人教版高中数学选择性必修一 题库 第一章　1.1.1　第2课时　共线向量与共面向量

第2课时共线向量与共面向量学习目标1.理解向量共线、向量共面的定义.2.掌握向量共线的充要条件和向量共面的充要条件(重点).3.会证明空间三点共线、四点共面(难点).导语我们知道向量是既有大小又有方向的量，它可以平行移动，平面内两个向量若方向相同或相反，就说它们是共线的，那么在空间内向量共线又是怎么回事呢？今天我们就来探究一下.一、空间向量共线的充要条件问题1平面向量a，b(b≠0)共线的充要条件是什么？它适用于空间向量吗？提示对平面向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a=λb，由于空间向量共线的定义与平面向量相同，因此也适用于空间向量.知识梳理1.对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a=λb.2.如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，则对于直线l上任意一点P，由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ，使得OP=λa，把与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量，直线l上任意一点都可以由直线l上的一点和它的方向向量表示.注意点：(1)直线可以由其上一点和它的方向向量确定.(2)非零向量a，b共线时，表示向量a，b的两条有向线段不一定在同一条直线上.例1(1)若P，A，B，C为空间不重合的四点，且有PA=αPB+βPC，则α+β=1是A，B，C三点共线的(A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案C解析充分性：若α+β=1，则PA-PB=β(PC-PB)，即BA=βBC，显然，A，B，C必要性：若A，B，C三点共线，则有AB=λBC故PB-PA=λ(PC-PB)，整理得PA=(1+λ)PB-λPC令α=1+λ，β=-λ，则α+β=1.故α+β=1是A，B，C三点共线的充要条件.(2)如图，四边形ABCD和ABEF都是平行四边形，且不共面，M，N分别是AC，BF的中点，则CE与MN是否共线？解方法一∵M，N分别是AC，BF的中点，且四边形ABCD和ABEF都是平行四边形，∴MN=AN=12(AB+AF)-1=12(AF-AD)=12(BE∴CE∥MN，即CE与MN共线方法二∵M，N分别是AC，BF的中点，且四边形ABCD和ABEF都是平行四边形，∴MN=MA+AF=12CA+AF+1又∵MN=MC+CE+EB=-12CA+CE-AF-①+②得2MN∴CE∥MN，即CE与MN共线反思感悟向量共线的判定及应用(1)判定或证明两向量a，b(b≠0)共线，就是寻找实数λ，使a=λb成立.(2)判定或证明空间中的三点(如P，A，B)共线的方法：①PA=λPB(λ∈R)；②对空间任一点O，OP=OA+λAB(λ∈③对空间任一点O，OP=xOA+yOB(x+y=1)跟踪训练1满足下列条件，能说明空间不重合的A，B，C三点共线的是()A.AB+BC=AC B.ABC.AB=BC D.|AB|=|答案C解析对于空间中的任意向量，根据向量加法运算法则，都有AB+BC=AC，若AB-BC=AC，则而AC+CB=AB即B，C两点重合，这与已知条件矛盾，选项B错误；若AB=BC，则A，B，C若|AB|=|BC|，则线段AB的长度与线段BC的长度相等，不一定有A，B，C三点共线，选项D错误.二、空间向量共面的充要条件问题2空间任意两个向量是共面向量，则空间任意三个向量是否共面？提示不一定，如图所示，空间中的三个向量不共面.问题3对两个不共线的空间向量a，b，如果p=xa+yb，那么向量p与向量a，b有什么位置关系？反过来，向量p与向量a，b有什么位置关系时，p=xa+yb？提示如果p=xa+yb，那么向量p与向量a，b共面.反过来，向量p与向量a，b共面时，p=xa+yb.知识梳理1.向量与平面平行：如果表示向量a的有向线段OA所在的直线OA平行于平面α或在平面α内，那么称向量a平行于平面α.2.共面向量定义平行于同一个平面的向量三个向量共面的充要条件向量p与不共线向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p=xa+yb注意点：共面向量中，向量a，b不共线.例2(课本例1)如图，已知平行四边形ABCD，过平面AC外一点O作射线OA，OB，OC，OD，在四条射线上分别取点E，F，G，H，使OEOA=OFOB=OGOC=OHOD=k.求证：E，F，G，证明因为OEOA=OFOB=OGOC=OH所以OE=kOA，OF=kOB，OG=kOC因为四边形ABCD是平行四边形，所以AC=AB+AD因此EG=OG-OE=kOC-kOA=kAC=k(AB+AD)=k(OB-OA+OD-OA)=OF-OE+OH-OE=EF+EH.由向量共面的充要条件可知，EH，又EH，EF，EG过同一点E，从而E，F，G，H例2(1)如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，M为DD1的中点，N∈AC，且AN∶NC=2∶1，求证：A1，B，N，M四点共面.证明设AA1=a，AB=b，则A1B=b-∵M为线段DD1的中点，∴A1M=c-1又∵AN∶NC=2∶1，∴AN=23AC=2∴A1N=AN-AA1==23(b-a)+=23A∴A1N又∵三向量有相同的起点A1，∴A1，B，N，M四点共面.(2)对于不共线的三点A，B，C和平面ABC外的一点O，空间一点P满足关系式OP=xOA+yOB+zOC，求证：点P在平面ABC内的充要条件是x+y+z=证明①充分性∵OP=xOA+yOB+zOC可变形为OP=(1-y-z)OA+yOB+zOC∴OP-OA=y(OB-OA)+z(OC-OA)，∴AP=yAB+zAC，∴点P与A，B，C共面②必要性∵点P在平面ABC内，A，B，C三点不共线，∴存在有序实数对(m，n)使AP=mAB+nACOP-OA=m(OB-OA)+n(OC-OA)，∴OP=(1-m-n)OA+mOB+nOC∵OP=xOA+yOB+zOC∴x=1-m-n，y=m，z=n，∴x+y+z=1.反思感悟向量共面的判定及应用(1)证明三个向量共面(或四点共面)时，可以通过以下几个条件进行证明.①MP=xMA+yMB；②对于空间任意一点O，OP=xOM+yOA+zOB(x+y+z=1)(2)若已知点P在平面ABC内，则有AP=xAB+yAC或OP=xOA+yOB+zOC(x+y+z=1)，然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系数法求出参数.跟踪训练2(1)已知O为空间任意一点，A，B，C，P满足任意三点不共线，但四点共面，且BP=mOA+OB+OC，则m的值为(A.-1 B.2 C.-2 D.-3答案C解析由BP=OP-OB=mOA+OB得OP=mOA+2OB+OC∵O为空间任意一点，A，B，C，P满足任意三点不共线，但四点共面，∴m+2+1=1，∴m=-2.(2)如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且BM=13BD，AN=13AE.求证：向量MN证明因为M在BD上，且BM=13BD所以MB=13同理AN=13所以MN=MB+BA=13DA+1=23BA+13又CD与DE不共线，根据向量共面的充要条件可知MN，CD1.知识清单：(1)直线的方向向量.(2)空间向量共线的充要条件.(3)空间向量共面的充要条件.(4)三点共线、四点共面的证明方法.2.方法归纳：转化化归、类比.3.常见误区：混淆向量共线与线段共线、点共线.1.对于空间的任意三个向量a，b，2a-b，它们一定是()A.共面向量B.共线向量C.不共面向量D.既不共线也不共面的向量答案A解析由向量共面定理可知，三个向量a，b，2a-b为共面向量.2.(多选)下列条件中，使M与A，B，C一定共面的是()A.OM=3OA-OB-OCB.OM=15OAC.MA+MB+MC=0D.OM+OA+OB+OC=0答案AC解析A选项中，3-1-1=1，四点共面；C选项中，MA=-MB-∴点M，A，B，C共面.3.已知点M在平面ABC内，并且对空间任意一点O，有OM=xOA+13AB+13OC，则A.1 B.0 C.23 D.答案C解析∵OM=xOA+13AB=xOA+13(OB-OA=x-13OA且M，A，B，C四点共面，∴x-13+13+13=14.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别是底面A1B1C1D1和侧面CC1D1D的中心，若EF+λA1D=0(λ∈R)，则λ=答案-1解析如图，连接A1C1，C1D，则点E在A1C1上，点F在C1D上，易知EF∥A1D，且EF=12A1D∴EF=12A1D，即EF-12课时对点练[分值：100分]单选题每小题5分，共45分；多选题每小题6分，共6分1.已知非零向量a，b，且AB=a+2b，BC=-5a+6b，CD=7a-2b，则一定共线的三点是(A.A，B，D B.A，B，CC.B，C，D D.A，C，D答案A解析∵BD=BC+CD=2a+4b=∴A，B，D三点共线.2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列各组向量共面的是()A.AC，BC.AC，B答案C解析由正方体的性质可得，BA1=CD1，3.若空间中任意四点O，A，B，P满足OP=mOA+nOB，其中m+n=1，则(A.P∈直线ABB.P∉直线ABC.点P可能在直线AB上，也可能不在直线AB上D.以上都不对答案A解析因为m+n=1，所以m=1-n，所以OP=(1-n)OA+nOB即OP-OA=n(OB-OA)，即AP=nAB所以AP与AB共线.又AP，AB有公共起点所以P，A，B三点在同一直线上，即P∈直线AB.4.已知P为空间中任意一点，A，B，C，D四点满足任意三点均不共线，但四点共面，且PA=43PB-xPC+16DBA.13 B.-13 C.1答案A解析PA=43PB-=43PB-xPC+16=32PB-xPC-又∵P是空间中任意一点，A，B，C，D四点满足任意三点均不共线，但四点共面，∴32-x-16=1，解得x=5.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M是棱CC1上靠近点C的三等分点，点N满足AN=tAM，若N为AM与平面BDA1的交点，则t等于(A.13 B.25 C.3答案C解析在正方体ABCD-A1B1C1D1中，由点M是棱CC1上靠近点C的三等分点，得AM=AB+BC+CM=AB即AN=tAM=tAB+tAD+t由N为AM与平面BDA1的交点，则N，B，D，A1四点共面，则t+t+t3=1，所以t=36.(多选)下列命题中为真命题的有()A.向量a，b，c共面即它们所在直线共面B.若AB∥AC，则A，B，CC.若a∥b，b∥c，则a与c所在直线不一定平行D.若e1，e2为不共线的非零向量，a=4e1-25e2，b=-e1+110e2，则a答案BCD解析向量a，b，c共面，它们所在直线可能共面，也可能两两平行但不共面，故A错误；因为AB∥AC，且AB，AC有公共点A，所以A，B，C三点共线，故B正确；若a∥b，b∥c，当b=0时，a与c所在直线不一定平行，故C正确；由于a=4e1-25e2=-4-e1+110e27.(5分)设e1，e2是空间两个不共线的向量，已知AB=2e1+ke2，CB=e1+3e2，CD=2e1-e2，且A，B，D三点共线，则k=答案-8解析由已知得BD=CD=(2e1-e2)-(e1+3e2)=e1-4e2，∵A，B，D三点共线，∴AB与BD共线，即存在λ∈R，使得AB=λBD.∴2e1+ke2=λ(e1-4e2)=λe1-4λe2，∵e1，e2不共线，∴λ=2,k=-48.(5分)已知A，B，C，D四点在平面α内，且任意三点都不共线，点P为平面α外的一点，满足AP+BP-4CP+λDP=0，则λ=.

答案2解析因为A，B，C，D四点在平面α内，且点P为平面α外的一点，则AP+BP-4CP+λDP=0，即PA=-PB+4PC-λPD所以-1+4-λ=1，解得λ=2.9.(10分)如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E在A1D1上，且A1E=2ED1，点F在A1C上，且A1F=2证明设AB=a，AD=b，AA因为A1E=所以A所以A1EA1F=25(AC-AA1)=25(AB+AD-所以EF=A1F-A1E=25a又EB=EA1+A1A+AB=-=a-23b-c所以EF=25EB，又EF与EB有公共点E，所以E，F，B三点共线.10.(12分)如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N，P，Q分别为A1D1，D1C1，AA1，CC1的中点，求证：M，N，P，Q四点共面.证明令D1A1=a，D1C因为M，N，P，Q均为所在棱的中点，所以MN=D1N-D1MP=MA1+A1MQ=MD1+D1C1+C1Q=设MQ=λMN+μMP则-12a+b+12c=λ12=12(μ-λ)a+12λb+12所以12(所以MQ=2MN+MP所以向量MQ，MN又向量MQ，MN，所以M，N，P，Q四点共面.11.已知A，B，C三点共线，O为空间任一点，则①OA=2OB+μOC；②存在三个不为0的实数λ，m，n，使λOA+mOB+nOC=0，那么使①②成立的μ与λ+m+n的值分别为()A.1，-1 B.-1，0 C.0，1 D.0，0答案B解析∵A，B，C三点共线，OA=2OB+μ∴2+μ=1，∴μ=-1，又由λOA+mOB+nOC=0，得OA=-mλOB由A，B，C三点共线知，-mλ-nλ=则λ+m+n=0.12.平面α内有五点A，B，C，D，E，其中任意三点不共线，O为空间一点，满足OA=12OB+xOC+yOD，OB=2xOC+13OD+yOEA.56 B.76 C.5答案B解析由点A，B，C，D四点共面得x+y=12又由点B，C，D，E四点共面得2x+y=23联立①②，解得x=16，所以x+3y=7613.已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，P，M为空间任意两点，如果有PM=PB1+7BA+6AA1-4AA.在平面BAD1内 B.在平面BA1D内C.在平面BA1D1内 D.在平面AB1C1内答案C解析PM=PB1+7BA=PB1+BA+6B=PB1+B1A=PA1+6(PA1-PB)-4(=11PA1-6PB-4PD1，于是M，B，A1，D1四点共面，所以点M必在平面BA1D1内.14.已知O-ABC为空间四面体，P为底面ABC上一点，且满足2AP=xOA+yOB+zOC，则以下等式一定成立的是(