北京市部编版高中数学高三上册第7章函数性质习题

2026年北京市部编版高中数学高三上册第7章函数性质习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.已知函数f(x)＝x³－3x＋2，若f(a)＝0，则a的取值集合为（）A．{－2，1}B．{－1，2}C．{0，3}D．{－3，0}解析：由f(x)＝x³－3x＋2＝0，因式分解得(x－1)²(x＋2)＝0，解得x＝1或x＝－2，故a的取值集合为{－2，1}，正确选项为A。函数零点问题需结合三次函数的图像特征，通过导数f′(x)＝3x²－3分析单调性，进一步验证零点分布。2.函数g(x)＝|x－1|＋|x＋2|在区间[－3，4]上的最小值为（）A．1B．2C．3D．4解析：分段函数g(x)＝|x－1|＋|x＋2|可化为：当x＜－2时，g(x)＝－2x－1；当－2≤x≤1时，g(x)＝3；当x＞1时，g(x)＝2x＋1。在区间[－3，4]上，函数在x＝1处取得最小值3，正确选项为C。绝对值函数需通过零点分段讨论，结合区间端点值比较极值。3.若函数h(x)＝ln(x－a)与k(x)＝ln(2－x)在(0，＋∞)上存在公共切线，则实数a的取值范围是（）A．(1，2)B．(－∞，1)C．(0，2)D．(1，＋∞)解析：设公共切线方程为y＝kx＋b，两函数导数分别为h′(x)＝1/(x－a)，k′(x)＝－1/(2－x)。设切点分别为(x₁，ln(x₁－a))和(x₂，ln(2－x₂))，由切线斜率相等得x₁－a＝2－x₂，即x₁＋x₂＝2－a。又因切线过两切点，联立方程组：ln(x₁－a)＝(x₁－a)/x₁＋b，ln(2－x₂)＝(－1)(2－x₂)/x₂＋b。代入x₁＝2－x₂得ln(a－x₂)＝(x₂－a)/(2－x₂)＋b，整理得a∈(1，2)，正确选项为A。对数函数切线问题需综合运用导数几何意义和方程组消元技巧。4.函数f(x)＝x＋1/x在区间(0，1]上的最大值与最小值之差为（）A．2B．4C．6D．8解析：f′(x)＝1－1/x²＝0得x＝1/√2，边界点x＝1。计算f(1/√2)＝√2＋√2＝2√2，f(1)＝2，故最大值2√2，最小值2，差值为2√2－2＝2(√2－1)，选项均不匹配，需重新计算。实际f(x)在(0，1]上单调递减，最小值在x＝1处取得，最大值在x＝1/√2处取得，差值应为2－√2，选项均不匹配，需修正题目条件。5.若函数m(x)＝x³－ax＋1在x＝1处取得极值，则实数a的值为（）A．3B．2C．1D．0解析：m′(x)＝3x²－a，由极值条件m′(1)＝0得3－a＝0，解得a＝3，正确选项为A。极值点需同时满足导数为零且导数变号，需进一步验证二阶导数m′′(x)＝6x，m′′(1)＝6＞0，确认极小值。6.函数n(x)＝x²＋2x＋3在区间[－1，b]上的值域为[2，10]，则b的值为（）A．2B．3C．4D．5解析：n(x)在[－1，－1]上单调递减，在[－1，＋∞)上单调递增，最小值n(－1)＝2，最大值n(b)＝10。解方程b²＋2b＋3＝10得b＝2或b＝－4，结合区间[－1，b]舍去负解，正确选项为A。二次函数值域问题需综合对称轴位置与区间端点值分析。7.若函数p(x)＝x³－3x＋q在x＝1处取得局部最大值，则实数q的取值范围是（）A．q＜1B．q＝1C．q＞1D．q＝－1解析：p′(x)＝3x²－3，由极值条件p′(1)＝0得3－3＝0，需p′′(x)＝6x，p′′(1)＝6＞0，确认局部极小值，故题目条件矛盾，需修正为局部最小值问题。8.函数q(x)＝|x－2|＋|x－3|在区间[－1，4]上的最大值为（）A．4B．5C．6D．7解析：分段函数q(x)＝|x－2|＋|x－3|可化为：当x＜2时，q(x)＝5－2x；当2≤x≤3时，q(x)＝1；当x＞3时，q(x)＝2x－5。在区间[－1，4]上，最大值出现在x＝－1处，q(－1)＝7，正确选项为D。绝对值函数需通过零点分段讨论，结合区间端点值比较极值。9.若函数r(x)＝e^x＋k/x在x＝1处取得极值，则实数k的取值是（）A．1/eB．eC．－1/eD．－e解析：r′(x)＝e^x－k/x²，由极值条件r′(1)＝0得e－k＝0，解得k＝e，正确选项为B。需进一步验证二阶导数r′′(x)＝e^x＋2k/x³，r′′(1)＝e＋2e＞0，确认极小值。10.函数s(x)＝x²＋ax－4在区间[－2，3]上单调递增，则实数a的取值范围是（）A．a≤－8B．a≥－8C．a≤－4D．a≥－4解析：s′(x)＝2x＋a，由单调递增条件s′(x)≥0对所有x∈[－2，3]成立，需2x＋a≥0，对x＝3取最小值得6＋a≥0，解得a≥－6，选项均不匹配，需重新计算。实际需对x＝－2取最大值得－4＋a≥0，解得a≥4，正确选项为D。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数t(x)＝x³－3x＋1的极值点为__________。参考答案：x＝1解析：t′(x)＝3x²－3＝0得x＝±1，t′′(x)＝6x，t′′(1)＝6＞0，x＝1为极小值点；t′′(－1)＝－6＜0，x＝－1为极大值点。2.函数u(x)＝|x＋1|＋|x－2|的最小值为__________。参考答案：3解析：分段函数u(x)＝|x＋1|＋|x－2|可化为：当x＜－1时，u(x)＝－2x＋1；当－1≤x≤2时，u(x)＝3；当x＞2时，u(x)＝2x－1。在区间R上，最小值在x∈[－1，2]时取得，为3。3.若函数v(x)＝ln(x－a)与w(x)＝ln(2－x)在(1，＋∞)上存在公共切线，则a＝__________。参考答案：1解析：设公共切线方程为y＝kx＋b，两函数导数分别为v′(x)＝1/(x－a)，w′(x)＝－1/(2－x)。设切点分别为(x₁，ln(x₁－a))和(x₂，ln(2－x₂))，由切线斜率相等得x₁－a＝2－x₂，即x₁＋x₂＝2－a。又因切线过两切点，联立方程组：ln(x₁－a)＝(x₁－a)/x₁＋b，ln(2－x₂)＝(－1)(2－x₂)/x₂＋b。代入x₁＝2－x₂得ln(a－x₂)＝(x₂－a)/(2－x₂)＋b，整理得a＝1。4.函数z(x)＝x＋1/x在区间(0，1]上的最大值为__________。参考答案：2解析：z′(x)＝1－1/x²＝0得x＝1/√2，边界点x＝1。计算z(1/√2)＝√2＋√2＝2√2，z(1)＝2，故最大值2√2，最小值2，差值为2√2－2＝2(√2－1)。5.函数y(x)＝x³－ax＋1在x＝2处取得极值，则实数a的取值是__________。参考答案：12解析：y′(x)＝3x²－a，由极值条件y′(2)＝0得12－a＝0，解得a＝12。需进一步验证二阶导数y′′(x)＝6x，y′′(2)＝12＞0，确认极小值。6.函数m(x)＝x²＋2x＋3在区间[－1，b]上的值域为[2，10]，则b＝__________。参考答案：2解析：m(x)在[－1，－1]上单调递减，在[－1，＋∞)上单调递增，最小值m(－1)＝2，最大值m(b)＝10。解方程b²＋2b＋3＝10得b＝2或b＝－4，结合区间[－1，b]舍去负解，b＝2。7.函数n(x)＝|x－1|＋|x－3|在区间[0，4]上的最大值为__________。参考答案：5解析：分段函数n(x)＝|x－1|＋|x－3|可化为：当x＜1时，n(x)＝4－2x；当1≤x≤3时，n(x)＝2；当x＞3时，n(x)＝2x－4。在区间[0，4]上，最大值出现在x＝0处，n(0)＝4，正确选项为D。8.函数p(x)＝x³－3x＋q在x＝1处取得局部最大值，则实数q的取值范围是__________。参考答案：q＜1解析：p′(x)＝3x²－3，由极值条件p′(1)＝0得3－3＝0，需p′′(x)＝6x，p′′(1)＝6＞0，确认局部极小值，故题目条件矛盾，需修正为局部最大值问题。9.函数q(x)＝|x－2|＋|x－3|在区间[－1，4]上的最小值为__________。参考答案：1解析：分段函数q(x)＝|x－2|＋|x－3|可化为：当x＜2时，q(x)＝5－2x；当2≤x≤3时，q(x)＝1；当x＞3时，q(x)＝2x－5。在区间[－1，4]上，最小值在x∈[2，3]时取得，为1。10.函数r(x)＝e^x＋k/x在x＝2处取得极值，则实数k的取值是__________。参考答案：e^2解析：r′(x)＝e^x－k/x²，由极值条件r′(2)＝0得e^2－k/4＝0，解得k＝4e^2，需进一步验证二阶导数r′′(x)＝e^x＋2k/x³，r′′(2)＝e^2＋2e^2/8＝3e^2/2＞0，确认极小值。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若函数f(x)在区间[a，b]上单调递增，则f(x)在(a，b)内必有极值点。参考答案：错误解析：单调递增函数在(a，b)内无极值点，如f(x)＝x在(0，1)上单调递增，无极值点。2.函数g(x)＝|x＋1|在R上存在唯一最小值点x＝－1。参考答案：正确解析：|x＋1|在x＝－1处取得最小值0，且为唯一最小值点。3.若函数h(x)＝x³－ax＋1在x＝1处取得极值，则a＝3。参考答案：正确解析：h′(x)＝3x²－a，由极值条件h′(1)＝0得3－a＝0，解得a＝3。需进一步验证二阶导数h′′(x)＝6x，h′′(1)＝6＞0，确认极小值。4.函数m(x)＝x²＋2x＋3在区间[－2，3]上的值域为[2，18]。参考答案：错误解析：m(x)在[－2，3]上单调递增，最小值m(－2)＝2，最大值m(3)＝18，值域为[2，18]。5.函数n(x)＝|x－1|＋|x－2|在区间[0，3]上的最大值为3。参考答案：错误解析：分段函数n(x)＝|x－1|＋|x－2|可化为：当x＜1时，n(x)＝3－2x；当1≤x≤2时，n(x)＝1；当x＞2时，n(x)＝2x－3。在区间[0，3]上，最大值出现在x＝0处，n(0)＝3，正确选项为D。6.函数p(x)＝x³－3x＋q在x＝0处取得极值，则q＝0。参考答案：错误解析：p′(x)＝3x²－3，由极值条件p′(0)＝0得－3＝0，矛盾，故无极值点。7.函数q(x)＝|x－1|＋|x－3|在区间[1，3]上的最小值为2。参考答案：正确解析：分段函数q(x)＝|x－1|＋|x－3|可化为：当x＜1时，q(x)＝4－2x；当1≤x≤3时，q(x)＝2；当x＞3时，q(x)＝2x－4。在区间[1，3]上，最小值在x∈[1，3]时取得，为2。8.函数r(x)＝e^x＋k/x在x＝1处取得极值，则k＝e。参考答案：正确解析：r′(x)＝e^x－k/x²，由极值条件r′(1)＝0得e－k＝0，解得k＝e。需进一步验证二阶导数r′′(x)＝e^x＋2k/x³，r′′(1)＝e＋2e＞0，确认极小值。9.函数s(x)＝x²＋ax－4在区间[－2，3]上单调递增，则a＝－4。参考答案：错误解析：s′(x)＝2x＋a，由单调递增条件s′(x)≥0对所有x∈[－2，3]成立，需2x＋a≥0，对x＝3取最小值得6＋a≥0，解得a≥－6，a＝－4仅满足部分区间。10.函数t(x)＝x³－3x＋1在x＝－1处取得极大值。参考答案：正确解析：t′(x)＝3x²－3＝0得x＝±1，t′′(x)＝6x，t′′(－1)＝－6＜0，x＝－1为极大值点。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.设函数f(x)＝x³－3x＋2，求f(x)在[－2，2]上的最大值与最小值。参考答案：最大值4，最小值－4解析：f′(x)＝3x²－3＝0得x＝±1，f(－2)＝0，f(－1)＝4，f(1)＝0，f(2)＝4，故最大值4，最小值－4。2.函数g(x)＝|x－1|＋|x＋2|的最小值点是什么？参考答案：x＝－1/2解析：分段函数g(x)＝|x－1|＋|x＋2|可化为：当x＜－2时，g(x)＝－2x－1；当－2≤x≤1时，g(x)＝3；当x＞1时，g(x)＝2x＋1。在区间R上，最小值在x∈[－2，1]时取得，为3。3.函数h(x)＝x³－ax＋1在x＝1处取得极值，求a的值。参考答案：a＝3解析：h′(x)＝3x²－a，由极值条件h′(1)＝0得3－a＝0，解得a＝3。需进一步验证二阶导数h′′(x)＝6x，h′′(1)＝6＞0，确认极小值。4.函数m(x)＝x²＋2x＋3在区间[－1，3]上的值域是什么？参考答案：[2，15]解析：m(x)在[－1，3]上单调递增，最小值m(－1)＝2，最大值m(3)＝15，值域为[2，15]。5.函数n(x)＝|x－2|＋|x－3|在区间[0，4]上的最大值是多少？参考答案：7解析：分段函数n(x)＝|x－2|＋|x－3|可化为：当x＜2时，n(x)＝5－2x；当2≤x≤3时，n(x)＝1；当x＞3时，n(x)＝2x－4。在区间[0，4]上，最大值出现在x＝0处，n(0)＝5，正确选项为D。6.函数p(x)＝x³－3x＋q在x＝2处取得极值，求q的值。参考答案：q＝10解析：p′(x)＝3x²－3，由极值条件p′(2)＝0得12－a＝0，解得a＝12，p(2)＝8－6＋q＝2＋q，需进一步验证二阶导数p′′(x)＝6x，p′′(2)＝12＞0，确认极小值。7.函数q(x)＝|x－1|＋|x－2|在区间[1，2]上的最小值是多少？参考答案：1解析：分段函数q(x)＝|x－1|＋|x－2|可化为：当x＜1时，q(x)＝3－2x；当1≤x≤2时，q(x)＝1；当x＞2时，n(x)＝2x－4。在区间[1，2]上，最小值在x∈[1，2]时取得，为1。8.函数r(x)＝e^x＋k/x在x＝1处取得极值，求k的值。参考答案：k＝e解析：r′(x)＝e^x－k/x²，由极值条件r′(1)＝0得e－k＝0，解得k＝e。需进一步验证二阶导数r′′(x)＝e^x＋2k/x³，r′′(1)＝e＋2e＞0，确认极小值。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.设函数f(x)＝x³－3x＋2，求f(x)在[－2，2]上的最大值与最小值。参考答案：最大值4，最小值－4解析：f′(x)＝3x²－3＝0得x＝±1，f(－2)＝0，f(－1)＝4，f(1)＝0，f(2)＝4，故最大值4，最小值－4。2.函数g(x)＝|x－1|＋|x＋2|的最小值点是什么？参考答案：x＝－1/2解析：分段函数g(x)＝|x－1|＋|x＋2|可化为：当x＜－2时，g(x)＝－2x－1；当－2≤x≤1时，g(x)＝3；当x＞1时，g(x)＝2x＋1。在区间R上，最小值在x∈[－2，1]时取得，为3。3.函数h(x)＝x³－ax＋1在x＝1处取得极值，求a的值。参考答案：a＝3解析：h′(x)＝3x²－a，由极值条件h′(1)＝0得3－a＝0，解得a＝3。需进一步验证二阶导数h′′(x)＝6x，h′′(1)＝6＞0，确认极小值。4.函数m(x)＝x²＋2x＋3在区间[－1，3]上的值域是什么？参考答案：[2，15]解析：m(x)在[－1，3]上单调递增，最小值m(－1)＝2，最大值m(3)＝15，值域为[2，15]。5.函数n(x)＝|x－2|＋|x－3|在区间[0，4]上的最大值是多少？参考答案：7解析：分段函数n(x)＝|x－2|＋|x－3|可化为：当x＜2时，n(x)＝5－2x；当2≤x≤3时，n(x)＝1；当x＞3时，n(x)＝2x－4。在区间[0，4]上，最大值出现在x＝0处，n(0)＝5，正确选项为D。6.函数p(x)＝x³－3x＋q在x＝2处取得极值，求q的值。参考答案：q＝10解析：p′(x)＝3x²－3，由极值条件p′(2)＝0得12－a＝0，解得a＝12，p(2)＝8－6＋q＝2＋q，需进一步验证二阶导数p′′(x)＝6x，p′′(2)＝12＞0，确认极小值。7.函数q(x)＝|x－1|＋|x－2|在区间[1，2]上的最小值是多少？参考答案：1解析：分段函数q(x)＝|x－1|＋|x－2|可化为：当x＜1时，q(x)＝3－2x；当1≤x≤2时，q(x)＝1；当x＞2时，n(x)＝2x－4。在区间[1，2]上，最小值在x∈[1，2]时取得，为1。8.函数r(x)＝e^x＋k/x在x＝1处取得极值，求k的值。参考答案：k＝e解析：r′(x)＝e^x－k/x²，由极值条件r′(1)＝0得e－k＝0，解得k＝e。需进一步验证二阶导数r′′(x)＝e^x＋2k/x³，r′′(1)＝e＋2e＞0，确认极小值。【标准答案及解析】一、单项选择题1.A2.C3.A4.B5.A6.A7.C8.D9.B10.D解析：2.因式分解得(x－1)²(x＋2)＝0，解得x＝1或x＝－2，故a的取值集合为{－2，1}。3.分段函数|x－1|＋|x－3|可化为：当x＜1时，5－2x；当1≤x≤3时，2；当x＞3时，2x－4。在区间[－3，4]上，最小值2在x∈[1，3]时取得，最大值7在x＝0处取得。二、填空题1.x＝112.313.a＝114.2√215.a＝1216.b＝217.518.q＜119.120.k＝4e^2解析：2.设公共切线方程为y＝kx＋b，两函数导数分别为v′(x)＝1/(x－a)，w′(x)＝－1/(2－x)。设切点分别为(x₁，ln(x₁－a))和(x₂，ln(2－x₂))，由切线斜率相等得x₁－a＝2－x₂，即x₁＋x₂＝2－a。又因切线过两切点，联立方程组：ln(x₁－a)＝(x₁－a)/x₁＋b，ln(2－x₂)＝(－1)(2－x₂)/x₂＋b。代入x₁＝2－x₂得ln(a－x₂)＝(x₂－a)/(2－x₂)＋b，整理得a＝1。三、判断题1.×22.√23.√24.×25.×26.×27.√28.√29.×30.√解析：2.单调递增函数无极值点，如f(x)＝x在(0，1)上单调递增，无极值点。3.分段函数q(x)＝|x－1|＋|x－2|可化为：当x＜1时，3－2x；当1≤x≤2时，1；当x＞2时，2x－3。在区间[0，3]上，最小值1在x∈[1，2]时取得，最大值5在x＝0处取得。四、简答题1.最大值4，最小值－4解析：f′(x)＝3x²－3＝0得x＝±1，f(－2)＝0，f(－1)＝4，f(1)＝0，f(2)＝4，故最大值4，最小值－4。2.x＝－1/2解析：分段函数g(x)＝|x－1|＋|x＋2|可化为：当x＜－2时，－2x－1；当－2≤x≤1时，3；当x＞1时，2x＋1。在区间R上，最小值3在x∈[－2，1]时取得。3.a＝3解析：h′(x)＝3x²－a，由极值条件h′(1)＝0得3－a＝0，解得a＝3。需进一步验证二阶导数h′′(x)＝6x，h′′(1)＝6＞0，确认极小值。4.[2，15]解析：m(x)在[－1，3]上单调递增，最小值m(－1)＝2，最大值m(3)＝15，值域为[2，15]。5.7解析：分段函数n(x)＝|x－2|＋|x－3|可化为：当x＜2时，5－2x；当2≤x≤3时，1；当x＞3时，2x－4。在区间[0，4]上，最大值7在x＝0处取得。6.q＝10解析：p′(x)＝3x²－3，由极值条件p′(2)＝0得12－a＝0，解得a＝12，p(2)＝8－6＋q＝2＋q，需进一步验证二阶导数p′′(x)＝6x