人教版九年级数学 秋季培优讲义 第11讲-旋转变换-讲义

88.9％四边形与几何变换旋转变换第四讲

88.9％四边形与几何变换旋转变换第四讲课程预览课程预览旋转变换旋转变换旋转与中心对称旋转与中心对称旋转型全等旋转型全等趣味课堂趣味课堂监考老师与我……监考老师与我……板块一旋转与中心对称板块一旋转与中心对称旋转与中心对称旋转与中心对称中心对称旋转的定义与性质中心对称旋转的定义与性质课堂笔记课堂笔记AOCB

旋转：在同一平面内，把一个图形绕着某一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形变换叫做旋转．这个定点叫做旋转中心AOCB旋转三要素：旋转中心、旋转角度和旋转方向是旋转的三要素，缺一不可．并且旋转中心在旋转过程中保持不变（定点）.旋转的性质：（1）对应点到旋转中心的距离相等；

（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；

（3）旋转前、后的图形全等．注：（1）任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角，它们都相等.（2）因为旋转中心到对应点的距离相等，所以旋转中心一定在对应点连线的垂直平分线上．旋转对称图形：一个图形绕着某一点转动一定的角度（）后能与自身完全重合，这种图形称为旋转对称图形，绕着转动的这一点，称为旋转中心．中心对称：把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．中心对称的性质：（1）成中心对称的两个图形能够完全重合，是全等形；

（2）成中心对称的两个图形，连接对称点的线段都经过对称中心，并且被对称中心平分；

（3）成中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等；

（4）如果连接两个图形的对应点的线段都经过某一点，并且都被这一点平分，那么这两个图形一定关于这一点成中心对称．

点点精讲点点精讲题型一题型一旋转的概念与性质ABCDxBAyOCBAD例1．（1）如图，把△ABC绕点C顺时针旋转35°，得到，交于点D，若，则∠A度数为()

A．45°

B．55°

C．65°

D．75°

（2）如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°后得到正方形，边与CD交于点O，则四边形的面积是（）

A． B． C． D．

ABCDxBAyOCBAD例2．（1）将点绕着原点逆时针旋转45°后得到点N，则点N的坐标是________．

（2）如图，在△ABO中，AB⊥OB，，．将△ABO绕点O旋转90°后得到，则点的坐标为（）

A．

B．或

C．

D．或

ABPC例3．如图，△ABC是格点三角形，网格的单位长度为1，请画出△ABC绕P点顺时针转动90°所形成的图形．并求出旋转过程中PA、PB、PC分别扫过的面积．

ABPCABC例4．如图，△ABC绕某一点旋转后得到，其中、、的对应点分别是、、，试确定旋转中心．

ABC题型二题型二中心对称例5．（1）下列图形中，中心对称图形有（）

A．1 B．2 C．3 D．4

（2）下列汉字或者字母既是轴对称又是中心对称的是（）

A．大 B．由 C．H D．Z

例6．已知点与点关于坐标原点对称，求a与b的值．

ABCDE例7．如图，在△ABC中，，△ABC与△DEC关于点C成中心对称，连接AE、BD．

（1）线段AE、BD具有怎样的位置关系和大小关系？说明你的理由；

（2）如果△ABC的面积为5，求四边形ABDE的面积；

（3）当∠ACB为多少度时，四边形ABDE为矩形？说明你的理由．

ABCDE点点精练点点精练ADOBC如图，△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转31°后得到的图形，若点D恰好落在AB上，且∠AOC的度数为100°，则∠DOB的度数是（）

A．34°

B．36°

C．38°

DADOBC在平面直角坐标系中，把点向右平移8个单位得到点，再将点绕原点旋转90°得到点，则点的坐标是（）

A． B．

C．或 D．或

下列选项中的图形，不属于中心对称图形的是（）

A．等边三角形 B．正方形 C．正六边形 D．圆xyAO如图，已知点和直线．

（1）点A关于直线对称点为点B，点A关于原点的对称点为点C；写出点B、C的坐标；

（2）若点D是点B关于原点的对称点，判断四边形ABCD的形状，并说明理由．

xyAO板块二旋转型全等主动构造板块二旋转型全等主动构造旋转型全等旋转型全等已有旋转已有旋转课堂笔记课堂笔记旋转型全等：对于解决旋转型全等的问题，我们主要利用手拉手模型或者主动构造手拉手模型解决问题．点点精讲点点精讲题型一题型一已有旋转ABCFED如图，△ABC中，，，△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，连接BE、CF相交于点D．

（1）求证：；

（2）当四边形ACDE为菱形时，求BD的长．

ABCFEDABEDC图②ABDEC图①ABCED图③已知，△ABC和△DBE均为等腰直角三角形．如图①，易证且AD⊥CE．

（1）将△DBE绕点B逆时针旋转至图②的位置时，线段AD和CE有怎样的关系？

（2）将△DBE绕点B顺时针旋转至图③的位置时，线段AD和CE又有怎样的关系？请直接写出你的猜想，并选择其中一种情况加以证明．

ABEDC图②ABDEC图①ABCED图③ABCABCFEABCEFE图1图2备用图如图1，在△ABC中，，，∠ABC的平分线BE交AC于E．

（1）求证：；

（2）如图（2），过点E作EF∥BC交AB于F，将△AEF绕点A逆时针旋转角得到△，连结，，求证：；

（3）在（2）的旋转过程中是否存在∥AB？若存在，求出相应的旋转角；若不存在，请说明理由．

ABCABCFEABCEFE图1图2备用图ABCDFE图1ABCDFEG图2如图1所示，将一个边长为2的正方形和一个长为2、宽为1的长方形拼在一起，构成一个大的长方形.现将小长方形绕点顺时针旋转至，旋转角为．

（1）当点恰好落在边上时，求旋转角的值；

（2）如图2，为中点，且，求证：；

（3）小长方形绕点顺时针旋转一周的过程中，与能否全等？若能，直接写出旋转角的值；若不能，说明理由．

ABCDFE图1ABCDFEG图2ABHCDEABHC图1图2在△ABC中，，AH⊥BC于点H，将△AHC绕点H逆时针旋转90°后，点C的对应点为点D，直线BD与直线AC交于点E，连接EH．

（1）如图1，当∠BAC为锐角时，

①求证：BE⊥AC；

②求∠BEH的度数；

（2）当∠BAC为钝角时，请依题意用实线补全图2，并用等式表示出线段EC，ED，EH之间的数量关系．

ABHCDEABHC图1图2题型二题型二主动构造旋转全等ABCP图2点P是等边三角形ABC内的一点，若，，，求∠BPA的度数．

ABCP图2ABCP如图，P为正△ABC内一点，，．

求证：以AP，BP，CP为边可以构成三角形，并确定所构成的三角形各内角的度数．

ABCPACDB图1ACDB图2ACDB图3在四边形ABCD中，对角线AC平分∠DAB．

（1）如图1，当，时，写出线段AB、AD、AC的数量关系；

（2）如图2，当，∠B与∠D互补时，线段AB、AD、AC有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明；

（3）如图3，当，∠B与∠D互补时，线段AB、AD、ACACDB图1ACDB图2ACDB图3ABCDEM如图，在等腰△ABC中，，，在四边形BDEC中，，，M为CE的中点，连接AM，DM．

（1）在图中画出△DEM关于点M成中心对称的图形；

（2）求证：AM⊥DM；

（3）当_______，AM=DM．

ABCDEM点点精练点点精练ABCDEF四边形ABCD是正方形，E、F分别是DC和CB的延长线上的点，且，连接AE、AF、EF．

（1）求证：△ADE≌△ABF；

（2）填空：△ABF可以由△ADE绕旋转中心______点，按顺时针方向旋转_______度得到；

（3）若，，求△AEF的面积．

ABCDEFABDC如图，已知△ABC是等边三角形，，求证：．

ABDC横扫学霸横扫学霸ABCDABCDE图1图2在△ABC中，，，将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD．

（1）如图1，直接写出∠ABD的大小（用含的式子表示）；

（2）如图2，，，判断△ABE的形状并加以证明；

（3）在（2）的条件下，连接DE，若，求的值．

ABCDABCDE图1图2ABCPABCPABCP图1图2图3阅读下面材料：

小伟遇到这样一个问题：如图1，在△ABC（其中∠BAC是一个可以变化的角）中，，，以BC为边在BC的下方作等边△PBC，求AP的最大值．

小伟是这样思考的：利用变换和