人教A版高中数学选择性必修一2.3.3　点到直线的距离公式

2.3.3点到直线的距离公式学习目标1.经历用坐标法、向量法推导点到直线的距离公式的运算过程.2.掌握点到直线的距离公式,并能灵活应用.【引入】上节课我们学习了两点间的距离公式,知道两点间的距离可以由两点坐标表示.在平面直角坐标系中,我们用坐标描述点,用方程刻画直线,当点与直线的位置确定后,点到直线的距离可以由点的坐标与直线的方程确定,如何确定呢?一、点到直线的距离公式探究1如图,平面直角坐标系中,已知点P(x0,y0),直线l:Ax+By+C=0(A≠0,B≠0),怎样求出点P到直线l的距离呢?提示根据定义,点P到直线l的距离是点P到直线l的垂线段的长,如图,过点P作直线l的垂线为l',垂足为Q,由l'⊥l可知l'的斜率为BA∴l'的方程为y-y0=BA(x-x0),与l联立方程组,QB2∴|PQ|=|A探究2向量是解决空间距离、角度问题的有力工具,怎样用向量方法求点到直线的距离呢?提示由探究1知PQ可以看作PM在直线l'上的投影向量,直线l:Ax+By+C=0(AB≠0)的斜率为-AB,所以m=(B,-A)是它的一个方向向量①由向量的数量积运算可求得与直线l垂直的一个单位向量n=1A2+B2②在直线l上任取点M(x,y),可得向量PM=(x-x0,y-y0).③|PQ|=|PQ|=|PM·n|=Ax1.概念:点P到直线l的距离,就是从点P到直线l的垂线段PQ的长度,其中Q是垂足.2.公式:点P(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0(A,B不同时为0)的距离d=Ax可以验证,当A=0或B=0时,上述公式仍然成立.温馨提示(1)运用公式前首先应把直线方程化为一般式.(2)注意公式特征,分子绝对值符号里面是把坐标(x0,y0)代入直线方程的左边得到的.当A=0或B=0时,上述公式仍然成立.例1(链接教材P77例5)求下列点到直线的距离:(1)原点到y=x+3的距离;(2)(-1,2)到x3+y4=1(3)(3,6)到y=1的距离.解(1)将y=x+3化为一般式:x-y+3=0,则d1=|0-0+3|1(2)将x3+y4=1化为一般式:4x+3y则d2=|-4(3)法一将y=1化为一般式:y-1=0,则d3=|6-1法二直接计算纵坐标的差,d3=|6-1|=5.思维升华点到直线的距离的求解方法(1)求点到直线的距离时,只需把直线方程化为一般式方程,直接应用点到直线的距离公式求解即可.(2)对于与坐标轴平行(或重合)的直线x=a或y=b,求点到它们的距离时,既可以用点到直线的距离公式,也可以直接写成d=|x0-a|或d=|y0-b|.训练1(1)(链接教材P77T1)原点到直线x+2y-5=0的距离为()A.1 B.3 C.2 D.5(2)若原点到直线ax+by-c=0的距离为1,则a,b,c应满足的关系式为()A.c2=a2+b2 B.a2=c2+b2C.b2=a2+c2 D.c=a+b答案(1)D(2)A解析(1)d=|-5|1(2)由ax+by-c=0,得d=|a·0+b·0-ca2+b2=1,即二、点到直线的距离公式的简单应用例2(1)若点P为x轴上一点,且点P到直线3x-4y+6=0的距离为6,则点P的坐标为()A.(8,0) B.(-12,0)C.(8,0)或(-12,0) D.(-8,0)或(12,0)(2)已知直线l经过点(-2,3),且原点到直线l的距离等于2,则直线l的方程为.

答案(1)C(2)x+2=0或5x+12y-26=0解析(1)设P(a,0),则|3a解得a=8或a=-12.(2)当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=-2,符合原点到直线l的距离等于2;当直线l的斜率存在时,设所求直线l的方程为y-3=k(x+2),即kx-y+2k+3=0,由原点到直线l的距离d=|0-0+2k得k=-512,即直线l的方程为5x+12y综上,直线l的方程为x+2=0或5x+12y-26=0.思维升华1.若已知点到直线的距离求参数时,只需根据点到直线的距离公式列方程求解参数即可.2.根据距离求方程时先设出方程,然后由题意列方程求参数,也可以综合应用直线的有关知识,充分发挥几何图形的直观性,判断直线l的特征,然后由已知条件写出l的方程.训练2(链接教材P80T14)求过点P(1,2)且与点A(2,3),B(4,-5)的距离相等的直线l的方程.解法一由题意知kAB=-4,线段AB的中点为C(3,-1),所以过点P(1,2)与直线AB平行的直线方程为y-2=-4(x-1),即4x+y-6=0,此直线符合题意.过点P(1,2)与线段AB中点C(3,-1)的直线方程为y-2-1-2=即3x+2y-7=0,此直线也符合题意.故所求直线l的方程为4x+y-6=0或3x+2y-7=0.法二显然所求直线的斜率存在,设直线方程为y=kx+b,根据条件得2=化简得k+b所以k=-4,所以所求直线l的方程为:y=-4x+6或y=-32x+7即4x+y-6=0或3x+2y-7=0.三、点到直线的距离公式的综合应用例3(1)已知O为原点,点P在直线x+y-1=0上运动,那么|OP|的最小值为()A.22 B.1 C.2 D.2(2)当点P(3,2)到直线mx-y+1-2m=0的距离最大时,m的值是.

答案(1)A(2)-1解析(1)|OP|的最小值为原点O到直线x+y-1=0的距离d=|0-1|2(2)直线mx-y+1-2m=0可化为y-1=m(x-2).由直线点斜式方程可知直线恒过定点Q(2,1)且斜率为m,结合图象(图略)可知当PQ与直线mx-y+1-2m=0垂直时,点到直线距离最大,此时m·2-13-2=-1,解得m思维升华1.点在直线上运动时,与直线外一点最小距离为垂线段长度;直线围绕点转动时,与直线外一点最大距离为两定点距离.2.注意画图,数形结合在此类问题求解中至关重要.训练3(1)动点P(x,y)在直线x+y-4=0上,O为原点,求|OP|最小时点P的坐标;(2)求过点P(1,2)且与原点距离最大的直线的方程.解(1)直线上的点到原点距离的最小值即为原点到直线的距离,此时OP垂直于已知直线,则kOP=1,∴OP所在的直线方程为y=x.由y=x∴点P的坐标为(2,2).(2)由题意知,过点P且与OP垂直的直线到原点O的距离最大,∵kOP=2,∴所求直线方程为y-2=-12(x-1)即x+2y-5=0.【课堂达标】1.点P(1,-1)到直线l:3y=2的距离是()A.3 B.53 C.1 D.答案B解析点P(1,-1)到直线l的距离d=|3×(-1)-22.点(0,-1)到直线y=k(x+1)距离的最大值为()A.1 B.2 C.3 D.2答案B解析直线y=k(x+1)恒过(-1,0),当直线与(0,-1),(-1,0)的连线垂直时距离最大,最大为(-1-0)2+(0+1)3.已知坐标平面内两点A(3,2)和B(-1,4)到直线mx+y+3=0的距离相等,则实数m的值为.

答案-6或1解析由|3m+2+3得|3m+5|=|m-7|,∴m=-6或m=124.经过两直线x+3y-10=0和3x-y=0的交点,且和原点相距为1的直线的条数为.

答案2解析设所求直线l的方程为x+3y-10+λ(3x-y)=0,即(1+3λ)x+(3-λ)y-10=0,因为原点到直线的距离d=|-10|所以λ=±3,即直线方程为x=1或4x-3y+5=0,所以和原点相距为1的直线的条数为2.课时精练一、基础巩固1.点(1,2)到直线y=2x+1的距离为()A.55 B.255 C.答案A解析直线化为2x-y+1=0,d=|2×1-2+1|22.已知点(a,2)(a>0)到直线l:x-y+3=0的距离为1,则a等于()A.2 B.2-1 C.2+1 D.2-2答案B解析由点到直线的距离公式,得1=a-2+3|1+1,即|a因为a>0,所以a=2-1.3.若直线l平行于直线3x+y-2=0且原点到直线l的距离为10,则直线l的方程是()A.3x+y±10=0 B.3x+y±10=0C.x-3y±10=0 D.x-3y±10=0答案A解析设与直线3x+y-2=0平行的直线方程为3x+y+m=0(m≠-2),由原点到直线l的距离为10,得m10=10,则m=±10所以直线l的方程是3x+y±10=0.4.(多选)已知点A(-3,-4),B(6,3)到直线l:ax+y+1=0的距离相等,则实数a的值等于()A.-79 B.-13 C.1答案AB解析由点到直线的距离公式可得|-3a-4+1化简得|3a+3|=|6a+4|,解得a=-79或-15.已知点M(1,2),点P(x,y)在直线2x+y-1=0上,则|MP|的最小值是()A.10 B.355 C.6答案B解析点M到直线2x+y-1=0的距离,即为|MP|的最小值,所以|MP|的最小值为|2+2-1|26.(多选)直线l过点B(3,3),若A(1,2)到直线l的距离为2,则直线l的方程可以为()A.3x+4y-21=0 B.4x+3y-21=0C.x=3 D.y=3答案AC解析当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=3满足条件.直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y-3=k(x-3),即kx-y+3-3k=0.由题意可得k-2+3-3kk2+1=2,所以直线l的方程为3x+4y-21=0.综上,可得直线l的方程为x=3或3x+4y-21=0.7.点P(2,3)到直线l:ax+y-2a=0的距离为d,则d的最大值为()A.3 B.4 C.5 D.7答案A解析直线方程可变形为y=-a(x-2),据此可知直线恒过定点M(2,0),当直线l⊥PM时,d有最大值,结合两点间的距离公式可得d的最大值为(2-2)28.点P(-1,1)到直线l:4x=3的距离是.

答案7解析点P(-1,1)到直线l的距离d=-1-34=9.倾斜角为60°,且与原点的距离是5的直线的方程为.

答案3x-y+10=0或3x-y-10=0解析因为直线斜率为tan60°=3,所以可设直线方程为y=3x+b,化为一般式得3x-y+b=0.由直线与原点的距离为5,得|0-0+b(3)2+所以b=±10.所以直线方程为3x-y+10=0或3x-y-10=0.10.已知直线l1:mx+y=4-3m,l2:2x+(m-1)y=-m,则原点O到l1距离的最大值是;若l1∥l2,则m=.

答案5-1解析直线l1:mx+y=4-3m过定点A(-3,4),原点到l1距离的最大值即为点A到原点的距离,则|AO|=(-3-0)2当m=1时,l1:y=-x+1,l2:x=-12,l1与l2不平行当m≠1时,l1:y=-mx+4-3m,l2:y=-2m-1x-∵l1∥l2,∴-2m-1=-11.求经过两直线l1:x-3y-4=0与l2:4x+3y-6=0的交点,且与点A(-3,1)的距离为5的直线l的方程.解法一由x解得x=2,y=-23①当l与x轴垂直时,方程为x=2,点A(-3,1)到l的距离d=|-3-2|=5,满足题意.②当l与x轴不垂直时,设斜率为k,则l的方程为y+23=k(x-2)即kx-y-2k-23=0由点A(-3,1)到l的距离为5,得-3k-1-2解得k=43∴l的方程为43x-y-83-2即4x-3y-10=0.综上,所求直线l的方程为x=2或4x-3y-10=0.法二设l的方程为4x+3y-6+λ(x-3y-4)=0,即(4+λ)x+(3-3λ)y-(6+4λ)=0.∵点A(-3,1)到l的距离为5,∴|-3(4+λ)+(3-3λ)-(6+4λ)|∴直线l的方程为x=2或4x-3y-10=0.二、综合运用12.(多选)已知在△ABC中,A(3,2),B(-1,5),点C在直线3x-y+3=0上.若△ABC的面积为10,则点C的坐标可以为()A.(-1,0) B.5C.(1,6) D.-答案AB解析由|AB|=5,△ABC的面积为10,得点C到直线AB的距离为4.设C(x,3x+3),利用点到直线的距离公式可求得x=-1或x=53故点C的坐标为(-1,0)或5313.在平面直角坐标系Oxy中,P是曲线y=x+4x(x>0)上的一个动点,则点P到直线x+y=0的距离的最小值是.答案4解析设Px,x+4则点P到直线x+y=0的距离d=x+x+4x2当且仅当2x=4x即x=2时取等号,故点P到直线x+y=0的距离的最小值是4.14.已知直线l经过直线2x+y-5=0与x-2y=0的交点,(1)点A(5,0)到l的距离为3,求l的方程;(2)求点A(5,0)到l的距离的最大值.解(1)经过两已知直线交点的直线系方程为(2x+y-5)+λ(x-2y)=0,即(2+λ)x+(1-2λ)y-5=0,∵点A(5,0)到l的距离为3,∴|10+5即2λ2-5λ+2=0,∴λ=2,或λ=12∴l的方程为x=2或4x-3y-5=0.(2)由2x+所以交点P的坐标为(2,1),如图,过P作任一直线l,设d