人教A版高中数学选择性必修一第二课时　空间中直线、平面的平行

第二课时空间中直线、平面的平行学习目标1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系.2.能用向量方法判断或证明直线、平面间的平行关系.【引入】上节课,我们学习了用空间向量表示点、直线、平面等空间中的元素,直线的方向向量和平面的法向量是确定空间中的直线和平面的关键因素,那么,我们能否用这些向量来刻画空间中的平行和垂直关系呢?如果能的话,应该怎样刻画呢?今天,我们来探究如何用空间向量刻画平行问题.一、直线与直线平行探究1由直线与直线的平行关系,可以得到直线的方向向量具有什么关系?提示平行.两直线平行的判定方法设u1,u2分别是直线l1,l2的方向向量,则l1∥l2⇔u1∥u2⇔∃λ∈R,使得u1=λu2.温馨提示利用向量证明线线平行只需证明两条直线的方向向量共线即可.例1在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=3,AD=4,AA1=2,点M在棱BB1上,且BM=2MB1,点S在DD1上,且SD1=2SD,点N,R分别为A1D1,BC的中点,求证:MN∥RS.证明法一设AB=a,AD=b,AA1=则MN=MB1+B1A1+A1N=1RS=RC+CD+DS=12b-a+13∴MN=RS,∴MN∥RS.又∵R∉MN,∴MN∥RS.法二如图所示,建立空间直角坐标系Axyz,则根据题意得M3,0,43,N(0,2,2),R(3,2,∴MN=-3,RS=-3,∴MN=RS,∴MN∥RS.∵M∉RS,∴MN∥RS.思维升华证明两直线平行的方法(1)平行直线的传递性.(2)基向量法,分别取两条直线的方向向量m,n,证明m∥n,即m=λn.(3)坐标法,建立空间直角坐标系,把直线的方向向量用坐标表示,如m1=(x1,y1,z1),m2=(x2,y2,z2),即证明m1=λm2,即x1=λx2且y1=λy2且z1=λz2.训练1(链接教材P31T2)如图,在四面体ABCD中,E是BC的中点.直线AD上是否存在点F,使得AE∥CF?解假设直线AD上存在点F使AE∥CF,设AF=λAD(0≤λ≤1),AB=a,AC=b,AD=c,因为E是BC的中点,所以AE=12AB+12AC=12CF=AF-AC=λAD-AC=λc-b.若AE∥CF,则AE=mCF,即12a+12b=m(λc-b所以12a+12b=mλc-m即12a+12+mb-mλ所以12=0所以不存在点F,使得AE∥CF.二、直线与平面平行探究2如图,直线l与平面α平行,u是直线l的方向向量,n是平面α的法向量,u与n有什么关系?提示垂直.直线和平面平行的判定方法设u是直线l的方向向量,n是平面α的法向量,l⊄α,则l∥α⇔u⊥n⇔u·n=0.温馨提示(1)证明线面平行的关键看直线的方向向量与平面的法向量是否垂直.(2)特别强调直线在平面外.例2(链接教材P31T3)在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD是正方形,侧棱PD垂直于底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点.证明:PA∥平面EDB.证明如图所示,建立空间直角坐标系,D是坐标原点,设PD=DC=a.连接AC,交BD于点G,连接EG,依题意得D(0,0,0),A(a,0,0),P(0,0,a),E0,a2,a2,B(法一设平面BDE的法向量为n=(x,y,z),又DE=0,a2,a则有n即a2(令z=1,则x=1,y=-1,所以n=(1又PA=(a,0,-a),所以n·PA=(1,-1,1)·(a,0,-a)=a-a=0.所以n⊥PA.所以PA,DE,EB共面,又PA⊄平面EDB,所以PA∥平面EDB.法二因为四边形ABCD是正方形,所以G是此正方形的中心,故点G的坐标为a2所以EG=a2又PA=(a,0,-a),所以PA=2EG,则PA∥EG.而EG⊂平面EDB,且PA⊄平面EDB,所以PA∥平面EDB.法三假设存在实数λ,μ使得PA=λDE+μEB,即(a,0,-a)=λ0,a2,则有a解得λ所以PA=-DE+EB,所以PA,DE,EB共面.又PA⊄平面EDB,所以PA∥平面EDB.思维升华利用空间向量证明线面平行一般有三种方法(1)证明直线的方向向量与平面内任意两个不共线的向量共面,即可用平面内的一个基底表示.(2)证明直线的方向向量与平面内某一向量共线,转化为线线平行,利用线面平行判定定理得证.(3)先求直线的方向向量,然后求平面的法向量,证明直线的方向向量与平面的法向量垂直.训练2如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,D是AC的中点,求证:AB1∥平面DBC1.证明如图以A为坐标原点建立空间直角坐标系.设正三棱柱的底面边长为a(a>0),侧棱长为b(b>0),则A(0,0,0),B32a,a2C1(0,a,b),D0,∴AB1=BD=-3DC1=设平面DBC1的法向量为n=(x,y,z),则n·BD不妨令y=2b,则n=(0,2b,-a).由于AB1·n=ab-ab=0,因此AB又AB1⊄平面DBC1,∴AB1∥平面DBC1.三、平面与平面平行探究3如图,平面α,β平行,n1,n2分别是平面α,β的法向量,n1与n2具有什么关系?提示平行.平面和平面平行的判定方法设n1,n2分别是平面α,β的法向量,则α∥β⇔n1∥n2⇔∃λ∈R,使得n1=λn2.温馨提示证明面面平行时,必须说明两个平面不重合.例3(链接教材P43T12)如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H,M,N分别是正方体六个表面的中心,证明:平面EFG∥平面HMN.证明如图所示,建立空间直角坐标系,不妨设正方体的棱长为2,则E(1,1,0),F(1,0,1),G(2,1,1),H(1,1,2),M(1,2,1),N(0,1,1).∴EF=(0,-1,1),EG=(1,0,1),HM=(0,1,-1),HN=(-1,0,-1).设m=(x1,y1,z1),n=(x2,y2,z2)分别是平面EFG和平面HMN的法向量,由m·EF令x1=1,得m=(1,-1,-1).由n·HM令x2=1,得n=(1,-1,-1),于是有m=n,所以m∥n.又平面EFG与平面HMN无公共点,故平面EFG∥平面HMN.思维升华证明面面平行问题的方法(1)转化为相应的线线平行或线面平行.(2)分别求出这两个平面的法向量,然后证明这两个法向量平行.训练3如图,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD为等腰梯形,AB∥CD,AB=4,BC=CD=2,AA1=2,F是棱AB的中点.求证:平面AA1D1D∥平面FCC1.证明因为AB=4,BC=CD=2,F是棱AB的中点,所以BF=BC=CF,所以△BCF为正三角形.因为ABCD为等腰梯形,AB=4,BC=CD=2,所以∠BAD=∠ABC=60°.取AF的中点M,连接DM,则DM⊥AB,所以DM⊥CD.以D为原点,DM,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,则D(0,0,0),D1(0,0,2),A(3,-1,0),F(3,1,0),C(0,2,0),C1(0,2,2),所以DD1=(0,0,2),DA=(3,-1,CF=(3,-1,0),CC1=(0,0,所以DD1∥CC1,又DD1∩DA=D,CC1∩CF=C,DD1,DA⊂平面AA1D1D,CC1,CF⊂平面FCC1,所以平面AA1D1D∥平面FCC1.【课堂达标】1.若直线l1和l2的方向向量分别是a=(1,-1,2),b=(-2,2,-4),则()A.l1∥l2B.l1与l2相交C.l1与l2重合D.l1∥l2或l1与l2重合答案D解析∵b=-2a,∴l1与l2平行或重合.2.(多选)若直线l的方向向量为a,平面α的法向量为n,能使l∥α的是()A.a=(1,0,0),n=(0,-2,0)B.a=(1,3,5),n=(1,0,1)C.a=(0,2,1),n=(-1,0,-1)D.a=(1,-1,3),n=(0,3,1)答案AD解析若l∥α,则a·n=0.而A中a·n=0,B中a·n=1+5=6,C中a·n=-1,D中a·n=-3+3=0.故选AD.3.若两个不重合平面α,β的法向量分别为u=(1,2,-1),v=(-3,-6,3),则平面α,β的位置关系为.

答案α∥β解析∵v=-3u,∴v∥u,故α∥β.4.已知直线l∥平面ABC,且l的一个方向向量为a=(2,m,1),A(0,0,1),B(1,0,0),C(0,1,0),则实数m的值是.

答案-3解析∵l∥平面ABC,∴存在实数x,y,使a=xAB+yAC,AB=(1,0,-1),AC=(0,1,-1),∴(2,m,1)=x(1,0,-1)+y(0,1,-1)=(x,y,-x-y),∴2=x,m=课时精练一、基础巩固1.已知平面α的一个法向量为(1,2,-2),平面β的一个法向量为(-2,-4,k),若α∥β,则k等于()A.2 B.-4C.4 D.-2答案C解析因为α∥β,所以-21=-42=所以k=4.2.若直线l的一个方向向量为a=(2,5,7),平面α的一个法向量为u=(1,1,-1),则()A.l∥α或l⊂α B.l⊥αC.l⊂α D.l与α斜交答案A解析由条件知a·u=2×1+5×1+7×(-1)=0,所以a⊥u,故l∥α或l⊂α.故选A.3.在空间直角坐标系中,A(1,2,3),B(-2,-1,6),C(3,2,1),D(4,3,0),则直线AB与CD的位置关系是()A.垂直 B.平行C.异面 D.相交但不垂直答案B解析由题意得,AB=(-3,-3,3),CD=(1,1,-1),∴AB=-3CD,∴AB与CD共线,又AB与CD没有公共点,∴AB∥CD.4.已知两平行直线的方向向量分别为a=(4-2m,m-1,m-1),b=(4,2-2m,2-2m),则实数m的值为()A.1 B.3C.1或3 D.以上答案都不正确答案C解析由题意知a∥b.因为b=(4,2-2m,2-2m)≠0,所以“a∥b的充要条件是a=λb”,即4-2m=4λ,m当m≠1时,由m-1=λ(2-2m),得λ=-12代入4-2m=4λ,得m=3.综上,m的值为1或3.5.如图所示,在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为A1B和AC上的点,A1M=AN=23a,则MN与平面BB1C1C的位置关系是(A.相交 B.平行C.垂直 D.不能确定答案B解析如图,分别以C1B1,C1D1,C1C所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系.因为A1M=AN=23a所以Ma,23a所以MN=-a又C1(0,0,0),D1(0,a,0),所以C1D1=(0,a,0),所以MN·所以MN⊥C1因为C1D1是平面BB1C1C的一个法向量,且MN⊄平面BB1C所以MN∥平面BB1C1C.6.如图,正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直,以CD,CB,CE所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,若AB=2,AF=1,M在EF上,且AM∥平面BDE,则M点的坐标为()A.(1,1,1) B.2C.22,2答案C解析由已知得A(2,2,0),B(0,2,0),D(2,0,0),E(0,0,1).设M(x,x,1),则AM=(x-2,x-2,1),BD=(2,-2,0),BE=(0,-2,1).设平面BDE的法向量为n=(a,b,c),则n⊥BD所以a取b=1,则n=(1,1,2).又AM∥平面BDE,所以n·AM=0,即2(x-2)+2=0,得x=22所以M22,22,7.(多选)已知空间中两条不同的直线l,m,两个不同的平面α,β,则下列说法中正确的是()A.若直线l的一个方向向量为a=(1,-1,2),直线m的一个方向向量为b=(2,-2,4),则l∥mB.若直线l的方向向量为a=(0,1,-1),平面α的法向量为n=(1,-1,-1),则l∥αC.若平面α,β的法向量分别为n1=(0,1,3),n2=(1,0,2),则α∥βD.若平面α经过三个点A(1,0,-1),B(0,-1,0),C(-1,2,0),向量n=(1,u,t)是平面α的一个法向量,则u+t=5答案AD解析对于A,b=2a,则a∥b,∴l∥m,故A中说法正确;对于B,a·n=0×1+1×(-1)+(-1)×(-1)=0,则a⊥n,∴l∥α或l⊂α,故B中说法错误;对于C,若n1=λn2(λ≠0),则(0,1,3)=λ(1,0,2),得0=λ,∴α∥β不成立,故C中说法错误;对于D,AB=(-1,-1,1),BC=(-1,3,0),∵n=(1,u,t)是平面α的法向量,∴n解得u∴u+t=53,故D中说法正确.故选A,D8.若两不重合平面α,β的法向量分别为u=(2,-3,5),ν=-1,32,-52,则答案平行解析∵u=-2ν,∴α与β平行.9.设直线l的方向向量为a,平面α的法向量为n=(2,2,4),若a=(-1,-1,1),则直线l与平面α的位置关系为.

答案l∥α或l⊂α解析当a=(-1,-1,1)时,a·n=(-1,-1,1)·(2,2,4)=0,则l∥α或l⊂α.10.若平面α的法向量为u=(-1,2,4),平面β的法向量为v=(m,-1,-2),直线l的方向向量为t=(n,-2,-4),若α∥β,则m=,若l∥α,则n=.

答案12解析由α∥β,得u∥v,则m-1=-12=-24,解得m由l∥α,得t⊥u,即t·u=-n-4-16=0,得n=-20.11.如图,在正方体ABCD-A'B'C'D'中,点M,N分别是面对角线A'B与面对角线A'C'的中点.求证:MN∥侧面AD';MN∥AD',并且MN=12AD'证明设AB=a,AD=b,AA'=c,则AM=12(a+c),AN=c+12(a+b所以MN=AN-AM=12(b+c)即MN与b,c共面.因为MN不在平面AD'内,所以MN∥平面AD'.又因为b+c=AD',所以MN=12所以MN∥AD',MN=12AD'二、综合运用12.(多选)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,M均是所在棱的中点,则下列说法正确的是()A.B1G∥DMB.B1G∥平面A1EFC.平面BDM∥平面A1EFD.B1G∥A1F答案ABC解析以D为坐标原点,建立空间直角坐标系,如图,设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,则D(0,0,0),G(0,1,0),M(2,1,2),E(2,1,0),F(1,0,0),B(2,2,0),A1(2,0,2),B1(2,2,2),所以B1G=(-2,-1,-2),DM=(2,1,所以DM=-B1G,即DM∥即B1G∥DM,故A正确;又A1E=(0,1,-2),A1F=(-1,设平面A1EF的法向量为n=(x,y,z),则n·A令z=1,则x=-2,y=2,所以n=(-2,2,1),所以n·B1G=(-2)×(-2)+2×(-1)+1×(-2)=0,即n⊥又B1G⊄平面A1EF,所以B1G∥平面A1EF,故B正确;又DM=(2,1,2),DB=(2,2,0),设平面BDM的法向量为m=(x1,y1,z1),则m·DB令x1=2,则y1=-2,z1=-1,所以m=(2,-2,-1),所以n=-m,即n∥m,所以平面BDM∥平面A1EF,故C正确;因为B1G=(-2,-1,A1F=(-1,0,所以B1G和A1F不平行,故D错误.13.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O1,O2分别是正方形BCC1B1、正方形DCC1D1的中心,则O1O2与B1D1的位置关系是.

答案平行解析如图所示,分别以DA,DC,DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Dxyz,设正方体的棱长为1,则O112,1,12,O20,12D1(0,0,1),则O1O2B1D1=(-1,-1∴B1D1=2O1O∴O1O2∥B1D1.14.如图所示,在直角梯形ABCP中,AP∥BC,AP⊥AB,AB=BC=12AP=2,D是AP的中点,E,F,G分别为PC,PD,CB的中点,将△PCD沿CD折起,使得PD⊥平面ABCD.试用向量方法证明AP∥平面EFG证明如图,以D为原点,以DA,DC,DP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系Dxyz,则有关点及向量的坐标为:P(0,0,2),C(0,2,0),G(1,2,0),E(0,1,1),F(0,0,1),A(2,0,0),AP=(-2,0,2),EF=(0,-1,0),EG=(1,1,-1).设平面EFG的法向量为n=(x,y,z),∴n·EF∴x=z,y=0.令x=1,则z=1,∴n=(1∵n·AP=1×(-2)+0×0+1×2=0,∴n⊥AP.又AP⊄平面EFG,∴AP∥平面EFG.三、拓展提高15.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AD=1,E为CD的中点,点P在棱AA1上,且DP∥平面B1AE,则AP的长为.

答案1解析如图,以A为原点,AB,AD,AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系.设AB=a,AP=b,则A(0,0,0),