人教A版高中数学必修一题库 第五章　周末练17　章末检测试卷(五)

周末练17章末检测试卷(五)[时间：120分钟分值：150分]一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分)1.下列各角中，与27°角终边相同的是()A.63° B.153° C.207° D.387°答案D解析与27°角终边相同的角构成的集合为{α|α=27°+k·360°，k∈Z}，取k=1，可得α=387°.故与27°角终边相同的是387°.2.设θ∈R，则“sinθtanθ<0”是“θ为第二象限角”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案B解析因为sinθtanθ<0，所以sinθ>0，tanθ<0或sinθ<0，tanθ>0，所以θ是第二象限角或第三象限角，所以“sinθtanθ<0”是“θ为第二象限角”的必要不充分条件.3.(tan10°-3)cos10°sin50°等于A.-2 B.2 C.1 D.-1答案A解析原式=(tan10°-tan60°)cos10°=sin10°=sin10°cos60°-cos10°sin60°=sin(-50°)=-2.4.(2024·全国甲卷)已知cosαcosα-sinα=3A.23+1 B.23-1C.32 D.1-答案B解析因为cos所以11-tanα=3⇒tan所以tanα+π45.函数f(x)=x2cosx-1，x∈-答案A解析函数f(-x)=-x2cos(-x)-1=-x2cosx-1=-f(x)，则函数当0<x<π3时，2cosx-1>0，则f(x)>0，排除B，6.我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”现有一类似问题：不确定大小的圆柱形木材，部分埋在墙壁中，其截面如图所示.用锯去锯这木材，若∠AOB=π3，AB=2，则图中弧ACB与弦AB围成的弓形的面积为(A.π3-C.2π3-答案B解析因为∠AOB=π3，OA=OB，所以△因为AB=2，所以OA=OB=AB=2，所以弧ACB与弦AB围成的弓形的面积为2×π3-34×27.音乐喷泉曲线形似藤蔓上挂结的葫芦，也可称为“葫芦曲线”.它的性质是每经过相同的时间间隔，它的振幅就变化一次.如图所示，某一条葫芦曲线的方程为|y|=2-122xπsinωx，x≥0，其中[x]表示不超过x的最大整数.若该曲线还满足ω∈(1，3)，经过点M3πA.±12 B.±C.±32答案C解析将点M3π4，即sin3π4ω=1，由ω∈(1，3)可得因此曲线方程为|y|=2-122xπ|sin当x=7π6时，可得|y|=所以交点的纵坐标为±328.已知函数f(x)=cosωx-2sin2ωxsinωx(ω>0)在(0，2π)上有最小值没有最大值，则ω的取值范围是()A.14，C.16，答案D解析依题意，f(x)=cos(2ωx-ωx)-2sin2ωxsinωx=cos(2ωx+ωx)=cos3ωx，当x∈(0，2π)时，3ωx∈(0，6ωπ)，若f(x)在(0，2π)上有最小值没有最大值，则π<6ωπ≤2π，所以16<ω≤1二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)9.下列结论正确的是()A.-7π6B.若圆心角为π3的扇形的弧长为π，则该扇形面积为C.若角α的终边过点P(-3，4)，则cosα=-3D.若角α为锐角，则角2α为钝角答案BC解析选项A，-7π6的终边与5π6的终边相同，为第二象限角，所以选项B，设扇形的半径为r，则π3r=π，所以r=3扇形面积为12×3×π=3π2，选项C，角α的终边过点P(-3，4)，根据三角函数的定义，cosα=-35，所以C选项D，当角α为锐角时，0<α<π2，0<2α<π，所以D10.(2024·新课标全国Ⅱ)对于函数f(x)=sin2x和g(x)=sin2x-π4A.f(x)与g(x)有相同的零点B.f(x)与g(x)有相同的最大值C.f(x)与g(x)有相同的最小正周期D.f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴答案BC解析A选项，令f(x)=sin2x=0，解得x=kπ2，k∈Z，即为f(令g(x)=sin2x-解得x=kπ2+π8，k∈Z显然f(x)，g(x)零点不同，A选项错误；B选项，显然f(x)max=g(x)max=1，B选项正确；C选项，根据周期公式，f(x)，g(x)的最小正周期均为2π2=π，CD选项，根据正弦函数的性质，f(x)的对称轴满足2x=kπ+π2，k∈解得x=kπ2+πg(x)的对称轴满足2x-π4=kπ+π2，k解得x=kπ2+3π显然f(x)，g(x)图象的对称轴不同，D选项错误.11.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0，ω>0A.ω=3B.f(x)的图象关于直线x=7π4C.f(x)在区间[-π，π]上有且只有2个零点D.若f(x1)=f(x2)=-1(x1≠x2)，则|x1-x2|min=π答案BCD解析根据图象可知A=2，又易知图象过点(0，所以f(0)=2sinφ=3，即sinφ=32，又|φ|<π2由对称性可知函数f(x)的一条对称轴为0+7π22=7π4，即f(x)由图可知最小正周期T=2πω∈7π4，7π又f

7π2=2sin7π2ω结合图象可得7π2ω+π3=2π3+2kπ，k∈Z，解得ω=221因此当k=1时，符合题意，即ω=221+4所以f(x)=2sin23x+π3，令f(x)=0，可得23x+π3即x=-π2+32kπ，又x∈[-π，π]，可得k=0或k=1，且当k=0时，x=-π2，当k=1时，x=π，即f(x)在区间[-π，π]上有且只有2个零点，可得若f(x1)=f(x2)=-1(x1≠x2)，则当23x1+π3=-π6+2kπ，23x2+π3=-5π6|x1-x2|取得最小值，x1-x2三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)12.已知sinα+π3=12答案-1解析sin2α+π6=sin2α+2π3-π213.若函数y=2sinx+acosx+4的最小值为1，则实数a=.答案5解析y=2sinx+acosx+4=4+asin(x+φ)+4，其中tanφ=a2，且φ的终边过点(2所以ymin=-4+a+4=1，解得a14.(2024·新课标全国Ⅱ)已知α为第一象限角，β为第三象限角，tanα+tanβ=4，tanαtanβ=2+1，则sin(α+β)=.答案-2解析方法一由题意得tan(α+β)=tanα+tan因为α∈2β∈2mπ+π，2mπ+则α+β∈((2m+2k)π+π，(2m+2k)π+2π)，k，m∈Z，又因为tan(α+β)=-22<0，则α+β∈(2m+2k)π+3π2则sin(α+β)<0，则sin(α+联立sin2(α+β)+cos2(α+β)=1，解得sin(α+β)=-22方法二因为α为第一象限角，β为第三象限角，则cosα>0，cosβ<0，cosα=coscosβ=cos则sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=cosαcosβ(tanα+tanβ)=4cosαcosβ=-4=-4=-442+2四、解答题(本题共5小题，共77分)15.(13分)已知-π2<x<π2，sinx+cosx(1)求sinxcosx+si(2)求sinx-cosx的值.(6分)解(1)∵sinx+cosx=1∴1+2sinxcosx=125，即sinxcosx∴sin=sinxcosx(cosx+sinx)sin(2)由(1)知sinxcosx=-1225<0，又-π2<x∴cosx>0，sinx<0，∴sinx-cosx=-(sin=-1-2sinxcosx16.(15分)已知函数f(x)=sin2x-cos2x+23sinx·cosx.(1)求f(x)的最小正周期；(7分)(2)若f(α)=255，求cos4α解(1)f(x)=sin2x-cos2x+23sinxcosx=-cos2x+3sin2x=23=2sin2∴T=π.(2)由(1)得f(α)=2sin2∴sin2∴cos4α-π3=1-2sin22α-π17.(15分)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0，ω>0，-π2<φ<(1)求函数f(x)的解析式；(5分)(2)求函数f(x)图象的对称轴方程和对称中心的坐标；(5分)(3)若函数f(x)在区间π4，m上的值域为[1，2]，求实数m的取值范围解(1)由图可知函数f(x)的最小正周期为T=4×π6--π12=π，可得又由图可知f

-π12=-A，有Asin-π12×2+φ=-A，有sin-π6+φ=-1，又-π2<φ<π2，则-2π3<-π6又由题意可知f(0)=-3，有Asin-π3=-3故函数f(x)的解析式为f(x)=2sin2x(2)令2x-π3=kπ+π2(k∈Z)，可得x=kπ2可得函数f(x)图象的对称轴方程为x=kπ2+5π12令2x-π3=kπ(k∈Z)，可得x=kπ2+π可得函数f(x)图象的对称中心的坐标为kπ2+π6(3)当x∈π4，m时，π6≤2x-π3≤2m-若函数f(x)在区间π4，m上的值域为[1，2]，由正弦函数的图象和性质可知π2≤2m-π3≤故实数m的取值范围为5π1218.(17分)某游乐园内竖立着一座摩天轮，半径为20米，购票后可以乘坐一圈，每逆时针匀速旋转一圈要12分钟，摩天轮的最低点与地面相距1米，供游客上下摩天轮的轿厢.放假期间小王同学来此游玩，若从小王进入摩天轮的轿厢开始计时，在运行过程中，将轿厢与其中的游客看作是摩天轮圆环上的一个点.(1)求出小王同学距离地面的高度H(单位：米)关于时间t(单位：分钟)的函数；(7分)(2)当小王同学距离地面高度为11米时，突然发现小李同学在摩天轮的另一个轿厢里，此时正和他处于同一高度，小王同学记得自己是下午6：00进入的摩天轮轿厢，按此推算，小李大概是什么时候进入的摩天轮轿厢？(5分)(3)当游客距离地面高度达到31米及以上时，可以俯瞰到该游乐园的全景，这段时间称为“美景期”，则摩天轮在旋转一圈的过程中，小王同学处于“美景期”的时间有多长？(5分)解(1)方法一设H(t)=Asin(ωt+φ)+b，A>0，ω>0，由题意知，H的最大值是41米，最小值是1米，即A+b因为摩天轮匀速旋转一圈要12分钟，即T=12，所以ω=2π又因为从摩天轮位于最低点时开始计时，即t=0时，H=1，代入H(t)中得到1=20sinφ+21，得sinφ=-1，不妨取φ=-π所以H(t)=20sinπ6t-π2+21=21-20cosπ6t，t∈方法二以摩天轮的中心为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，因为摩天轮匀速旋转一圈要12分钟，即T=12，即角速度ω=π设经过t分钟后，小王同学在点Q的位置，则∠xOQ=π6t-所以点Q的纵坐标yQ=20sinπ6t-π2由题意知y轴与地面的交点P的纵坐标为-21，所以H(t)=yQ-yP=21-20cosπ6t，t∈[0，12](2)由H(t)=21-20cosπ6t=11，得cosπ6t因为t∈[0，12]，所以t=2或10，所以两人之间相差8分钟，即小李大概是下午5：52或6：08进入的摩天轮轿厢.(3)由H(t)=21-20cosπ6t≥31，得cosπ6t≤因为t∈[0，12]，所以4≤t≤8，所以小王同学处于“美景期”的时间有4分钟.19.(17分)已知函数f(x)=4sinx·cosx+(1)求函数f(x)的单调递增区间；(7分)(2)将f(x)的图象向左平移φ0<φ<π2个单位长度，向下平移1个单位长度，再把所有点的横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标不变，得到y=2cosx的图象，若g(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)在[0，π]内恰有3个零点，求ω解(1)依题意，f(x)=4sinx·cosx+=4sinx·32=3sin2x-2sin2x+2=3sin2x+cos2x+1=2sin2