人教版九年级数学 秋季培优讲义 第13讲-圆中的角-讲义

33.3％圆圆中的角第二讲

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圆心角的度数与弧的度数：把顶点在圆心的圆周分成360等份时，每一份的圆心角是的角，因为同圆中相等的圆心角所对的弧相等，所以整个圆也被分成360等份，我们把每一份这样的弧叫做的弧．

注：圆心角的度数等于它所对的弧的度数．ADCEB圆周角：我们把像图中这样的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．

ADCEB圆的内接多边形：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆．

圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．

圆周角定理的推论：

1．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．简称：直径对直角，直角对直径．2．在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等．3．圆的内接四边形对角互补．

点点精讲点点精讲题型一题型一弧度BACOEADOCB△ABC是⊙O的内接等边三角形，则劣弧BC的度数为_______．正五边形ABCDE是⊙O的内接五边形，则优弧ABD的度数为BACOEADOCB题型二题型二圆周角的概念与证明下图当中哪些是圆周角？

ACBOBACOBCAO证明：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．

ACBOBACOBCAO题型三题型三圆周角定理有关的判定与计算下列说法：

①顶点在圆周上的角是圆周角；

②圆周角的度数等于圆心角的度数的一半；

③的圆周角所对的弦是直径；

④直径所对的圆周角是

⑤圆周角相等，则它所对的弧也相等；

⑥相等的弦所对的弧相等；

⑦相等的弧所对的弦相等．

其中正确的有________（填序号）．

ACDBEOABOCOABC（1）如图，OA、OB均为⊙O上一点，若，则（）

A．

B．

C．

D．

（2）如图，点A、B、C在⊙O上，AB∥CO，，则________．

（3）如图所示，AB是⊙O的直径，弦DC与AB相交于点E，若，则．

（4）如图，⊙A经过坐标系的原点，与x轴交于点，与y轴交于点，则⊙A的半径为_________．

OABCyx

ACDBEOABOCOABCOABCyxABDECABCO（1）如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知，则_________．

（2）如图，△ABC中，，以AB为直径的半圆交BC、AC于D、E，已知为，则_________．

ABDECABCOABCDO（1）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，，则________．

（2）圆内接四边形ABCD中，∠A、∠B、∠C的度数之比为，则∠D的度数为______．

（3）已知A、B、C为⊙O上三点，，则________．

ABCDOOABCDE如图，点A、B、C、D、E都在⊙O上，AC平分∠BAD，且AB∥CE，求证：．

OABCDE••OABDCP如图，正方形ABCD的外接圆为⊙O，点P在劣弧上（不与C点重合）.

（1）求的度数；

（2）若⊙O的半径为8，求正方形ABCD的边长.

••OABDCPxyOABC如图，在平面直角坐标系xOy中，△OCB的外接圆与y轴交于点，，，求OC的长．

xyOABC点点精练点点精练下列说法中，正确的是（）

A．同圆或等圆中弧相等，则它们所对的圆心角也相等

B．的圆心角所对的弦是直径

C．平分弦的直径垂直于这条弦

D．相等的圆心角所对的弦相等

ABDOCE如图，点O为优弧所在圆的圆心，，点D在AB的延长线上，，则∠D的度数为（）

A．20°

B．27°

C．30°

D．54°

ABDOCEOAB如图，，则弦AB所对的圆周角的度数为___________．

OABOABDC如图，AB是半圆O的直径，，D是弧AC的中点，求∠BAC的度数．

OABDC板块二弧弦角距的关系板块二弧弦角距的关系弧弦角距的关系

弧弦角距的关系弧弦角距的关系圆内角与圆外角弧弦角距的关系圆内角与圆外角

课堂笔记

弧弦角距的关系：“弧相等”“弦相等”“弦心距相等”“圆心角相等”“圆周角相等”，这五者知一可推四．课堂笔记OABCDEFMN如图所示，若，则，

，易证：△OAB≌△ODC，

∴，．

已知这五者之中的其他条件，做法类似．OABCDEFMNADOBADOBCE圆内角转化为圆周角OEABCD圆外角转化为圆周角

点点精讲点点精讲题型一题型一弧弦角距的关系OABCDEFMN如图所示，OE⊥AB，OF⊥CD，，求证：．OABCDEFMNACDBOOABC（1）如图，在⊙O中，，，则∠B的度数为___________．

（2）如图，A、B、C、D为⊙O上的点，，则AD与BC的大小关系为_______．

（3）已知六边形ABCDEF是⊙O的内接六边形，且，．

求证：．

ACDBOOABCOABCDEFBAFCODE如图，已知BC为半圆O的直径，AD⊥BC，垂足为D，过B点作弦BF交AD于E点，交半圆O于F点，且，求证：．

OABCDEFBAFCODEBCDAEO如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至点D，使，延长DA与

⊙O的另一个交点为E，连接AC、CE．

（1）求证：；

（2）若，，求CE的长．

BCDAEO题型二题型二圆内角与圆外角OABPCDOABCDE（1）如图，⊙O的半径为1，弦AB、CD的长度分别为和1，则弦AC、BD所夹的锐角为________°．

（2）如图，AB是⊙O的直径，，则所对的圆心角等于__________OABPCDOABCDE点点精练点点精练OADEBC如图，在⊙O中，，求证：．

OADEBCODACEB如图，C是⊙O直径AB上一点，过C作弦DE，使，若所对的圆心角度数为，求所对的圆心角的度数．

ODACEBACDBPOE如图，，的度数为，求和∠AEC的度数．

ACDBPOE横扫学霸横扫学霸cs0109s0003OGABHCEF如图，AB是⊙O的一条弦，点C是⊙O上一动点，且，点E、F分别是AC、BC的中点，直