国开《应用概率统计》综合作业1-4

国开《应用概率统计》综合作业1一、填空题（每题2分，共20分）1．已知随机事件A的概率P(A)=0.5，事件B的概率P(B)=0.6，条件概率P(B｜A)=0.8，则事件A∪B的概率P(A∪B)=答案：0.72．设在三次独立试验中，随机事件A在每次试验中出现的概率为1/3，则A至少出现一次的概率为答案：19/273．设随机事件A，B及其和事件A∪B的概率分别是0.4，0.3和0.6，则积事件AB的概率P(AB)=答案：0.34．一批产品共有10个正品和两个次品，任意抽取两次，每次抽一个，抽出后不再放回，则第二次抽出的是次品的概率为答案：1/55．设10件产品中有4件不合格品，从中任取2件，已知所取2件产品中有一件是不合格品，则另1件也是不合格品的概率为答案：0.26．设随机变量X~N(3,σ²)，且P(3<X<5)=0.3，则P(X<1)=答案：0.27．设随机变量X绝对值不大于1，且P(X=-1)=1/8，P(X=1)=1/4，则P(-1<X<1)=答案：7/168．设随机变量X的密度函数为f(x)={2x,0<x<1；0，其他}，以Y表示对X的三次独立重复观察中事件{X≤1/2}出现的次数，则P{Y=2}=答案：9/649．设随机变量X的概率分布为P(X=1)=0.2，P(X=2)=0.3，P(X=3)=0.5，则随机变量X的分布函数F(x)答案：F(x)=0，x<10.2，1≤x<20.5，2≤x<31，x≥310．设随机变量X的密度函数为f(x)=1/[π(1+x²)]，求随机变量Y=1−3X的密度函数f_Y(y)答案：3/{π[1+9(1−y)²]}二、选择题（每题2分，共20分）1．同时抛掷3枚均匀对称的硬币，则恰有2枚正面向上的概率为A.0.5B.0.25C.0.125D.0.375答案：D2．某人独立地投三次篮球，每次投中的概率为0.3，则其最可能失败（没投中）的次数为A.2B.2或3C.3D.1答案：A3．当随机事件A与B同时发生时，事件C必发生，则下列各式中正确的是A.P(C)≤P(A)+P(B)-1B.P(C)≥P(A)+P(B)-1C.P(C)=P(AB)D.P(C)=P(A∪B)答案：B4．0<P(A)<1，0<P(B)<1，P(A|B)+P(A|B)=1，则A.A、B互不相容B.A、B相互对立C.A、B不独立D.A、B相互独立答案：D5．A与B是两个随机事件，0<P(A)<1，P(B)>0，P(A|B)=P(A|B)，则必有A.P(A|B)=P(A|B)B.P(A|B)≠P(A|B)C.P(AB)=P(A)P(B)D.P(AB)≠P(A)P(B)答案：C6．设随机变量X的密度函数f(x)满足f(x)=f(-x)，F(x)为分布函数，则对任意实数a，有A.F(-a)=1−∫₀ᵃf(x)dxB.F(-a)=1/2−∫₀ᵃf(x)dxC.F(-a)=F(a)D.F(-a)=2F(a)−1答案：B7．设随机变量X~N(μ,σ²)，则随着σ的增大，概率P{|X−μ|<σ}A.单调增大B.单调减少C.保持不变D.增减不定答案：C8．设X和Y分别服从正态分布N(μ,4²)和N(μ,5²)，记P₁=P{X≤μ−4}，P₂=P{Y≥μ+5}，则A.对任意实数μ，都有P₁=P₂B.对任意实数μ，都有P₁<P₂C.只对μ个别值，才有P₁=P₂D.对任意实数μ，都有P₁>P₂答案：A9．设随机变量X~N(0,4)，则P(X<1)=A.∫₀¹(1/(2√π))e^(-x²/8)dxB.∫{-∞}¹(1/(4√π))e^(-x²/4)dxC.1/2−(1/(2√π))e^(-1/2)D.∫{-∞}¹(1/(2√2π))e^(-x²/2)dx答案：B10．设随机变量X的分布函数F(x)={0,x<0；x²/25,0≤x<5；1,x≥5}，则P(3<X<5)=A.4/25B.9/25C.16/25D.1答案：C三、（10分）摆地摊的某赌主拿了8个白的、8个黑的围棋子放在一个签袋里，并规定凡愿摸彩者每人交一元钱作手续费，然后一次从口袋口摸出5个棋子，中彩情况如下：摸棋子5个白：彩金20元；4个白：彩金2元；3个白：纪念品（价值5角）；其他：同乐一次（无任何奖品）。试计算：①获得20元彩金的概率；②获得2元彩金的概率；③获得纪念品的概率；④按摸彩1000次统计，赌主可望净赚多少钱？参考答案：净赚大约为1000-692=308元四、（10分）已知连续型随机变量X的密度函数为f(x)={Axe^(-2x²),x≥0；0,x<0}试求：（1）常数A；（2）P(X=2)，P(0<X<2)；（3）X的分布函数。参考答案：(1)A=4(2)P(X=2)=0；P(0<X<2)=1−e^(-8)(3)F(x)={0,x<0；1−e^(-2x²),x≥0}五、（10分）设10件产品中有5件一级品，3件二级品，2件次品，无放回地抽取，每次取一件，求在取得二级品之前取得一级品的概率。参考答案：1/2六、（10分）某地抽样调查结果表明，考生的外语成绩X（百分制）近似服从正态分布，平均成绩为72分，96分以上的占考生总数的2.3%，试求考生的外语成绩X在60分至84分之间的概率。Φ(1)=0.841，Φ(1.5)=0.933，Φ(2)=0.977参考答案：0.682七、（10分）设有来自三个地区的各10名、15名和25名考生的报名表，其中女生的报名表分别为3份、7份和5份。随机地取一个地区的报名表，从中先后抽出2份。试求：（1）先抽出的一份是女生表的概率p；（2）若后抽到的一份是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率q。参考答案：(1)p=29/90；(2)q=20/61八、（10分）假设一大型设备在任何长为t的时间内发生故障的次数N(t)服从参数为λt的泊松分布，（1）求相继两次故障之间间隔时间T的概率分布；（2）求在设备已经无故障工作8小时的情形下，再无故障工作8小时的概率q。参考答案：(1)T服从参数λ的指数分布；(2)q=e^(-8λ)

国开《应用概率统计》综合作业21．（C）P(X+Y=0)=1/4（D）P(X−Y≤1)=1/22．设随机变量Xi(i=1，2)的分布律为：Xi=-1，0，1；P：0.25，0.5，0.25，且满足P{X1X2=1}=1，则P{X1=X2}等于（B）（A）0（B）1/4（C）1/2（D）1/33．设两个随机变量X和Y相互独立，且都服从（0，1）区间上的均匀分布，则服从相应区间或区域上的均匀分布的随机变量是（D）（A）X²（B）X−Y（C）X+Y（D）（X，Y）4．设离散型随机变量（X，Y）的联合分布律X=1：Y=1：1/6，Y=2：1/9，Y=3：1/18X=2：Y=1：1/3，Y=2：α，Y=3：β若X和Y相互独立，则α和β的值为（A）（A）α=2/9，β=1/9（B）α=1/9，β=2/9（C）11/20（D）α=5/18，β=1/185．设随机变量X的Y相互独立，其分布函数分别为FX(x)与FY(y)，则随机变量Z=max(X，Y)的分布函数FZ(z)是（C）（A）max{FX(z)，FY(z)}（B）FX(z)+FY(z)−FX(z)FY(z)（C）FX(z)FY(z)（D）1/2[FX(z)+FY(z)]6．对任意两个随机变量X和Y，若E(XY)=E(X)E(Y)，则下列结论正确的是（B）（A）D(XY)=D(X)D(Y)（B）D(X+Y)=D(X)+D(Y)（C）X和Y相互独立（D）X和Y不相互独立7．设随机变量X服从二项分布，且E(X)=2.4，D(X)=1.44，则参数n，p的值等于（B）（A）n=4，p=0.6（B）n=6，p=0.4（C）n=8，p=0.3（D）n=24，p=0.18．设两个随机变量X和Y的方差存在且不等于零，则D(X+Y)=D(X)+D(Y)是X和Y的（C）（A）不相关的充分条件，但不是必要条件（B）独立的必要条件，但不是充分条件（C）不相关的充分必要条件（D）独立的充分必要条件9．设随机变量（X，Y）的方差D(X)=4，D(Y)=1，相关系数ρXY=0.6，则方差D(3X−2Y)=（C）（A）40（B）34（C）25.6（D）17.610．设随机变量X和Y相互独立，且在（0，θ）上服从均匀分布，则E[min(X，Y)]=（C）（A）θ（B）θ/2（C）θ/3（D）θ/4解答题三、（10分）设随机变量X1，X2，X3，X4相互独立，且同分布：P{Xi=0}=0.6，P{Xi=1}=0.4，i=1，2，3，4．求行列式X=|X1X2;X3X4|的概率分布。四、（10分）已知随机变量X的概率密度函数为f(x)=1/2e^(−|x|)，−∞<x<+∞；（1）求X的数学期望E(X)和方差D(X).（2）求X与|X|的协方差，并问X与|X|是否不相关？（3）问X与|X|是否相互独立？为什么？五、（10分）设二维随机变量（X，Y）的联合密度函数为f(x,y)={cxe^(−y)，0<x<y<+∞，其余为0试求：（1）常数c；（2）边缘密度fX(x)，fY(y)；（3）条件密度fX|Y(x|y)，fY|X(y|x)；（4）P(X+Y<1).六、（10分）两台同样的自动记录仪，每台无故障工作的时间服从参数为5的指数分布；首先开动其中的一台，当其发生故障时停用而另一台自行开动。试求两台自动记录仪无故障工作的总时间T的概率密度函数f(t)及数学期望E(T)和方差D(T).七、（10分）设随机变量X和Y相互独立，X服从[0，1]上的均匀分布，Y的密度函数为f(y)={e^(−y)，y>0；0，y≤0}，试求随机变量Z=X+Y的密度函数fZ(z).八、（10分）某箱装有100件产品，其中一、二和三等品分别为80、10和10件，现在从中随机抽取一件，记Xi={1，若抽到i等品；0，其它}。试求：（1）随机变量X1与X2的联合分布律；（2）随机变量X1与X2的相关系数ρ.

国开《应用概率统计》综合作业3一、填空题（每小题2分，共20分）1．在天平上重复称量一重为a的物品，测量结果为X1​,X2​,…,Xn​，各次结果相互独立且服从正态分布N(a,0.22)，各次称量结果的算术平均值记为Xn​，为使P(∣Xn​−a∣<0.1)≥0.95，则n的值最小应取自然数答案：162．设X1​,X2​,…,Xn​是来自正态总体N(μ,42)的容量为10的简单随机样本，S2为样本方差，已知P(S2>a)=0.1，则a=答案：13．设随机变量Y服从自由度为n的t分布，则随机变量Y2服从自由度为答案：(1,n)的F分布4．设总体X服从正态分布N(12,σ2)，抽取容量为25的简单随机样本，测得样本方差为S2=5.57，则样本均值X小于12.5的概率为答案：4/255．从正态分布N(μ,σ2)中随机抽取容量为16的随机样本，且μ,σ未知，则概率P(σ2S2​≤2.041)=答案：16．设总体X的密度函数为$f(x,α)={(α+1)xα,0,​0<x<1其他​其中α>−1，X1​,X2​,…,Xn​是取自总体X的随机样本，则参数α的极大似然估计值为答案：α^=−1−i=1∑n​lnxi​n​7．设总体X服从正态分布N(μ,σ2)，其中μ未知而σ2已知，为使总体均值μ的置信度为1−α的置信区间的长度等于L，则需抽取的样本容量n最少为答案：n=(L2σuα/2​​)28．设某种零件的直径（mm）服从正态分布N(μ,σ2)，从这批零件中随机地抽取16个零件，测得样本均值为X=12.075，样本方差S2=0.00244，则均值μ的置信度为0.95的置信区间为答案：(1004.435,1047.065)（试卷此处计算明显错误）9．在假设检验中，若σ2未知，原假设H0​:μ=μ0​，备择假设H1​:μ>μ0​时，检验的拒绝域为答案：t>tα​(n−1)10．一大企业雇用的员工人数非常多，为了探讨员工的工龄X(年)对员工的月薪Y(百元)的影响，随机抽访了25名员工，并由记录结果得：i=1∑25​Xi​=100,i=1∑25​Yi​=2000,i=1∑25​Xi2​=510,i=1∑25​Xi​Yi​=9650，则Y对X的线性回归方程为答案：y^​=11.47+2.62x二、选择题（每小题2分，共20分）1．设X1​,X2​,…,Xn​是来自正态总体X∼N(0,σ2)的一个简单随机样本，X为其样本均值，令Y=σ2i=1∑n​(Xi​−X)2​，则Y～（）（A）χ2(n−1)（B）χ2(n)（C）N(μ,σ)（D）N(μ,nσ2​)答案：A（试卷标答D错误）2．设X1​,X2​,…,Xn​是来自正态总体X∼N(μ,σ2)的简单随机样本，X为样本均值，记S12​=n−11​∑i=1n​(Xi​−X)2,S22​=n1​∑i=1n​(Xi​−X)2,S32​=n−11​∑i=1n​(Xi​−μ)2,S42​=n1​∑i=1n​(Xi​−μ)2则服从自由度为n−1的t分布的随机变量是（）(A)T=S1​/n−1​X−μ​(B)T=S2​/n−1​X−μ​(C)T=S3​/n​X−μ​(D)T=S4​/n​X−μ​答案：B3．设X1​,X2​,X3​,X4​是来自正态总体X∼N(μ,22)的简单随机样本，若令Y2=a(X1​−2X2​)2+b(3X3​−4X4​)2，则当Y2服从χ2分布时，必有（）(A)a=91​;b=1441​(B)a=1441​;b=91​(C)a=1001​;b=201​(D)a=201​;b=1001​答案：D4．设简单随机样本X1​,X2​,…,Xn​来自于正态总体X∼N(μ,σ2)，则样本的二阶原点矩A2​=n1​i=1∑n​Xi2​的数学期望为（）(A)41​σ2 (B)21​σ2 (C)σ2 (D)2σ2答案：D（正确理论结果：μ2+σ2）5．设随机变量X服从自由度为(n,n)的F分布，已知α满足条件P(X>α)=0.05，则P(X>α1​)的值为（）(A)0.025 (B)0.05 (C)0.95 (D)0.975答案：C6．设总体X服从正态分布N(μ,σ2)，X1​,X2​,…,Xn​是从X中抽取的简单随机样本，其中μ,σ2未知，则μ的100(1−α)%的置信区间（）(A)(X−z2α​​n​S​,X+z2α​​n​S​)(B)(X−t2α​​(n−1)n​S​,X+t2α​​(n−1)n​S​)(C)(X−z2α​​n​σ​,X+z2α​​n​σ​)(D)(X−t2α​​(n)n​S​,X+t2α​​(n)n​S​)答案：A（试卷标答错误，正确选B）7．设总体X服从正态分布N(μ,σ2)，其中μ未知，σ2未知，X1​,X2​,…,Xn​是简单随机样本，记X=n1​∑i=1n​Xi​，则当μ的置信区间为(X−z0.05​n​σ​,X+z0.05​n​σ​)时，其置信水平为（）(A)0.90 (B)0.95 (C)0.975 (D)0.05答案：C8．从总体中抽取简单随机样本X1​,X2​,X3​，估计量μ^​1​=21​X1​+31​X2​+61​X3​,μ^​2​=21​X1​+41​X2​+41​X3​μ^​3​=31​X1​+31​X2​+61​X3​,μ^​4​=51​X1​+52​X2​+52​X3​均是总体均值μ的无偏估计量，则其中最有效的估计量是（）(A)μ^​1​ (B)μ^​2​ (C)μ^​3​ (D)μ^​4​答案：B9．从一批零件中随机地抽取100件测量其直径，测得平均直径为5.2cm，标准差为1.6cm，现想知道这批零件的直径是否符合标准5cm，采用t检验法，并取统计量为t=1.6/10X−5.2​，则在显著性水平α下，其接受域为（）(A)∣t∣<t2α​​(99)(B)∣t∣<t2α​​(100)(C)∣t∣≥t2α​​(99)(D)∣t∣≥t2α​​(100)答案：D（试卷标答错误，接受域为A）10．在假设检验中，方差σ2已知，H0​:μ=μ0​，（）(A)若备择假设H1​:μ=μ0​，则其拒绝域为∣T∣=​S/n​X−μ0​​​≥tn−1​(2α​)(B)若备择假设H1​:μ=μ0​，则其拒绝域为∣U∣=​σ/n​X−μ0​​​≥u2α​​(C)若备择假设H1​:μ>μ0​，则其拒绝域为∣U∣=​σ/n​X−μ0​​​≥uα​(D)若备择假设H1​:μ>μ0​，则其拒绝域为U=σ/n​X−μ0​​≤−uα​答案：B三、（10分）现有一批种子，其中良种数占61​，从中任选6000粒，问能以0.99的概率保证其中良种所占的比例与61​相差多少？这时相应的良种数在哪一个范围？解：这个问题属于”二项分布”，且n=6000、p=1/6。故μ=E(X)=np=6000×1/6=1000，D(X)=σ2=np(1−p)=6000×(1/6)×(1−1/6)=833.33。切比雪夫不等式为P{∣X−μ∣<ε}≥1−σ2/ε2。我们取ε=6000×(1/100)=60粒。所以，P{∣X−μ∣<ε}≥1−833.33/602=1−833.33/3600=0.7685。换句话说，“任意选出6000粒种子的良种比例与1/6相比上下不超过1/100的概率”大于等于0.7685。这个概率(0.7685)不算很低，也就是说，良种比例与1/6相比很可能不超过1/100。四、（10分）设总体X服从正态分布N(μ,σ2)，假如要以99%的概率保证偏差∣Xˉ−μ∣<0.1，试问：在σ2=0.2时，样本容量n应取多大？解：五、（10分）设总体X服从0‑1分布：P(X=x)=pxq1−x,x=0,1；其中0<p<1,q=1−p，从总体X中抽取样本X1​,X2​,…,Xn​，求样本均值Xˉ的期望和方差、样本方差S2的期望。解：E(∑Xi​)=∑E(Xi​)=nE(X)=npE[(∑Xi​)/n]=[∑E(Xi​)]/n=E(X)=pD[(∑Xi​)/n]=[∑D(Xi​)]/n2=D(X)/n=p(1−p)/n六、（10分）某商店为了解居民对某种商品的需求，调查了100家住户，得出每户每月平均需要量为10kg，方差为9。设居民对某种商品的需求量服从正态分布，如果此种商品供应该地区10000户居民，在α=0.01下，试对居民对该种商品的平均需求量进行区间估计；并依此考虑最少要准备多少商品才能以0.99的概率满足需要？解：由题设，n=100，样本均值xˉ=10，样本方差s2=9，α=0.01，查附表得t2α​​(99)=2.63，因此，居民对该商品平均需求量μ的置信度为0.99的置信区间为(10−2.63×103​,10+2.63×103​)=(9.211,10.789)因9.211×10000=92110(kg)，所以最少要准备92110kg这种商品，才能以0.99的概率满足需要。七、（10分）某种零件的长度服从正态分布，它过去的均值为20.0，现换了新材料，为此从产品中随机抽取8个样品，测量长度为：20.0，20.0，20.1，20.0，20.2，20.3，19.8，20.2。问用新材料做的零件的平均长度是否起了变化（α=0.05）？解：八、（10分）设总体X服从正态分布N(μ,σ2)，X1​,X2​,…,Xn​是从X中抽取的简单随机样本，其中μ,σ2未知，选择常数c，使统计量T=c∑i=1n−1​(Xi+1​−Xi​)2是σ2的无偏估计量。解：

国开《应用概率统计》综合作业4一、填空题（每小题2分，共28分）1．一元线性回归方程y^​=a+bx中x是自变量，y是因变量。2．回归系数b^=lxx​lxy​​；其中lxy​=i=1∑n​(xi​−xˉ)(yi​−yˉ​)，lxx​=i=1∑n​(xi​−xˉ)2。3．方程y~​=a^+b^x，y~​称为估计值，该式称为一元线性经验回归方程。4．相关系数是表示随机变量Y与自变量X之间线性相关程度的一个数字特征。5．相关系数r=lxx​lyy​​lxy​​；与回归系数b^的关系：r=b^lyy​lxx​​​。6．回归平方和U=b^lxy​或i=1∑n​(y~​i​−yˉ​)2，反映了回归值y~​i​(i=1,2,…,n)的分散程度（由x的变化引起的y的波动）。7．剩余平方和Q=lyy​−U或i=1∑n​(yi​−y~​i​)2；反映了观测值yi​(i=1,2,…,n)偏离经验回归直线的程度。8．设y~​0​=a^+b^x0​，y0​的1−α置信区间为(y~​0​−δ(x0​),y~​0​+δ(x0​))则δ(x0​)=tα/2​(n−2)⋅s1+n1​+lxx​(x0​−xˉ)2​​，其中s=n−2Q​​（剩余标准差）。9．根据因素A的k个不同水平A1​,A2​,…,Ak​的k组观测数据检验因素A对总体影响是否显著，检验假设H0​:μ1​=μ2​=⋯=μk​。如果F>Fα​，在水平α下拒绝假设H0​，认为因素A对总体有显著影响；如果F<Fα​，在水平α下接受H0​，认为因素A对总体的影响不显著。10．如果因素A的k个不同水平对总体的影响不大，F=SE​/(n−k)SA​/(k−1)​接近于1；反之F值远大于1。11．正交表记号L8​(27)：L表示正交表，8是正交表的行数，表示有8行试验；7是正交表的列数，表示最多可安排7个因素；2是水平数，表示此表可以安排2个水平。12．正交表中，每列中数字出现的次数相等；如L9​(34)表每列中数字1,2,3均出现3次。13．正交表中，任取2列数字的搭配是均衡齐全，如L8​(27)表里每两列中，水平组合(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)各出现2次。14．K1j​=i=1∑3​x1ji​(j=1,2,3)，代表第j列水平1对应指标之和。二、选择题（每小题2分，共12分）1．离差平方和lxx​=(C)。A、n1​∑i=1n​xi2​−(n1​∑i=1n​xi​)2B、n1​∑i=1n​yi2​−(n1​∑i=1n​yi​)2C、i=1∑n​(xi​−xˉ)2D、i=1∑n​(xi​−xˉ)(yi​−yˉ​)2．考查变量X与变量Y相关关系，试验得观测数据(xi​,yi​),i=1,2,…,n则i=1∑n​xi​yi​−n1​(i=1∑n​xi​)(i=1∑n​yi​)（D）。A、称为X的离差平方和B、称为Y的离差平方和C、称为X和Y的离差乘积和D、称为X和Y的离差平方和注：题目选项文字描述有错，该式实际是lxy​，是离差乘积和（C才是理论正确选项，试卷标D）3．当r0.05​<∣r∣≤r0.01​时，则变量Y与X的线性相关关系(B)。A、不显著 B、显著 C、特别显著 D、特别不显著4．下列结论正确的是（B）。A、相关系数r越大，Y与X之间线性相关关系越显著B、当r>0时，b^>0，称Y与X为正相关，表明Y与X之间线性相关C、当r>0时，b^<0，称Y与X为负相关，表明Y与X之间线性相关程度不密切D、当r=0时，Y与X之间不存在线性关系5．如果认为因素A对总体的影响特别显著，则（D）。A、F≤F0.05​ B、F<F0.05​ C、F0.01​<F<F0.05​ D、F>F0.01​6．单因素方差分析，组间平方和SA​=（C）。A、P−R B、Q−R C、R−Q D、P−Q三、（30分）某地区以家庭为单位，调查某种商品的年需求量与商品价格之间的关系，其一组调查数据如下表：价格x/百元：5，2，2，2.3，2.5，2.6，2.8，3，3.3，3.5需求量y/吨：1，3.5，3，2.7，2.4，2.5，2，1.5，1.2，1.2试对该种商品的年需求量与商品价格之间的关系作回归分析并作散点图。答案：以价格x（单位：百元）为横轴，年需求量y（单位：吨）为纵轴，将10组观测数据(xi​,yi​)绘制为散点：数据点坐标依次为：(5,1)、(2,3.5)、(2,3)、(2.3,2.7)、(2.5,2.4)、(2.6,2.5)、(2.8,2)、(3,1.5)、(3.3,1.2)、(3.5,1.2)散点趋势：整