人教版九年级数学 秋季培优讲义 第07讲-二次函数综合4-讲义

二次函数综合4第五讲

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等腰三角形：xyOABDE前提：已知一边，在确定的线上找一点，使得三角形是等腰三角形

方法：两圆一中垂

例：如边AB已知，在坐标轴上找一点C，使得△ABC是等腰三角形，方法如图所示：

则图中分别以A、B为圆心，AB为半径的两个圆以及ABxyOABDE

直角三角形：xyOABED前提：已知一边，在确定的线上找一点，使得三角形是直角三角形

方法：一圆两垂线

例：如边AB已知，在坐标轴上找一点C，使得△ABC是直角三角形，方法如图所示：

则图中以AB为直径的圆和垂直于AB的直线AD、BE和坐标轴的交点即是所求的点C．

xyOABED点点精讲点点精讲题型一题型一等腰三角形已知，抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，其中点C的坐标是，顶点为点D，连结CD，抛物线的对称轴与x轴交于点E．

（1）求m的值；

（2）求的度数；

（3）在抛物线的对称轴的右侧部分上是否存在一点P，使得△PDC是等腰三角形？如果存在，求出符合条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

xyAOCBMP如图，抛物线与直线交于A、B两点，点A在y轴上，点B在x轴上，抛物线与x轴的另一交点为C，点P在点B右边的抛物线上，PM⊥x轴交直线AB于M．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当时，求M的坐标；

（3）点P运动过程中，△APM能否为等腰三角形？若能，求点P的坐标，若不能，说明理由．

xyAOCBMPyOxAFDQGEPBC如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点、、．抛物线过A、C两点．

（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；

（2）动点P从点A出发，沿线段AB向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿线段向终点D运动，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒．过点P作PE⊥AB交AC于点E．

①过点E作EF⊥AD于点F，交抛物线于点G．当t为何值时，线段EG最长？

②连接EQ．在点P、Q运动的过程中，判断有几个时刻使得△CEQ是等腰三角形？请直接写出相应的t值．

yOxAFDQGEPBC题型二题型二直角三角形xyCBAOEP如图，直线与抛物线都经过点、．

（1）求抛物线的解析式；

（2）动点P在线段AC上，过点P作x轴的垂线与抛物线相交于点E，求线段PE长度的最大值；

（3）当线段PE的长度取得最大值时，在抛物线上是否存在点Q，使△PCQ是以PC为直角边的直角三角形？若存在，请求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．

xyCBAOEPlyxOFPM如图，抛物线的顶点是原点，抛物线经过点，F点的坐标为，直线l为．P点是抛物线上任意一点，过点P作PM⊥l，垂足为M．

（1）求抛物线的函数关系式；

（2）求证：；

（3）求抛物线上的所有点Q坐标，使得△AFQ是以AF直角边的直角三角形．

lyxOFPMMCBOAyx如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．

（1）请求出抛物线顶点M的坐标（用含m的代数式表示），A、B两点的坐标；

（2）经探究可知，△BCM与△ABC的面积比不变，试求出这个比值；

（3）是否存在使△BCM为直角三角形的抛物线？若存在，请求出；如果不存在，请说明理由．

MCBOAyx点点精练点点精练yOACBxM如图，二次函数交x轴于，两点，与y轴交于点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点M为抛物线的顶点，连结BC、CM、BM，求△BCM的面积；

（3）连结AC，在x轴上是否存在点P使△ACP为等腰三角形？若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由．

yOACBxMxyDACOEB如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且

．

（1）求抛物线的解析式；

（2）探究坐标轴上是否存在点，使得以点为顶点的三角形为直角三角形？若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由；

（3）直线交轴于点，为抛物线顶点．若，，求的值．

xyDACOEB板块二特殊四边形板块二特殊四边形的存在性平行四边形的存在性平行四边形的存在性特殊的平行四边形平行四边形特殊的平行四边形平行四边形课堂笔记课堂笔记平行四边形：xyOAxyOABDE三定一动xyOAB两定两动

点点精讲点点精讲题型一题型一三定一动CBAxyO如图，抛物线与轴正半轴交于点，与轴交于点、，．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在直角坐标平面内确定点，使得以点为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标．

CBAxyOxy11OBA如图，二次函数的图象经过△AOB的三个顶点，其中，．

（1）求A、B的坐标；

（2）在坐标平面上找点C，使以A、O、B、C为顶点的四边形是平行四边形．

①这样的点C有几个，求出它们的坐标；

②能否将抛物线平移后经过A、C两点？若能，求出平移后经过A、C两点的一条抛物线的解析式；若不能，请说明理由．

xy11OBA题型二题型二两定两动xyOABC图1xyOABC图2如图1，已知抛物线交轴于点，点关于抛物线对称轴的对称点为，直线与抛物线在第一象限的交点为，连结．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图2，点在直线上运动，点在抛物线上运动，试问点、在运动过程中是否存在以、、、为顶点的四边形是平行四边形的情况，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

xyOABC图1xyOABC图2在平面直角坐标系xOy中，直线分别与x轴，y轴交于过点A，B，点C是第一象限内的一点，且，AB⊥AC，抛物线经过A，C两点，与轴的另一交点为D.

（1）求此抛物线的解析式；

（2）判断直线AB与CD的位置关系，并证明你的结论；

（3）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，B，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由.

题型三题型三特殊的平行四边形yxOCABD如图，抛物线，平移抛物线，使其顶点D所在抛物线位于y轴右侧的图象上，设平移后的抛物线为，且与y轴交于点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）抛物线与x轴交于A、B两点（点B在点A的右侧），求点A、B的坐标及△ABC外接圆的圆心E的坐标；

（3）在过点且平行于x轴的直线上是否存在点F，使四边形CEBF为菱形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

yxOCABDxyAMBCO如图，抛物线与x轴交于，两点，顶点M关于x轴的对称点是．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若直线与此抛物线的另一个交点为C，求△CAB的面积；

（3）是否存在过A、B两点的抛物线，其顶点P关于x轴的对称点为Q，使得四边形APBQ为正方形？若存在，求出此抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．

xyAMBCO点点精练点点精练ACOBDFExyAOBDCExyF图1图2如图1，平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于A、B两点，点C是AB的中点，CD⊥AB且，直线BE与y轴平行，点F是射线BE上的一个动点，连结AD、AF、DF．

（1）若点F的坐标为，．

①求此抛物线的解析式；

②点P是此抛物线上一个动点，点Q在此抛物线上的对称轴上，以点A、F、P、Q为顶点构成的四边形是平行四边形，请直接写出点Q的坐标；

（2）若，，且AB的长为kt，其中．如图2，当时，求k的值和的正切值．

ACOBDFExyAOBDCExyF图1图2横扫学霸横扫学霸cs0109q0006yx123412345O在平面直角坐标系xOy中,二次函数的图象与轴交于、两点,顶点为C．

（1）求此二次函数解析式；

（2）点D为点C于x轴的对称点，过