广东省广州市天河区华侨港澳台2026届高三下学期第一次模拟考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1广东省广州市天河区华侨港澳台2026届高三下学期第一次模拟考试数学试题一、选择题（本题共10小题，每小题6分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，所以.故选：D.2.在复平面内，复数对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】，故复数对应的点为，在第四象限，故选：D.3.已知向量，若，则（）A.1 B. C. D.【答案】C【解析】因为向量，则，若，则，解得.故选：C.4.已知定义在上的奇函数满足，则（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】A【解析】因为是定义在上的奇函数，所以．因为，所以．故选：A.5.将函数的图象向右平移个单位长度得到函数，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意，的图象向右平移个单位长度，得到函数图像的，则D选项正确.故选：D.6.节气是指二十四个时节和气候，是中国古代订立的一种用来指导农事的补充历法，是中华民族劳动人民长期经验积累的成果和智慧的结晶．若从立春、雨水、惊蛰、春分、清明这五个节气中随机选择两个节气，则其中一个节气是立春的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】记立春、雨水、惊蛰、春分、清明这五个节气分别为、、、、，则样本空间，记事件表示“其中一个节气是立春”，则，由古典概型可知．故选：B.7.已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】设圆锥的母线长为，由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，则，解得.故选：B.8.以直线与为渐近线的双曲线的离心率为（）A. B. C. D.或【答案】D【解析】因为双曲线的渐近线为与，若双曲线焦点在轴，双曲线的标准方程为，渐近线为，则，所以双曲线的离心率为，若双曲线焦点在轴，双曲线的标准方程为，渐近线为，则，所以双曲线的离心率为，综上所述，双曲线的离心率为或，故选：D.9.已知等差数列的公差不为0，成等比数列，且，则公差（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】由成等比数列，则，又，则，解得.故选：B．10.已知点满足，则的最小值为（）A.2 B. C. D.4【答案】C【解析】因为表示点到点的距离；表示点到直线的距离，又，所以点到点的距离等于点到直线的距离，由抛物线的定义知，点的轨迹为抛物线，抛物线方程为，设，则，当且仅当时，等号成立，故选：C.二、填空题（本题共5小题，每小题6分，共30分．）11.在的展开式中项的系数为______（用数字作答）【答案】80【解析】的通项为，令，则，故项的系数为.故答案为：80.12.设a为常数，多项式除以所得的余式为，则a＝______．【答案】2【解析】因为多项式除以所得的余式为，所以可以设，整理得到，所以，则.故答案为：2.13.已知各顶点都在同一球面上的正四棱锥高为3，体积为6，则这个球的表面积是________．【答案】16【解析】试题分析：正四棱锥的高为3，体积为6，易知底面面积为6，边长为．正四棱锥P-ABCD的外接球的球心在它的高PO1上，记为O，PO=AO=R，PO1=3，OO1=3-R，在Rt△AO1O中，AO1=，由勾股定理R2=3+（3-R）2得R=2，∴球的表面积S=16π．14.圆与圆的公共弦长为________.【答案】【解析】法1，两圆与圆均过点，，弦长为.法2，两圆方程相减可得公共弦所在的直线方程，圆的圆心到直线的距离，故公共弦长为.故答案为：.15.若是函数的极值点，则______．【答案】【解析】由题意，因为是的极值点，所以，解得，则，所以.故答案为：.三、解答题（本题共4小题，每小题15分，共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16.在中，已知．（1）求；（2）若边上的高等于，求．解：（1）由，根据正弦定理可得，即，因为，所以，所以，即，所以.（2）设角对应的边分别为，则，即，由余弦定理，，所以，所以.17.“村BA”正盛行，它不仅是一场体育赛事，也是一场文化盛宴，更是一台经济引擎．某校为激发学生对篮球、足球、排球运动的兴趣，举行了一次有关三大球类运动的知识竞赛，海量题库中篮球、足球、排球三类相关知识题量占比分别为．甲同学回答篮球、足球、排球这三类问题中每个题的正确率分别为．（1）若甲同学在该题库中任选一题作答，求他回答正确的概率；（2）若甲同学从这三类题中各任选一题作答，每回答正确一题得3分，回答错误得－1分．设该同学回答三题后的总得分为X分，求X的分布列及数学期望；解：（1）设B＝“甲同学所选的题目回答正确”，“所选的题目为篮球、足球、排球相关知识的题目”（i＝1，2，3），根据题意得，；所以.（2）由题意可知，X的可能取值为，则，，，，所以X的分布列为：X159P所以.18.设数列的前项和为，且．（1）证明：为等比数列；（2）求数列的前项和．（1）证明：由题，，当时，，，又，所以，所以是以为首项，公比为3的等比数列；（2）解：由（1），，则.设数列，且，其前n项和为，则，，两式相减可得，，则；再设数列，且，其前n项和为，则，从而.19.已知椭圆过点，离心率为．（1）