2027届广东省湛江二十七中学九年级数学第一学期期末经典模拟试题含解析

2027届广东省湛江二十七中学九年级数学第一学期期末经典模拟试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题（每题4分，共48分）1．下列说法正确的是（）A．所有等边三角形都相似 B．有一个角相等的两个等腰三角形相似C．所有直角三角形都相似 D．所有矩形都相似2．实施新课改以来，某班学生经常采用“小组合作学习”的方式进行学习，学习委员小兵每周对各小组合作学习的情况进行了综合评分．下表是其中一周的统计数据：组别1234567分值90959088909285这组数据的中位数和众数分别是A．88，90 B．90，90 C．88，95 D．90，953．下列图形中，是中心对称图形的是（）A． B． C． D．4．反比例函数y＝﹣的图象在（）A．第一、三象限 B．第一、二象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限5．如图，线段AB两个端点的坐标分别是A（6，4），B（8，2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，则端点C的坐标为（）A．（3，2） B．（4，1） C．（3，1） D．（4，2）6．如图，桌面上放着1个长方体和1个圆柱体，按如图所示的方式摆放在一起，其左视图是（）A． B． C． D．7．方程x2﹣9＝0的解是（）A．3 B．±3 C．4.5 D．±4.58．如图，动点A在抛物线y＝-x2+2x+3（0≤x≤3）上运动，直线l经过点（0，6），且与y轴垂直，过点A作AC⊥l于点C，以AC为对角线作矩形ABCD，则另一对角线BD的取值范围正确的是（）A．2≤BD≤3 B．3≤BD≤6 C．1≤BD≤6 D．2≤BD≤69．下列运算中正确的是（）A．a2÷a＝a B．3a2+2a2＝5a4C．（ab2）3＝ab5 D．（a+b）2＝a2+b210．的值等于()A． B． C． D．11．在平面直角坐标系中，点，，过第四象限内一动点作轴的垂线，垂足为，且，点、分别在线段和轴上运动，则的最小值是（）A． B． C． D．12．如图是二次函数y=ax1+bx+c（a≠0）图象的一部分，对称轴是直线x=﹣1．关于下列结论：①ab<0；②b1﹣4ac>0；③9a﹣3b+c>0；④b﹣4a=0；⑤方程ax1+bx=0的两个根为x1=0，x1=﹣4，其中正确的结论有（）A．②③ B．②③④ C．②③⑤ D．②③④⑤二、填空题（每题4分，共24分）13．已知△ABC的三边长a=3，b=4，c=5，则它的内切圆半径是________14．在中，，点在直线上，，点为边的中点，连接，射线交于点，则的值为________.15．如图，在平面直角坐标系中，函数与的图象交于两点，过作轴的垂线，交函数的图象于点,连接，则的面积为_______.16．已知x=1是一元二次方程x2﹣3x+a=0的一个根，则方程的另一个根为_____.17．分式方程=1的解为_____18．如图，点D，E分别在AB、AC上，且∠ABC＝∠AED．若DE＝2，AE＝3，BC＝6，则AB的长为_____．三、解答题（共78分）19．（8分）如图，矩形ABCD中，AD=5，AB=7，点E为DC上一个动点，把△ADE沿AE折叠，当点D的对应点D'落在∠ABC的角平分线上时，DE的长为____．20．（8分）四边形ABCD是正方形，对角线AC，BD相交于点O．（1）如图1，点P是正方形ABCD外一点，连接OP，以OP为一边，作正方形OPMN，且边ON与边BC相交，连接AP，BN．①依题意补全图1；②判断AP与BN的数量关系及位置关系，写出结论并加以证明；（2）点P在AB延长线上，且∠APO=30°，连接OP，以OP为一边，作正方形OPMN，且边ON与BC的延长线恰交于点N，连接CM，若AB=2，求CM的长（不必写出计算结果，简述求CM长的过程）21．（8分）如图，正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC边上的点，AF与DE相交于点G，且AF＝DE.求证：(1)BF＝AE；(2)AF⊥DE.22．（10分）某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y（本）与每本纪念册的售价x（元）之间具有某种函数关系，其对应规律如下表所示售价x（元/本）…222324252627…销售量y（件）…363432302826…（1）请直接写出y与x的函数关系式：．（2）设该文店每周销售这种纪念册所获得的利润为W元，写出W与x之间的函数关系式，并求出该纪念册的销售单价定为多少元时，才能使文具店销售该纪念册每周所获利润最大？最大利润是多少？23．（10分）如图，在中，，，，平分交于点，过点作交于点，点是线段上的动点，连结并延长分别交，于点、.（1）求的长.（2）若点是线段的中点，求的值.（3）请问当的长满足什么条件时，在线段上恰好只有一点，使得?24．（10分）李老师将1个黑球和若干个白球放入一个不透明的口袋中并搅匀，让学生进行摸球试验，每次摸出一个球（放回），下表是活动进行中的一组统计数据．摸球的次数n1001502005008001000摸到黑球的次数m233160130203251摸到黑球的频率0.230.210.30_______________（1）补全上表中的有关数据，根据上表数据估计从袋中摸出一个黑球的概率是______．（结果都保留小数点后两位）（2）估算袋中白球的个数为________．（3）在（2）的条件下，若小强同学有放回地连续两次摸球，用画树状图或列表的方法计算出两次都摸出白球的概率．25．（12分）如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴相交于点A、B两点，与y轴相交于点C(0，﹣3)，抛物线的对称轴为直线x＝1．（1）求此二次函数的解析式；（2）若抛物线的顶点为D，点E在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称，直线AE交对称轴于点F，试判断四边形CDEF的形状，并证明你的结论．26．如图，AC是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，点P是⊙O外一点，连接PB、AB，∠PBA=∠C，（1）求证：PB是⊙O的切线；（2）连接OP，若OP∥BC，且OP=8，⊙O的半径为2，求BC的长．

参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、A【解析】根据等边三角形各内角为60°的性质、矩形边长的性质、直角三角形、等腰三角形的性质可以解题．【详解】解：A、等边三角形各内角为60°，各边长相等，所以所有的等边三角形均相似，故本选项正确；

B、一对等腰三角形中，若底角和顶角相等且不等于60°，则该对三角形不相似，故本选项错误；

C、直角三角形中的两个锐角的大小不确定，无法判定三角形相似，故本选项错误；

D、矩形的邻边的关系不确定，所以并不是所有矩形都相似，故本选项错误．

故选：A．本题考查了等边三角形各内角为60°，各边长相等的性质，考查了等腰三角形底角相等的性质，本题中熟练掌握等边三角形、等腰三角形、直角三角形、矩形的性质是解题的关键．2、B【解析】中位数是一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数）．由此将这组数据重新排序为85，88，1，1，1，92，95，∴中位数是按从小到大排列后第4个数为：1．众数是在一组数据中，出现次数最多的数据，这组数据中1出现三次，出现的次数最多，故这组数据的众数为1．故选B．3、D【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，逐一判断即可．【详解】解：A选项不是中心对称图形，故本选项不符合题意；B选项不是中心对称图形，故本选项不符合题意；C选项不是中心对称图形，故本选项不符合题意；D选项是中心对称图形，故本选项符合题意；故选D．此题考查的是中心对称图形的识别，掌握中心对称图形的定义是解决此题的关键．4、C【分析】根据反比例函数中k0,图像必过二、四象限即可解题.【详解】解：∵-10,根据反比例函数性质可知,反比例函数y=﹣的图象在第二、四象限,故选C.本题考查了反比例函数的图像和性质,属于简单题,熟悉反比例函数的性质是解题关键.5、A【解析】试题分析：∵线段AB的两个端点坐标分别为A（6，4），B（8，2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，∴端点C的横坐标和纵坐标都变为A点的一半，∴端点C的坐标为：（3，2）．故选A．考点：1．位似变换；2．坐标与图形性质．6、C【分析】根据左视图是从左面看所得到的图形进行解答即可．【详解】从左边看时，圆柱和长方体都是一个矩形，圆柱的矩形竖放在长方体矩形的中间．故选：C．本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．7、B【解析】根据直接开方法即可求出答案．【详解】解：∵x2﹣9＝0，∴x＝±3，故选：B．本题考察了直接开方法解方程，注意开方时有两个根，别丢根8、D【分析】根据题意先利用配方法得到抛物线的顶点坐标为（1，4），再根据矩形的性质得BD=AC，由于2≤AC≤1，从而进行分析得到BD的取值范围．【详解】解：∵，∴抛物线开口向下，顶点坐标为（1，4），∵四边形ABCD为矩形，∴BD=AC，∵直线l经过点（0，1），且与y轴垂直，抛物线y＝-x2+2x+3（0≤x≤3），∴2≤AC≤1，∴另一对角线BD的取值范围为：2≤BD≤1．故选：D．本题考查矩形的性质与二次函数图象上点的坐标特征，注意掌握二次函数图象上点的坐标满足其解析式．9、A【分析】根据合并同类项的法则，同底数幂的乘法与除法以，积的乘方和完全平方公式的知识求解即可求得答案．【详解】解：A、，故A选项正确；B、，故B选项错误；C、，故C选项错误；D、，故D选项错误．故选：A．本题考查合并同类项的法则，同底数幂的乘法与除法以，积的乘方和完全平方公式等知识，熟练掌握相关运算法则是解题的关键.10、D【分析】根据特殊角的三角函数即得．【详解】故选：D．本题考查特殊角的三角函数，解题关键是熟悉，及的正弦、余弦和正切值．11、B【分析】先求出直线AB的解析式，再根据已知条件求出点C的运动轨迹，由一次函数的图像及性质可知：点C的运动轨迹和直线AB平行，过点C作CE⊥AB交x轴于P，交AB于E，过点M（0，-3）作MN⊥AB于N根据垂线段最短和平行线之间的距离处处相等，可得此时CE即为的最小值，且MN=CE，然后利用锐角三角函数求MN即可求出CE.【详解】解：设直线AB的解析式为y=ax＋b（a≠0）将点，代入解析式，得解得：∴直线AB的解析式为设C点坐标为（x，y）∴CD=x，OD=-y∵∴整理可得：，即点C的运动轨迹为直线的一部分由一次函数的性质可知：直线和直线平行，过点C作CE⊥AB交x轴于P，交AB于E，过点M（0，-3）作MN⊥AB于N根据垂线段最短和平行线之间的距离处处相等，可得此时CE即为的最小值，且MN=CE，如图所示在Rt△AOB中，AB=，sin∠BAO=在Rt△AMN中，AM=6，sin∠MAN=∴CE=MN=，即的最小值是.故选：B.此题考查的是一次函数的图像及性质、动点问题和解直角三角形，掌握用待定系数法求一次函数的解析式、一次函数的图像及性质、垂线段最短和平行线之间的距离处处相等是解决此题的关键.12、D【分析】根据二次函数的图像与性质即可得出答案.【详解】由图像可知，a＜0，b＜0，故①错误；∵图像与x轴有两个交点∴，故②正确；当x=-3时，y=9a﹣3b+c，在x轴的上方∴y=9a﹣3b+c>0，故③正确；∵对称轴∴b-4a=0，故④正确；由图像可知，方程ax1+bx=0的两个根为x1=0，x1=﹣4，故⑤正确；故答案选择D.本题考查的是二次函数的图像与性质，难度系数中等，解题关键是根据图像判断出a，b和c的值或者取值范围.二、填空题（每题4分，共24分）13、1【解析】∵a=3，b=4，c=5，∴a2+b2=c2，∴∠ACB=90°，设△ABC的内切圆切AC于E，切AB于F，切BC于D，连接OE、OF、OD、OA、OC、OB，内切圆的半径为R，则OE=OF=OD=R，∵S△ACB=S△AOC+S△AOB+S△BOC，∴×AC×BC=×AC×OE+×AB×OF+×BC×OD，∴3×4=4R+5R+3R，解得：R=1.故答案为1.14、或【分析】分两种情况讨论：①当D在线段BC上时，如图1，过D作DH∥CE交AB于H．②当D在线段CB延长线上时，如图2，过B作BH∥CE交AD于H．利用平行线分线段成比例定理解答即可．【详解】分两种情况讨论：①当D在线段BC上时，如图1，过D作DH∥CE交AB于H．∵DH∥CE，∴．设BH=x，则HE=3x，∴BE=4x．∵E是AB的中点，∴AE=BE=4x．∵EM∥HD，∴．②当D在线段CB延长线上时，如图2，过B作BH∥CE交AD于H．∵DC=3DB，∴BC=2DB．∵BH∥CE，∴．设DH=x，则HM=2x．∵E是AB的中点，EM∥BH，∴，∴AM=MH=2x，∴．综上所述：的值为或．故答案为：或．本题考查了平行线分线段成比例定理．掌握辅助线的作法是解答本题的关键．15、6【分析】根据正比例函数y=kx与反比例函数的图象交点关于原点对称，可得出A、B两点坐标的关系，根据垂直于y轴的直线上任意两点纵坐标相同，可得出A、C两点坐标的关系，设A点坐标为（x，-），表示出B、C两点的坐标，再根据三角形的面积公式即可解答．【详解】∵正比例函数y=kx与反比例函数的图象交点关于原点对称，∴设A点坐标为(x,−),则B点坐标为(−x,),C(−2x,−)，∴S=×(−2x−x)⋅(−−)=×(−3x)⋅(−)=6.故答案为6.此题考查正比例函数的性质与反比例函数的性质，解题关键在于得出A、C两点.16、【解析】设方程另一个根为x，根据根与系数的关系得，然后解一次方程即可．【详解】设方程另一个根为x，根据题意得x+1=3，解得x=2.故答案为：x=2.本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟记公式是解决本题的关键.17、x=0.1【解析】分析：方程两边都乘以最简公分母，化为整式方程，然后解方程，再进行检验．详解：方程两边都乘以2（x2﹣1）得，8x+2﹣1x﹣1=2x2﹣2，解得x1=1，x2=0.1，检验：当x=0.1时，x﹣1=0.1﹣1=﹣0.1≠0，当x=1时，x﹣1=0，所以x=0.1是方程的解，故原分式方程的解是x=0.1．故答案为：x=0.1点睛：本题考查了解分式方程，（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根．18、1【分析】由角角相等证明△ABC∽△AED，其性质求得AB的长为1．【详解】如图所示：∵∠ABC＝∠AED，∠A＝∠A，∴△ABC∽△AED，∴，∴AB＝，又∵DE＝2，AE＝3，BC＝6，∴AB＝＝1，故答案为1．本题主要考查了相似三角形的判定与性质综合，属于基础题型.三、解答题（共78分）19、或．【分析】连接BD′，过D′作MN⊥AB，交AB于点M，CD于点N，作D′P⊥BC交BC于点P，先利用勾股定理求出MD′，再分两种情况利用勾股定理求出DE．【详解】解：如图，连接BD′，过D′作MN⊥AB，交AB于点M，CD于点N，作D′P⊥BC交BC于点P∵点D的对应点D′落在∠ABC的角平分线上，∴MD′=PD′，设MD′=x，则PD′=BM=x，∴AM=AB-BM=7-x，又折叠图形可得AD=AD′=5，∴x2+（7-x）2=25，解得x=3或1，即MD′=3或1．在Rt△END′中，设ED′=a，①当MD′=3时，AM=7-3=1，D′N=5-3=2，EN=1-a，∴a2=22+（1-a）2，解得a=，即DE=，②当MD′=1时，AM=7-1=3，D′N=5-1=1，EN=3-a，∴a2=12+（3-a）2，解得a=，即DE=．故答案为：或．本题主要考查了折叠问题，解题的关键是明确掌握折叠以后有哪些线段是对应相等的．20、（1）①图形见解析②AP=BN，AP⊥BN（2）答案见解析.【分析】(1)①根据题意作出图形即可；②结论：AP=BN，AP⊥BN，只要证明△APO≌△BNO即可；(2)在RT△CMS中，求出SM，SC即可解决问题．【详解】解：(1)①补全图形如图1所示，②结论：AP=BN，AP⊥BN．理由：延长NB交AP于H，交OP于K．∵四边形ABCD是正方形，∴OA=OB，AO⊥BO，∴∠1+∠2=90°，∵四边形OPMN是正方形，∴OP=ON，∠PON=90°，∴∠2+∠3=90°，∴∠1=∠3，在△APO和△BNO中，∴△APO≌△BNO，∴AP=BN，∴∠4=∠5，在△OKN中，∠5+∠6=90°，∵∠7=∠6，∴∠4+∠7=90°，∴∠PHK=90°，∴AP⊥BN．(2)作OT⊥AB于T，MS⊥BC于S，由题意可证△APO≌△BNO，AP=BN，∠OPA=ONB．由题意可知AT=TB=1，由∠APO=30°，可得PT=，BN=AP=+1，可得∠POT=∠MNS=60°．由∠POT=∠MNS=60°，OP=MN，可证，△OTP≌△NSM，∴PT=MS=，∴CN=BN﹣BC=﹣1，∴SC=SN﹣CN=2﹣，在RT△MSC中，CM2=MS2+SC2，∴CM=，可求．本题考查四边形综合题、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活应用这些知识解决问题，属于中考常考题型．21、(1)见解析;(2)见解析.【解析】（1）根据正方形的性质得到AD=AB，∠DAE=∠ABE=90°，根据全等三角形的性质即可得到结论；

（2）根据全等三角形的性质得到∠ADE=∠BAF，根据余角的性质即可得到结论．【详解】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AD=AB，∠DAE=∠ABE=90°，

在Rt△DAE与Rt△ABF中，AD＝ABDE＝AF，

∴Rt△DAE≌Rt△ABF（HL），

∴BF=AE；

（2）∵Rt△DAE≌Rt△ABF，

∴∠ADE=∠BAF，

∵∠ADE=∠AED=90°，

∴∠BAF=∠AEG=90°，

∴∠AGE=90°，

本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．22、（1）y＝﹣2x+2；（2）W＝﹣2x2+120x﹣1600；当该纪念册销售单价定为30元/件时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大，最大利润是200元【分析】（1）由表中数据可知，y是x的一次函数，设y=kx+b，代入表中的两组数据，即可得出函数解析式，再将其余数据验证一下更好；

（2）根据（售价-进价）×销售量=利润，列出函数关系式，再由二次函数的性质可得何时取最大值即可．【详解】（1）由表中数据可知，y是x的一次函数，设y＝kx+b，由题意得：解得∴y＝﹣2x+2检验：当x＝24时，y＝﹣2×24+2＝32；当x＝25时，y＝﹣2×25+2＝30；当x＝1时，y＝﹣2×1+2＝28；当x＝27时，y＝﹣2×27+2＝1．故y＝﹣2x+2符合要求．故答案为：y＝﹣2x+2．（2）W与x之间的函数关系式为：W＝（x﹣20）（﹣2x+2）＝﹣2x2+120x﹣1600＝﹣2（x﹣30）2+200，∵﹣2＜0∴当x＝30时，W的值最大，最大值为200元．∴W与x之间的函数关系式为W＝﹣2x2+120x﹣1600；当该纪念册销售单价定为30元/件时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大，最大利润是200元．本题考查了猜测函数关系式，并用待定系数法求解，以及二次函数在成本利润问题中的应用，明确成本利润之间的基本数量关系及二次函数的性质，是解题的关键．23、（1）；（2）；（3）当或时，满足条件的点只有一个.【解析】（1）由角平分线定义得，在中，根据锐角三角函数正切定义即可求得长.（2）由题意易求得，，由全等三角形判定得，根据全等三角形性质得，根据相似三角形判定得，由相似三角形性质得，将代入即可求得答案.（3）由圆周角定理可得是顶角为120°的等腰三角形，再分情况讨论：①当与相切时，结合题意画出图形，过点作，并延长与交于点，连结，，设半径为，由相似三角形的判定和性质即可求得长；②当经过点时，结合题意画出图形，过点作，设半径为，在中，根据勾股定理求得，再由相似三角形的判定和性质即可求得长；③当经过点时，结合题意画出图形，此时点与点重合，且恰好在点处，由此可得长.【详解】（1）解：∵平分，，∴．在中，（2）解：易得，，．由，得，．∵，∴，∴．由，得，∴∴（3）解：∵，过，，作外接圆，圆心为，∴是顶角为120°的等腰三角形.①当与相切时，如图1，过点作，并延长与交于点，连结，设的半径则，，解得．∴，．易知，可得，则∴．②当经过点时，如图2，过点作，垂足为．设的半径，则．在中，，解得，∴易知，可得③当经过点时，如图3，此时点与点重合，且恰好在点处，可得．综上所述，当或时，满足条件的点只有一个.本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，圆周角定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会利用特殊位置解决数学问题，属于中考压轴题．24、表格内数据：0.26，0.25，0.25（1）0.25；（2）1；（1）．【分析】(1)直接利用频数÷总数=频率求出答案;(2)设袋子中白球有x个,利用表格中数据估算出得到黑球的频率列出关于x的分式方程,【详解】（1）251÷1000=0.251;∵大量重复试验事件发生