(x)＝x2－6x＋8.(3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2026).解：f(0)＝0，

f(1)＝1，f(2)＝0，f(3)＝－1.又f(x)是周期为4的周期函数，所以f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＝…＝f(2

020)＋f(2

021)＋f(2

022)＋f(2

023)＝0，f(2

024)＋f(2

025)＋f(2

026)＝f(0)＋f(1)＋f(2)＝1，所以f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2

026)＝1.

√

11.(多选)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，当x＜