2026年部编版高三数学数列练习题及答案

2026年部编版高三数学数列练习题及答案第1页共1页2026年部编版高三数学数列练习题及答案一、单项选择题（共10小题，每题2分）1.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_1=2，且对于任意n∈N，都有S_n=4a_n-2，则数列{a_n}的通项公式a_n为A.4^nB.2^nC.2^(n-1)D.2^(n+1)参考答案：B2.在等差数列{a_n}中，若a_3+a_7=12，且公差d≠0，则a_5的值为A.4B.6C.8D.10参考答案：B3.已知数列{b_n}是等比数列，且b_1=1，b_2=3，则b_4的值为A.9B.27C.81D.243参考答案：B4.若数列{c_n}满足c_1=1，c_2=2，且对于任意n∈N，都有c_{n+2}=c_{n+1}+c_n，则c_6的值为A.13B.21C.34D.55参考答案：C5.已知数列{d_n}的前n项和为S_n=n^2+n，则d_5的值为A.25B.30C.35D.40参考答案：C6.在等比数列{e_n}中，若e_2e_8=64，则e_5的值为A.2B.4C.8D.16参考答案：D7.已知数列{f_n}满足f_1=1，f_2=2，且对于任意n∈N，都有f_{n+2}=2f_{n+1}-f_n，则f_7的值为A.8B.10C.12D.14参考答案：A8.若数列{g_n}的前n项和为S_n=2^n-1，则g_4的值为A.8B.16C.32D.63参考答案：B9.在等差数列{h_n}中，若h_1+h_9=20，则h_5的值为A.4B.6C.8D.10参考答案：B10.已知数列{i_n}是等比数列，且i_1=2，i_3=8，则i_5的值为A.16B.32C.64D.128参考答案：C二、填空题（共10小题，每题2分）1.已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_3=5,S_5=25，则该数列的公差d=______。参考答案：22.若数列{b_n}满足b_1=1,b_n=b_{n-1}+2(n∈N)，则b_6=______。参考答案：153.在等比数列{c_n}中，c_2=6,c_4=54，则该数列的通项公式c_n=______。参考答案：2^n4.已知数列{d_n}的前n项和为S_n=n^2+n，则d_4=______。参考答案：155.若数列{e_n}满足e_n=n(n+1)/2，则e_4+e_5+e_6=______。参考答案：566.在等差数列{f_n}中，f_1=-2,f_3+f_5=10，则该数列的前10项和S_{10}=______。参考答案：-57.已知数列{g_n}的前n项和为S_n=3^n-1，则g_3=______。参考答案：188.若数列{h_n}满足h_1=2,h_{n+1}=h_n+3(n∈N)，则h_10=______。参考答案：359.在等比数列{i_n}中，i_1=1,i_3=8，则该数列的前6项和S_6=______。参考答案：6310.已知数列{j_n}的前n项和为S_n=n(n+2)，则d_5=______。参考答案：15三、判断题（共10小题，每题2分）1.等差数列的前n项和公式为Sn=n(a1+an)/2。参考答案：√2.如果一个数列的通项公式是an=2n-1，那么它既是等差数列也是等比数列。参考答案：×3.在等比数列中，若公比q≠1，则数列的前n项和Sn可以表示为Sn=a1(q^n-1)/(q-1)。参考答案：√4.数列{an}是递增数列的充分必要条件是对于任意n∈N，都有an+1an。参考答案：×5.一个数列既是等差数列又是等比数列，那么这个数列一定是常数列。参考答案：√6.在等差数列{an}中，若a3+a8=10，则a5+a6=10。参考答案：√7.数列{an}的前n项和为Sn=2^n-1，则这个数列是等比数列。参考答案：√8.如果数列{an}的前n项和Sn=3n^2+n，那么这个数列是等差数列。参考答案：√9.在等比数列中，若a10，公比q1，则数列{an}是递增数列。参考答案：√10.数列{an}是等差数列，且a1=2，a2=5，那么数列的第10项a10=23。参考答案：√四、简答题（共8小题，每题2分）1.简述等差数列的定义及其通项公式。参考答案：等差数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数的数列，这个常数叫做公差。等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d，其中an表示第n项，a1表示首项，d表示公差。2.说明等比数列的通项公式及其性质。参考答案：等比数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数的数列，这个常数叫做公比。等比数列的通项公式为an=a1q^(n-1)，其中an表示第n项，a1表示首项，q表示公比。等比数列的性质包括：任意一项的平方等于它相邻的前后两项的乘积，即an^2=a(n-1)a(n+1)；数列中任意一项与首项的比等于公比的n-1次幂，即an/a1=q^(n-1)。3.列举数列求和的两种常用方法。参考答案：数列求和的两种常用方法分别是：等差数列求和公式法和错位相减法。等差数列求和公式法适用于等差数列的求和，公式为Sn=n(a1+an)/2或Sn=na1+n(n-1)d/2。错位相减法适用于等差数列与等比数列的乘积形式的求和，具体步骤是：首先写出数列的前n项和Sn，然后将Sn乘以公比q，再与原数列相减，得到一个新的数列，最后求出新数列的和，即可得到原数列的和。4.分析数列极限的定义及其几何意义。参考答案：数列极限的定义是指：对于数列{an}，如果存在一个常数A，使得对于任意给定的正数ε，都存在一个正整数N，当nN时，数列{an}中的项an与常数A的差的绝对值小于ε，即|an-A|ε，那么就称常数A是数列{an}的极限，记作lim(n→∞)an=A。数列极限的几何意义是指：数列{an}的项an在数轴上无限接近于常数A，即数列{an}的项an的轨迹无限接近于常数A。5.简述数列与函数的关系。参考答案：数列与函数的关系是密切的，数列可以看作是定义在正整数集N或其子集上的函数，即f(n)=an，其中n是自变量，an是数列的第n项。数列的通项公式就是函数的解析式，数列的求和可以看作是函数在正整数集上的求和。函数的思想方法可以用来研究数列的性质，如单调性、有界性、极限等。数列是函数的一种特殊形式，它具有离散性，而函数是连续的。但数列与函数的研究方法有很多相似之处，可以相互借鉴。6.列举数列在实际生活中的应用实例。参考答案：数列在实际生活中的应用实例有很多，例如：银行中的复利计算，复利计算就是等比数列的应用，每期利息都是前一期本金的固定比例；人口增长模型，人口增长可以看作是等比数列或等差数列的应用，每期人口数量都是前一期人口数量的固定比例或固定增量；物理学中的等差数列，如物体做匀加速直线运动时，位移可以看作是等差数列的应用，每单位时间位移的增量是固定的；经济学中的等比数列，如通货膨胀率，每年物价上涨的百分比是固定的。7.说明数列与不等式证明的联系。参考答案：数列与不等式证明的联系主要体现在两个方面：一是利用数列的单调性证明不等式，二是利用数列的极限证明不等式。利用数列的单调性证明不等式，可以通过证明数列是单调递增或单调递减的，然后利用数列的项之间的关系来证明不等式。例如，要证明a1≤a2≤a3≤…≤an，可以证明数列{an}是单调递增的，然后利用数列的项之间的关系来证明不等式成立。利用数列的极限证明不等式，可以通过证明数列的极限存在，然后利用数列的极限的性质来证明不等式。例如，要证明lim(n→∞)an=A，可以证明数列{an}的极限存在，然后利用数列的极限的性质来证明不等式成立。8.分析数列递推关系式的特点及其求解方法。参考答案：数列递推关系式的特点是指数列中任意一项与它前面若干项之间的关系，这种关系可以用一个数学公式来表示。数列递推关系式的求解方法主要有两种：一是迭代法，二是构造法。迭代法是指从数列的第一项开始，逐项计算数列的项，直到得到所需的项。构造法是指通过构造一个新的数列或函数，将递推关系式转化为一个更容易求解的问题。例如，对于递推关系式an=an-1+an-2，可以构造一个新的数列{bn}，其中bn=an-an-1，然后求解{bn}的通项公式，再回代求解{an}的通项公式。五、应用题（共8小题，每题3分）1.已知等差数列{a_n}的首项为3，公差为2，求该数列的前10项和S_10。参考答案：S_10=5502.在等比数列{b_n}中，b_1=1，b_3=8，求b_5的值。参考答案：b_5=323.某工厂生产一种产品，每月产量逐月增加，1月份产量为100件，以后每月比上月增产10件，求该工厂前5个月的总产量。参考答案：750件4.已知数列{c_n}的前n项和为S_n=2n^2-3n，求c_4的值。参考答案：c_4=115.在等差数列{d_n}中，d_1=5，d_2=9，求数列的前n项和S_n的最小值。参考答案：S_n的最小值为-56.已知数列{e_n}满足e_1=2，e_{n+1}=e_n+3n，求e_6的值。参考答案：e_6=417.某城市人口增长率为每年5%，若2020年人口为100万，求2025年的人口数（精确到0.1万）。参考答案：2025年人口数为127.6万8.在等比数列{f_n}中，f_2=6，f_4=54，求该数列的通项公式f_n。参考答案：f_n=32^{(n-1)}标准答案与解析一、单项选择题1.参考答案：B解析：由S_n=4a_n-2，令n=1得S_1=4a_1-2，即a_1=4a_1-2，解得a_1=2。当n≥2时，a_n=S_n-S_{n-1}=(4a_n-2)-(4a_{n-1}-2)=4a_n-4a_{n-1}，整理得a_n=4a_{n-1}。因此数列{a_n}是首项为2，公比为4的等比数列，通项公式为a_n=24^{n-1}=2^n。故选B。2.参考答案：B解析：由等差数列性质，a_3+a_7=a_1+2d+a_1+6d=2a_1+8d=12。又a_5=a_1+4d，所以2a_5=2a_1+8d=12，解得a_5=6。故选B。3.参考答案：B解析：由等比数列性质，q=b_2/b_1=3/1=3。因此b_4=b_1q^3=13^3=27。故选B。4.参考答案：C解析：数列{c_n}满足c_{n+2}=c_{n+1}+c_n，与斐波那契数列递推关系相同。计算得c_3=c_2+c_1=2+1=3，c_4=c_3+c_2=3+2=5，c_5=c_4+c_3=5+3=8，c_6=c_5+c_4=8+5=13。故选C。5.参考答案：C解析：d_n=S_n-S_{n-1}=(n^2+n)-[(n-1)^2+(n-1)]=n^2+n-n^2+2n-1-n+1=2n。因此d_5=25=10。故选C。6.参考答案：D解析：由等比数列性质，e_2e_8=e_5^2=64，解得e_5=±8。由于等比数列项的符号由首项和公比决定，且题目未给出具体符号，通常默认正数。因此e_5=8。故选D。7.参考答案：A解析：数列{f_n}满足f_{n+2}=2f_{n+1}-f_n，整理得f_{n+2}-f_{n+1}=f_{n+1}-f_n。因此数列{f_n}是等差数列。设公差为d，则f_2-f_1=d=2-1=1。因此f_n=f_1+(n-1)d=1+(n-1)1=n。计算得f_7=7。故选A。8.参考答案：B解析：g_n=S_n-S_{n-1}=(2^n-1)-(2^{n-1}-1)=2^n-2^{n-1}=2^{n-1}。因此g_4=2^3=8。故选B。9.参考答案：B解析：由等差数列性质，h_1+h_9=2h_5=20，解得h_5=10。故选B。10.参考答案：C解析：由等比数列性质，q=(i_3/i_1)=8/2=4。因此i_5=i_1q^4=24^4=2256=512。故选C。二、填空题1.参考答案：2解析：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，得a_3=a_1+2d=5。由前n项和公式S_n=n/2(2a_1+(n-1)d)，得S_5=5/2(2a_1+4d)=25。联立方程组{a_1+2d=5,5a_1+10d=25}，解得a_1=1,d=2。2.参考答案：15解析：数列{b_n}是等差数列，公差d=b_n-b_{n-1}=2。b_6=b_1+5d=1+10=15。3.参考答案：2^n解析：由等比数列通项公式c_n=c_1q^{n-1}，得c_2=c_1q=6,c_4=c_1q^3=54。联立方程组{c_1q=6,c_1q^3=54}，解得c_1=2,q=3。故c_n=2×3^{n-1}=2^n。4.参考答案：15解析：由数列递推公式d_n=S_n-S_{n-1}(n≥2)，得d_4=S_4-S_3=(4^2+4)-(3^2+3)=20-12=8。又d_1=S_1=2，故d_4=15。5.参考答案：56解析：e_4=4×5/2=10,e_5=5×6/2=15,e_6=6×7/2=21。e_4+e_5+e_6=10+15+21=46。6.参考答案：-5解析：由等差数列通项公式f_n=a+(n-1)d，得f_3=a+2d,f_5=a+4d。由f_3+f_5=10，得2a+6d=10。又f_1=a=-2，解得d=2。故S_{10}=10/2(-4+9×2)=-5。7.参考答案：18解析：由数列递推公式g_n=S_n-S_{n-1}(n≥2)，得g_3=S_3-S_2=(3^3-1)-(2^3-1)=26-7=18。8.参考答案：35解析：数列{h_n}是等差数列，公差d=h_{n+1}-h_n=3。h_10=h_1+9d=2+27=35。9.参考答案：63解析：由等比数列通项公式i_n=c_1q^{n-1}，得i_3=c_1q^2=8。由前n项和公式S_n=c_1(q^n-1)/(q-1)，得S_6=q^6-1/(q-1)。由i_3/i_1=q^2=8，得q=2。故S_6=1×(2^6-1)/1=63。10.参考答案：15解析：由数列递推公式d_n=S_n-S_{n-1}(n≥2)，得d_5=S_5-S_4=(5×7)-(4×6)=35-24=11。又d_1=S_1-0=3，故d_5=15。三、判断题1.参考答案：√解析：等差数列的前n项和公式Sn=n(a1+an)/2是数学中关于等差数列的基本公式，它表示等差数列前n项的和等于首项与末项的算术平均数乘以项数n，该公式在等差数列的求和问题中具有广泛的应用，是高中数学的重要内容之一。2.参考答案：×解析：数列an=2n-1的通项公式表明这是一个等差数列，其公差为2。但是，等比数列的定义是任意相邻两项的比值相等，即对于数列{an}，若存在常数q，使得对于任意n∈N，都有an+1/an=q，则{an}是等比数列。对于an=2n-1，an+1=2(n+1)-1=2n+1，因此an+1/an=(2n+1)/(2n-1)≠常数q，所以{an}不是等比数列。该题考查了等差数列和等比数列的定义和性质，以及判断一个数列是等差数列还是等比数列的方法。3.参考答案：√解析：在等比数列中，若公比q≠1，则数列的前n项和Sn可以表示为Sn=a1(q^n-1)/(q-1)。这是等比数列求和公式的一种形式，它适用于公比q不等于1的情况。该公式可以通过等比数列的通项公式和等比数列的求和原理推导出来，是高中数学中关于等比数列的基本公式之一。4.参考答案：×解析：数列{an}是递增数列的充分必要条件是对于任意n∈N，都有an+1an。这个说法是错误的，因为数列{an}是递增数列的定义是对于任意n∈N，都有an+1≥an，而不是an+1an。如果对于任意n∈N，都有an+1an，那么数列{an}是严格递增数列，它是递增数列的一种特殊情况。该题考查了递增数列的定义和性质，以及充分必要条件的概念。5.参考答案：√解析：一个数列既是等差数列又是等比数列，那么这个数列一定是常数列。这是因为等差数列的通项公式是an=a1+(n-1)d，等比数列的通项公式是an=a1q^(n-1)，如果数列既是等差数列又是等比数列，那么必须满足a1+(n-1)d=a1q^(n-1)，对于任意n∈N，这意味着d=0且q=1，因此数列的每一项都相等，即数列是常数列。该题考查了等差数列和等比数列的定义和性质，以及数列的通项公式。6.参考答案：√解析：在等差数列{an}中，若a3+a8=10，则a5+a6=10。这是等差数列的性质之一，即等差数列中任意两项的和等于首末两项的和。具体来说，对于等差数列{an}，有a1+(n-1)d=a1+(n-1)d，即an=a1+(n-1)d。因此，a3=a1+2d，a8=a1+7d，a3+a8=2a1+9d=10。同理，a5=a1+4d，a6=a1+5d，a5+a6=2a1+9d=10。该题考查了等差数列的性质和通项公式。7.参考答案：√解析：数列{an}的前n项和为Sn=2^n-1，则这个数列是等比数列。这是等比数列求和公式的一种形式，它适用于公比q不等于1的情况。该公式可以通过等比数列的通项公式和等比数列的求和原理推导出来，是高中数学中关于等比数列的基本公式之一。8.参考答案：√解析：如果数列{an}的前n项和Sn=3n^2+n，那么这个数列是等差数列。这是等差数列求和公式的一种形式，它适用于公比q不等于1的情况。该公式可以通过等比数列的通项公式和等比数列的求和原理推导出来，是高中数学中关于等比数列的基本公式之一。9.参考答案：√解析：在等比数列中，若a10，公比q1，则数列{an}是递增数列。这是因为等比数列的通项公式是an=a1q^(n-1)，如果a10且q1，那么随着n的增大，q^(n-1)也会增大，因此an也会增大，即数列{an}是递增数列。该题考查了等比数列的定义和性质，以及数列的递增性。10.参考答案：√解析：数列{an}是等差数列，且a1=2，a2=5，那么数列的第10项a10=23。这是等差数列的性质之一，即等差数列中任意两项的差等于公差。具体来说，对于等差数列{an}，有a2-a1=d，即5-2=d，因此公差d=3。因此，a10=a1+9d=2+9×3=2+27=29。该题考查了等差数列的性质和通项公式。四、简答题1.参考答案：等差数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数的数列，这个常数叫做公差。等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d，其中an表示第n项，a1表示首项，d表示公差。解析：等差数列的定义是核心，它体现了数列中相邻项之间的固定差值关系。通项公式an=a1+(n-1)d是由首项a1和公差d决定的，它表达了数列中任意一项与首项、项数和公差之间的线性关系。这个公式可以用来计算数列中的任意一项，也可以用来解决与数列有关的问题，如求和、求极限等。在解题时，需要根据题目中给出的条件，确定首项和公差，然后代入公式计算即可。2.参考答案：等比数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数的数列，这个常数叫做公比。等比数列的通项公式为an=a1q^(n-1)，其中an表示第n项，a1表示首项，q表示公比。等比数列的性质包括：任意一项的平方等于它相邻的前后两项的乘积，即an^2=a(n-1)a(n+1)；数列中任意一项与首项的比等于公比的n-1次幂，即an/a1=q^(n-1)。解析：等比数列的定义与等差数列类似，但差值关系变成了比值关系。通项公式an=a1q^(n-1)是由首项a1和公比q决定的，它表达了数列中任意一项与首项、项数和公比之间的指数关系。等比数列的性质在解题中经常用到，可以用来简化计算或证明问题。在解题时，需要根据题目中给出的条件，确定首项和公比，然后代入公式计算即可。3.参考答案：数列求和的两种常用方法分别是：等差数列求和公式法和错位相减法。等差数列求和公式法适用于等差数列的求和，公式为Sn=n(a1+an)/2或Sn=na1+n(n-1)d/2。错位相减法适用于等差数列与等比数列的乘积形式的求和，具体步骤是：首先写出数列的前n项和Sn，然后将Sn乘以公比q，再与原数列相减，得到一个新的数列，最后求出新数列的和，即可得到原数列的和。解析：等差数列求和公式法是数列求和中最基本的方法，它直接利用等差数列的性质和公式进行计算。错位相减法是数列求和中的常用方法，特别是对于等差数列与等比数列的乘积形式的求和，这种方法非常有效。在解题时，需要根据题目中给出的数列类型，选择合适的方法进行求和。等差数列求和公式法简单直接，错位相减法需要一定的技巧和步骤，但可以解决更复杂的问题。4.参考答案：数列极限的定义是指：对于数列{an}，如果存在一个常数A，使得对于任意给定的正数ε，都存在一个正整数N，当nN时，数列{an}中的项an与常数A的差的绝对值小于ε，即|an-A|ε，那么就称常数A是数列{an}的极限，记作lim(n→∞)an=A。数列极限的几何意义是指：数列{an}的项an在数轴上无限接近于常数A，即数列{an}的项an的轨迹无限接近于常数A。解析：数列极限的定义是数列理论中的核心概念，它描述了数列项随着项数无限增大时，与某个常数无限接近的关系。这个定义是ε-N语言的定义，它精确地描述了数列项与常数之间的接近程度。几何意义可以帮助我们直观地理解数列极限的概念，即数列项在数轴上的位置无限接近于常数A。数列极限在数列理论中有着广泛的应用，是研究数列性质和数列运算的基础。5.参考答案：数列与函数的关系是密切的，数列可以看作是定义在正整数集N或其子集上的函数，即f(n)=an，其中n是自变量，an是数列的第n项。数列的通项公式就是函数的解析式，数列的求和可以看作是函数在正整数集上的求和。函数的思想方法可以用来研究数列的性质，如单调性、有界性、极限等。数列是函数的一种特殊形式，它具有离散性，而函数是连续的。但数列与函数的研究方法有很多相似之处，可以相互借鉴。解析：数列与函数的关系是数学中的基本关系之一，数列可以看作是函数在正整数集上的特殊形式。这种关系使得我们可以利用函数的思想方法来研究数列的性质，也可以利用数列的性质来研究函数的性质。在解题时，需要根据题目中给出的数列或函数，选择合适的方法进行分析和计算。这种关系在数学中有着广泛的应用，是学习数学的重要基础。6.参考答案：数列在实际生活中的应用实例有很多，例如：银行中的复利计算，复利计算就是等比数列的应用，每期利息都是前一期本金的固定比例；人口增长模型，人口增长可以看作是等比数列或等差数列的应用，每期人口数量都是前一期人口数量的固定比例或固定增量；物理学中的等差数列，如物体做匀加速直线运动时，位移可以看作是等差数列的应用，每单位时间位移的增量是固定的；经济学中的等比数列，如通货膨胀率，每年物价上涨的百分比是固定的。解析：数列在实际生活中的应用非常广泛，可以用来解决各种实际问题。在银行中，复利计算是等比数列的应用，每期利息都是前一期本金的固定比例，这样可以计算出长期的利息收益。在人口增长模型中，人口增长可以看作是等比数列或等差数列的应用，每期人口数量都是前一期人口数量的固定比例或固定增量，这样可以预测未来的人口数量。在物理学中，等差数列可以用来描述物体做匀加速直线运动时的位移，每单位时间位移的增量是固定的。在经济学中，等比数列可以用来描述通货膨胀率，每年物价上涨的百分比是固定的。这些应用实例表明，数列在解决实际问题中具有重要的价值。7.参考答案：数列与不等式证明的联系主要体现在两个方面：一是利用数列的单调性证明不等式，二是利用数列的极限证明不等式。利用数列的单调性证明不等式，可以通过证明数列是单调递增或单调递减的，然后利用数列的项之间的关系来证明不等式。例如，要证明a1≤a2≤a3≤…≤an，可以证明数列{an}是单调递增的，然后利用数列的项之间的关系来证明不等式成立。利用数列的极限证明不等式，可以通过证明数列的极限存在，然后利用数列的极限的性质来证明不等式。例如，要证明lim(n→∞)an=A，可以证明数列{an}的极限存在，然后利用数列的极限的性质来证明不等式成立。解析：数列与不等式证明的联系是数学中的重要内容，可以利用数列的性质来证明不等式。在利用数列的单调性证明不等式时，需要证明数列是单调递增或单调递减的，然后利用数列的项之间的关系来证明不等式成立。在利用数列的极限证明不等式时，需要证明数列的极限存在，然后利用数列的极限的性质来证明不等式成立。这种方法在数学中有着广泛的应用，是证明不等式的重要方法之一。8.参考答案：数列递推关系式的特点是指数列中任意一项与它前面若干项之间的关系，这种