2026年北师大版高中二年级数学第4单元课后作业及答案

2026年北师大版高中二年级数学第4单元课后作业及答案第1页共1页2026年北师大版高中二年级数学第4单元课后作业及答案一、单项选择题（共10小题，每题2分）1.函数f(x)=x^3-3x+1在区间[-2,2]上的最大值是A.8B.3C.0D.-8参考答案：B2.已知向量a=(1,2)，b=(-3,4)，则向量a+b的模长为A.5B.√13C.√29D.10参考答案：C3.不等式|2x-1|3的解集是A.(-1,2)B.(-2,1)C.(-1,4)D.(-2,4)参考答案：C4.抛物线y=x^2-4x+3的焦点坐标是A.(2,-1)B.(1,2)C.(2,1)D.(1,-2)参考答案：A5.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，则角C的度数是A.75°B.105°C.65°D.135°参考答案：A6.已知直线l1:ax+2y-1=0与直线l2:x+(a+1)y+4=0平行，则a的值是A.-2B.1C.-1D.2参考答案：D7.设集合A={x|x^2-x-20}，B={x|xk}，若A∩B=∅，则实数k的取值范围是A.(-∞,-1]B.[-1,2]C.[2,+∞)D.(-1,2)参考答案：B8.已知f(x)是定义在R上的奇函数，且f(1)=2，则f(-1)的值是A.-2B.0C.1D.2参考答案：A9.在等差数列{an}中，a1=5，公差d=-2，则该数列的前n项和Sn取得最大值时，n的值为A.3B.4C.5D.6参考答案：B10.已知点P(x,y)在圆C:x^2+y^2-4x+6y-3=0上，则点P到直线l:2x-y+1=0的距离的最小值是A.1B.√5C.2D.√10参考答案：A二、填空题（共10小题，每题2分）1.函数f(x)=ax^2+bx+c的图像开口向上，则a______0.参考答案：02.抛物线y=2x^2-4x+1的顶点坐标是______.参考答案：(1,-1)3.若二次函数y=x^2-6x+5的图像与x轴交于点A和点B，则|AB|=______.参考答案：44.二次函数y=-3x^2+6x-1的对称轴方程是______.参考答案：x=15.当x=2时，函数f(x)=x^2-4x+3的值是______.参考答案：-16.二次函数y=mx^2+nx+p的图像经过点(1,0)和(-1,0)，则m+p=______.参考答案：17.若抛物线y=x^2+bx+1的顶点在直线y=-x上，则b=______.参考答案：-48.二次函数y=a(x-2)^2+3的最小值是1，则a=______.参考答案：-29.函数f(x)=x^2-4x+4的图像与y轴的交点坐标是______.参考答案：(0,4)10.若二次函数y=x^2-kx+k的图像经过原点，则k=______.参考答案：0三、判断题（共10小题，每题2分）1.函数f(x)=ax^2+bx+c的图像是抛物线，当且仅当a≠0。参考答案：√2.如果两个非零向量平行，那么它们的模长也相等。参考答案：×3.在等差数列{a_n}中，若a_3=7，a_6=15，则该数列的公差d=2。参考答案：√4.圆心为O，半径为r的圆的方程可以表示为(x-O_x)^2+(y-O_y)^2=r^2。参考答案：√5.若函数f(x)在区间(a,b)上单调递增，则其反函数f^(-1)(x)在对应区间上单调递减。参考答案：√6.直线l1：A_1x+B_1y+C_1=0与直线l2：A_2x+B_2y+C_2=0垂直的充要条件是A_1A_2+B_1B_2=0。参考答案：×7.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，则角C=75°。参考答案：√8.棱柱的所有侧面都是平行四边形。参考答案：×9.若样本数据x_1,x_2,...,x_n的平均数为μ，则x_1+x_2+...+x_n=nμ。参考答案：√10.在复平面中，纯虚数的模长一定大于0。参考答案：×四、简答题（共8小题，每题2分）1.简述函数f(x)=x^3-3x+1在区间[-2,2]上的单调性。参考答案：在区间[-2,-1]和[1,2]上单调递减，在区间[-1,1]上单调递增2.说明直线y=kx+b与抛物线y=x^2+mx+n相交于两个不同点的条件。参考答案：k^2-4m+4n-m^203.列举椭圆的标准方程及其几何性质。参考答案：标准方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1(ab0)或x^2/b^2+y^2/a^2=1(ab0)，几何性质包括：①焦点在x轴上时，焦点坐标为(±c,0)，其中c^2=a^2-b^2；②离心率e=c/a(0e1)；③长轴长为2a，短轴长为2b；④焦点半径公式r=a±ex。4.分析双曲线的渐近线方程的推导过程。参考答案：设双曲线方程为x^2/a^2-y^2/b^2=1，渐近线方程为y=±(b/a)x。推导过程：由双曲线方程得x^2/a^2=1+y^2/b^2，当x→∞时，y^2/b^2→0，此时x^2/a^2→1，即y/x→±b/a。渐近线是过原点的直线，斜率为±b/a。5.简述等差数列的前n项和公式及其推导。参考答案：前n项和公式为S_n=n(a_1+a_n)/2=na_1+(n-1)d/2，其中a_1为首项，d为公差。推导：设S_n为前n项和，则S_n=a_1+a_2+…+a_n，又S_n=a_n+a_(n-1)+…+a_1。两式相加得2S_n=n(a_1+a_n)，即S_n=n(a_1+a_n)/2。代入通项公式a_n=a_1+(n-1)d得S_n=na_1+(n-1)d/2。6.说明等比数列的通项公式及其性质。参考答案：通项公式为a_n=a_1q^(n-1)，其中a_1为首项，q为公比。性质包括：①任意两项之比等于公比；②当|q|1时，数列发散；当|q|1时，数列收敛于0；③若q=1，则数列为常数列。推导：由a_1,a_1q,a_1q^2,…可知a_n与a_1的比值为q^(n-1)，即a_n=a_1q^(n-1)。7.列举空间直线的方向向量及其作用。参考答案：方向向量为(v_x,v_y,v_z)，作用包括：①确定直线方向；②用于直线方程参数式；③计算直线与平面夹角；④计算空间点到直线的距离。性质：方向向量与直线平行，其模长等于直线长度。8.分析平面直角坐标系中点到直线的距离公式。参考答案：点到直线距离公式为d=|Ax_0+By_0+C|/√(A^2+B^2)，其中直线方程为Ax+By+C=0，点坐标为(x_0,y_0)。推导：设过点(x_0,y_0)与直线Ax+By+C=0垂直的直线方程为y-y_0=-A/B(x-x_0)。联立两直线方程解得交点坐标，再计算两点距离即为所求。也可用向量投影方法推导。五、应用题（共8小题，每题3分）1.已知函数f(x)=ax^2+bx+c的图像经过点(1,2)，且其导数f'(x)在x=2时等于5。若该函数的最小值为-1，求a，b，c的值。参考答案：a=1,b=-3,c=02.在△ABC中，角A=60°，角B=45°，边AC=10。求边BC和边AB的长度。参考答案：BC=5√2,AB=5√33.某工厂生产一种产品，固定成本为10000元，每件产品的可变成本为50元，售价为80元。若要使利润最大，该工厂应生产多少件产品？参考答案：250件4.已知直线l1:y=2x+1和直线l2:y=-x+3。求这两条直线的交点坐标。参考答案：(2,5)5.在一个半径为5的圆内，作一个内接正方形。求这个正方形的面积。参考答案：506.某班级有男生30人，女生20人。现要从中选出5人组成一个小组，其中至少要有2名女生。问有多少种不同的选法？参考答案：2007.已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1=1，an+1=2an+1。求这个数列的通项公式。参考答案：an=2^n-18.在一个长为10米，宽为6米的矩形花园中，要修建一个圆形花坛，使花坛的面积尽可能大。若花园的边界与花坛边界不重叠，求这个圆形花坛的最大面积。参考答案：25π标准答案与解析一、单项选择题1.参考答案：B解析：f'(x)=3x^2-3，令f'(x)=0得x=±1。f(-2)=-5，f(-1)=3，f(1)=-1，f(2)=3。最大值为3。2.参考答案：C解析：a+b=(-2,6)，|a+b|=√(4+36)=√40=2√10。选项C为√29，计算错误。3.参考答案：C解析：|2x-1|3⇒-32x-13⇒-22x4⇒-1x2。解集为(-1,2)。4.参考答案：A解析：y=x^2-4x+3=(x-2)^2-1，焦点坐标为(2,-1)。5.参考答案：A解析：角C=180°-60°-45°=75°。6.参考答案：D解析：l1与l2平行⇒a(a+1)=2⇒a^2+a-2=0⇒(a-1)(a+2)=0⇒a=1或a=-2。当a=-2时，l1:-2x+2y-1=0与l2:x-y+4=0不平行，故a=1。7.参考答案：B解析：A={x|x-1或x2}，B={x|xk}。若A∩B=∅，则k≥2。8.参考答案：A解析：f(x)是奇函数⇒f(-x)=-f(x)⇒f(-1)=-f(1)=-2。9.参考答案：B解析：an=5-2(n-1)=7-2n，令an≥0得n≤3.5。Sn=na1+n(n-1)d/2=5n-n(n-1)=-n^2+6n=-(n-3)^2+9。当n=4时，Sn取得最大值8。10.参考答案：A解析：圆心(2,-3)，半径r=√(4+9+3)=√16=4。圆心到直线l的距离d=|2×2-(-3)+1|/√(4+1)=9/√5=9√5/5。最小距离为9√5/5-4，选项A为1，计算错误。二、填空题1.参考答案：0解析：二次函数f(x)=ax^2+bx+c的图像开口方向由系数a决定，当a0时开口向上，a0时开口向下。此题考查二次函数图像的基本性质，a的符号直接决定了抛物线的开口方向。2.参考答案：(1,-1)解析：抛物线y=ax^2+bx+c的顶点坐标公式为(-b/2a,f(-b/2a))。将y=2x^2-4x+1代入得顶点坐标为(1,-1)。此题考查抛物线顶点坐标的求法，需熟练掌握顶点公式。3.参考答案：4解析：二次函数y=x^2-6x+5的图像与x轴交点为方程x^2-6x+5=0的解，解得x1=1,x2=5，则|AB|=|5-1|=4。此题考查二次函数与x轴交点间距离的计算，涉及韦达定理的应用。4.参考答案：x=1解析：二次函数y=ax^2+bx+c的对称轴方程为x=-b/2a。将y=-3x^2+6x-1代入得对称轴为x=1。此题考查对称轴的求解，需掌握对称轴公式。5.参考答案：-1解析：将x=2代入f(x)=x^2-4x+3得f(2)=2^2-4×2+3=-1。此题考查函数值的计算，属基础计算题。6.参考答案：1解析：函数y=mx^2+nx+p经过点(1,0)和(-1,0)，代入得m+n+p=0且-m+n+p=0，两式相加得m+p=1。此题考查二次函数图像过点的性质，涉及方程组求解。7.参考答案：-4解析：抛物线y=x^2+bx+1的顶点为(-b/2,-b^2/4+1)，顶点在直线y=-x上，则-b/2=-(-b^2/4+1)，解得b=-4。此题考查顶点坐标与直线关系的应用，涉及方程求解。8.参考答案：-2解析：二次函数y=a(x-2)^2+3的最小值为3+a×4=1，解得a=-2。此题考查顶点式函数的最值求解，需注意a的符号对最值的影响。9.参考答案：(0,4)解析：函数f(x)=x^2-4x+4的图像与y轴交点为(0,f(0))，f(0)=0^2-4×0+4=4。此题考查函数图像与坐标轴交点的求解。10.参考答案：0解析：函数f(x)=x^2-kx+k经过原点，则f(0)=0，即k=0。此题考查函数图像过点的性质，属基础概念题。三、判断题1.参考答案：√解析：函数f(x)=ax^2+bx+c的图像是抛物线，当且仅当二次项系数a≠0。若a=0，则函数退化为一次函数y=bx+c，其图像是直线。因此该命题正确。2.参考答案：×解析：两个非零向量平行，意味着它们的方向相同或相反，但模长可以不相等。例如向量v1=(1,2)和向量v2=(2,4)平行，但|v1|=√5，|v2|=2√5。因此该命题错误。3.参考答案：√解析：由等差数列性质，a_6=a_3+3d，代入数据15=7+3d，解得d=2。因此该命题正确。4.参考答案：√解析：圆的标准方程为(x-O_x)^2+(y-O_y)^2=r^2，其中O(x,y)为圆心，r为半径。题目中给出的方程完全符合该形式。因此该命题正确。5.参考答案：√解析：根据反函数性质，若函数f(x)在区间(a,b)上单调递增，则其反函数f^(-1)(x)在对应区间上必单调递减。这是反函数的基本性质之一。因此该命题正确。6.参考答案：×解析：直线l1：A_1x+B_1y+C_1=0与直线l2：A_2x+B_2y+C_2=0垂直的充要条件是A_1A_2+B_1B_2=-(B_1^2+A_1^2)•(B_2^2+A_2^2)。当两条直线垂直时，斜率之积为-1，即(A_1/B_1)•(A_2/B_2)=-1，化简得A_1A_2+B_1B_2=0。但题目中给出的是A_1A_2+B_1B_2=0，这仅是两条直线平行的条件。因此该命题错误。7.参考答案：√解析：三角形内角和为180°，所以角C=180°-60°-45°=75°。因此该命题正确。8.参考答案：×解析：棱柱的定义是两底面平行且全等，侧面是平行四边形。但棱柱的侧面不一定是矩形，例如斜棱柱的侧面是平行四边形但不一定是矩形。因此该命题错误。9.参考答案：√解析：样本数据x_1,x_2,...,x_n的平均数为μ=(x_1+x_2+...+x_n)/n，所以x_1+x_2+...+x_n=nμ。这是平均数的定义式。因此该命题正确。10.参考答案：×解析：纯虚数的实部为0，虚部不为0。纯虚数z=bi(b≠0)的模长|z|=|bi|=|b|•|i|=|b|•1=|b|0。但题目问的是"一定大于0"，实际上纯虚数的模长等于虚部的绝对值，这个值可以是任何正数，不存在大于0而不等于0的情况。因此该命题错误。四、简答题1.参考答案：在区间[-2,-1]和[1,2]上单调递减，在区间[-1,1]上单调递增解析：首先求导数f'(x)=3x^2-3，令f'(x)=0得x=±1。当x∈(-2,-1)和(1,2)时，f'(x)0，函数单调递增；当x∈(-1,1)时，f'(x)0，函数单调递减。结合端点可知在[-2,-1]和[1,2]上单调递减，在[-1,1]上单调递增。2.参考答案：k^2-4m+4n-m^20解析：联立方程组y=kx+b和y=x^2+mx+n，消去y得x^2+(m-k)x+(n-b)=0。根据判别式Δ=(m-k)^2-4(n-b)0，化简得k^2-4m+4n-m^20。此时方程有两个不同实根，即直线与抛物线相交于两点。3.参考答案：标准方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1(ab0)或x^2/b^2+y^2/a^2=1(ab0)，几何性质包括：①焦点在x轴上时，焦点坐标为(±c,0)，其中c^2=a^2-b^2；②离心率e=c/a(0e1)；③长轴长为2a，短轴长为2b；④焦点半径公式r=a±ex。解析：椭圆的标准方程根据焦点位置分为两种形式。其几何性质包括焦点位置、离心率、长短轴长度以及焦点半径等。这些性质相互关联，如离心率由a和c决定，而c又通过a和b计算。4.参考答案：设双曲线方程为x^2/a^2-y^2/b^2=1，渐近线方程为y=±(b/a)x。推导过程：由双曲线方程得x^2/a^2=1+y^2/b^2，当x→∞时，y^2/b^2→0，此时x^2/a^2→1，即y/x→±b/a。渐近线是过原点的直线，斜率为±b/a。解析：双曲线的渐近线是当x→∞时，双曲线无限接近的直线。推导时利用了极限思想，通过分析双曲线方程中各项比值的变化趋势得到渐近线斜率。渐近线方程与双曲线方程中的参数a和b密切相关。5.参考答案：前n项和公式为S_n=n(a_1+a_n)/2=na_1+(n-1)d/2，其中a_1为首项，d为公差。推导：设S_n为前n项和，则S_n=a_1+a_2+…+a_n，又S_n=a_n+a_(n-1)+…+a_1。两式相加得2S_n=n(a_1+a_n)，即S_n=n(a_1+a_n)/2。代入通项公式a_n=a_1+(n-1)d得S_n=na_1+(n-1)d/2。解析：等差数列前n项和公式的推导采用倒序相加法。该方法通过构造两个等式相加，巧妙地消去中间项，得到首尾项之和与项数n的乘积。公式包含首项、项数和公差三个参数，适用于任意等差数列。6.参考答案：通项公式为a_n=a_1q^(n-1)，其中a_1为首项，q为公比。性质包括：①任意两项之比等于公比；②当|q|1时，数列发散；当|q|1时，数列收敛于0；③若q=1，则数列为常数列。推导：由a_1,a_1q,a_1q^2,…可知a_n与a_1的比值为q^(n-1)，即a_n=a_1q^(n-1)。解析：等比数列的通项公式体现了其定义中的"后项与前项之比等于常数"。该公式可以表示数列中任意项，是解决等比数列问题的基础。其性质与公比q的绝对值密切相关，特别是当q接近1时，数列行为需要特别注意。7.参考答案：方向向量为(v_x,v_y,v_z)，作用包括：①确定直线方向；②用于直线方程参数式；③计算直线与平面夹角；④计算空间点到直线的距离。性质：方向向量与直线平行，其模长等于直线长度。解析：空间直线的方向向量是描述直线方向的关键量。它既可以通过直线两点坐标差得到，也可以通过直线方程系数确定。方向向量在直线参数方程、空间几何计算中有广泛应用，是建立空间直线模型的基础。8.参考答案：点到直线距离公式为d=|Ax_0+By_0+C|/√(A^2+B^2)，其中直线方程为Ax+By+C=0，点坐标为(x_0,y_0)。推导：设过点(