2026年北师大版高中三年级数学下册第8单元概率统计专项训练习题及答案

2026年北师大版高中三年级数学下册第8单元概率统计专项训练习题及答案第1页共1页2026年北师大版高中三年级数学下册第8单元概率统计专项训练习题及答案一、单项选择题（共10小题，每题2分）1.一个袋子里有5个红球和3个白球，它们除了颜色外完全相同。从中随机抽取一个球，抽到红球的概率是多少？A.1/8B.3/8C.5/8D.3/5参考答案：C2.某校高三年级有500名学生，其中男生占60%，女生占40%。现要随机抽取30名学生参加一项活动，抽到男生的期望值是多少？A.18B.20C.22D.24参考答案：B3.一个盒子里装有标号为1,2,3,...,10的10张卡片，它们背面朝上放置。从中随机抽取一张卡片，记下编号后放回，再抽取一张，记下编号。两次抽取的编号之和为奇数的概率是多少？A.1/4B.1/2C.3/4D.1/10参考答案：B4.某射手每次射击命中目标的概率为0.7。他连续射击3次，恰好命中2次的概率是多少？A.0.027B.0.147C.0.343D.0.21参考答案：B5.一个班级有40名学生，其中10名是团员。现要随机选出4名学生组成一个小组，小组中恰好有2名团员的概率是多少？A.1/6B.1/4C.3/10D.1/12参考答案：C6.一个袋子里有4个红球和6个蓝球，它们除了颜色外完全相同。从中随机抽取两个球，抽到两个红球的概率是多少？A.1/15B.2/15C.1/3D.4/15参考答案：D7.某公交线路每天有6班次，每班次间隔时间相同。乘客在任意时刻到达车站，他等待时间不超过10分钟的概率是多少？（假设每班次间隔时间为30分钟）A.1/3B.1/6C.1/2D.2/3参考答案：A8.一个盒子里装有标号为1,2,3,...,12的12张卡片，它们背面朝上放置。从中随机抽取两张卡片，记下编号后放回，再抽取一张，记下编号。两张卡片编号之差的绝对值为3的概率是多少？A.1/11B.1/12C.1/6D.1/4参考答案：B9.某篮球运动员每次投篮命中目标的概率为0.8。他连续投篮4次，至少命中3次的概率是多少？A.0.0256B.0.4096C.0.8192D.0.512参考答案：B10.一个袋子里有3个红球和5个白球，它们除了颜色外完全相同。从中随机抽取三个球，抽到三个白球的概率是多少？A.1/22B.1/12C.5/22D.1/6参考答案：C二、填空题（共10小题，每题2分）1.若事件A的概率P(A)=0.6，事件B的概率P(B)=0.7，且事件A与事件B互斥，则事件A与事件B同时发生的概率为______。参考答案：02.一个袋中有5个红球，3个白球，从中随机抽取2个球，则抽取到的2个球颜色不同的概率为______。参考答案：15/283.某校高三年级有500名学生，其中男生300名，女生200名。现随机抽取1名学生，抽到男生的事件记为M，则事件M的概率P(M)=______。参考答案：3/54.已知随机变量X服从二项分布B(n,p)，且E(X)=6，D(X)=3，则n和p的值分别为______和______。参考答案：9,2/35.从一副标准的52张扑克牌中随机抽取一张，抽到红桃的概率为______。参考答案：1/46.设事件A的概率为P(A)=0.4，事件B的概率为P(B)=0.5，且P(A∪B)=0.7，则事件A与事件B相互独立的概率为______。参考答案：0.27.一个盒子里有10个灯泡，其中3个是坏的，7个是好的。现随机取出3个灯泡，则取出的3个灯泡都是好的概率为______。参考答案：21/408.已知一组数据：2,4,6,8,10，则这组数据的方差S²=______。参考答案：89.某射手每次射击命中目标的概率为0.8，则他射击3次恰好命中2次的概率为______。参考答案：3/810.设事件A的概率为P(A)=0.3，事件B的概率为P(B)=0.4，且事件A与事件B互不相容，则事件A与事件B至少有一个发生的概率为______。参考答案：7/10三、判断题（共10小题，每题2分）1.在一次随机试验中，事件A发生的概率为0.6，则事件A的对立事件B发生的概率为0.4。参考答案：√2.如果一组数据的标准差为0，那么这组数据中的所有数据都相等。参考答案：√3.从一副标准的52张扑克牌中随机抽取一张，抽到红桃的概率是1/4。参考答案：√4.在线性回归分析中，相关系数r的绝对值越大，表示两个变量之间的线性关系越强。参考答案：√5.一个不放回的抽样调查中，样本容量越大，样本的代表性越好。参考答案：√6.如果两个事件的概率都为0.3，那么这两个事件是等可能事件。参考答案：×7.在一个班级中，随机抽取一名学生，抽到男生的概率为0.5，那么抽到女生的概率也为0.5。参考答案：√8.对于一个随机变量X，其期望E(X)表示X取值的平均值。参考答案：√9.在独立性检验中，卡方统计量的值越大，表示两个分类变量之间关联性越强。参考答案：√10.如果一个随机事件发生的概率为0，那么这个事件一定不会发生。参考答案：×四、简答题（共8小题，每题2分）1.简述古典概型的两个基本特征。参考答案：古典概型的两个基本特征是：①试验中所有可能出现的基本事件是有限个；②每个基本事件出现的可能性相等。2.说明频率分布直方图与频率分布折线图的主要区别。参考答案：频率分布直方图和频率分布折线图的主要区别在于：①表示方式不同，直方图用矩形的面积表示频数，折线图用线段的连接表示频率变化；②视觉效果不同，直方图更直观地显示数据分布的密集程度，折线图更清晰地展示频率的增减趋势。3.列举三种常见的抽样方法，并简述其适用场景。参考答案：三种常见的抽样方法及其适用场景：①简单随机抽样，适用于总体个数较少、个体差异较小的情况，如从全班同学中随机抽取调查样本；②系统抽样，适用于总体个数较多、个体排列有序的情况，如按固定间隔从生产线上抽取产品进行检测；③分层抽样，适用于总体内部差异较大、需要保证各层次代表性时，如按年级比例从全校学生中抽样调查。4.分析样本频率分布直方图中，矩形的高代表什么含义。参考答案：样本频率分布直方图中，矩形的高代表每个小区间内的频率密度。5.解释什么是总体、个体和样本，并说明它们之间的关系。参考答案：总体是指所要研究的对象的全体，个体是总体中的每一个基本单位，样本是从总体中抽取的一部分个体。它们之间的关系是：样本是总体的一个子集，通过对样本的研究可以推断总体的特征。6.列举两个离散型随机变量的分布列必须满足的条件。参考答案：离散型随机变量的分布列必须满足两个条件：①每个概率值非负，即P(xi)≥0，对所有可能的取值xi；②所有概率值之和等于1，即∑P(xi)=1，对所有可能的取值xi。7.说明线性回归方程中，系数b的统计意义是什么。参考答案：线性回归方程中，系数b的统计意义是当自变量x增加一个单位时，因变量y的均值（或期望值）平均增加b个单位。8.分析在假设检验中，犯第一类错误和第二类错误的含义及区别。参考答案：在假设检验中，犯第一类错误的含义是原假设H0为真时，错误地拒绝了H0，其概率用α表示；犯第二类错误的含义是原假设H0为假时，错误地接受了H0，其概率用β表示。区别在于：第一类错误是“弃真”错误，即错误地否定了真实情况；第二类错误是“取伪”错误，即错误地肯定了虚假情况。五、应用题（共8小题，每题3分）1.某班级有50名学生，其中男生30人，女生20人。现要随机抽取3名学生参加一项活动，求抽到的3名学生中恰好有2名男生和1名女生的概率。参考答案：3/102.一个袋子里有5个红球、4个白球和3个黑球，它们除了颜色外完全相同。从中随机摸出2个球，求摸到的2个球颜色不同的概率。参考答案：3/73.某射手每次射击命中目标的概率为0.7，他连续射击3次，求恰好命中2次的概率。参考答案：0.4414.一个盒子里装有标号为1,2,3,...,10的10张卡片，它们除标号外完全相同。从中随机抽取2张卡片，求抽到的2张卡片标号之和为奇数的概率。参考答案：1/35.某公交线路共有6个站点，一位乘客随机乘坐该线路的公交车，求他上下车地点恰好相邻的概率。参考答案：1/56.一个盒子里有5个红球和5个蓝球，它们除了颜色外完全相同。从中随机摸出3个球，求摸到的3个球中至少有2个红球的概率。参考答案：7/107.某篮球运动员每次投篮命中的概率为0.6，他连续投篮4次，求至少命中3次的概率。参考答案：0.8648.一个袋子里有3个硬币，其中2个是正常的，1个是两面都是正面的特殊硬币。从中随机抽取1个硬币并抛掷，求抛掷结果为正面的概率。参考答案：2/3标准答案与解析一、单项选择题1.参考答案：C解析：袋子里共有8个球，其中5个是红球，所以抽到红球的概率是5/8。选项A、B、D的概率计算错误。2.参考答案：B解析：男生人数为500×60%=300人，抽到男生的期望值为30×60%=18人。选项A、C、D的计算错误。3.参考答案：B解析：两次抽取的编号之和为奇数的情况有两种：第一次抽到奇数，第二次抽到偶数；或者第一次抽到偶数，第二次抽到奇数。奇数卡片的数量为5张，偶数卡片的数量为5张，所以两次抽取的编号之和为奇数的概率为(5/10)×(5/10)+(5/10)×(5/10)=1/2。选项A、C、D的计算错误。4.参考答案：B解析：射手连续射击3次，恰好命中2次的情况有C(3,2)×0.7×0.7×0.3=3×0.7×0.7×0.3=0.147。选项A、C、D的计算错误。5.参考答案：C解析：班级中团员人数为10名，非团员人数为30名。小组中恰好有2名团员的情况有C(10,2)×C(30,2)/C(40,4)=45×435/91=3/10。选项A、B、D的计算错误。6.参考答案：D解析：从袋子里随机抽取两个球，抽到两个红球的情况有C(4,2)/C(10,2)=6/45=4/15。选项A、B、C的计算错误。7.参考答案：A解析：每班次间隔时间为30分钟，乘客在任意时刻到达车站，他等待时间不超过10分钟的概率为10/30=1/3。选项B、C、D的计算错误。8.参考答案：B解析：从盒子里随机抽取两张卡片，两张卡片编号之差的绝对值为3的情况有(1,4)、(2,5)、(3,6)、(4,7)、(5,8)、(6,9)、(7,10)、(8,11)、(9,12)，共9种情况。总情况数为C(12,2)=66种，所以概率为9/66=1/12。选项A、C、D的计算错误。9.参考答案：B解析：篮球运动员连续投篮4次，至少命中3次的情况有C(4,3)×0.8×0.8×0.2+C(4,4)×0.8×0.8×0.8=4×0.8×0.8×0.2+1×0.8×0.8×0.8=0.4096。选项A、C、D的计算错误。10.参考答案：C解析：从袋子里随机抽取三个球，抽到三个白球的情况有C(5,3)/C(8,3)=10/56=5/22。选项A、B、D的计算错误。二、填空题1.参考答案：0解析：由于事件A与事件B互斥，根据互斥事件的概率公式，事件A与事件B同时发生的概率为0。2.参考答案：15/28解析：从袋中随机抽取2个球的总情况数为C(8,2)=28。抽取到的2个球颜色不同的情况数为C(5,1)×C(3,1)=15。因此，抽取到的2个球颜色不同的概率为15/28。3.参考答案：3/5解析：从500名学生中随机抽取1名学生，抽到男生的概率为300/500=3/5。4.参考答案：9,2/3解析：根据二项分布的性质，E(X)=np=6，D(X)=np(1-p)=3。解方程组得n=9，p=2/3。5.参考答案：1/4解析：从一副标准的52张扑克牌中随机抽取一张，抽到红桃的情况数为13。因此，抽到红桃的概率为13/52=1/4。6.参考答案：0.2解析：根据概率公式，P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)。由于事件A与事件B相互独立，P(A∩B)=P(A)P(B)。代入数据得0.7=0.4+0.5-P(A)P(B)，解得P(A)P(B)=0.2。7.参考答案：21/40解析：从10个灯泡中随机取出3个灯泡的总情况数为C(10,3)=120。取出的3个灯泡都是好的情况数为C(7,3)=35。因此，取出的3个灯泡都是好的概率为35/120=21/40。8.参考答案：8解析：这组数据的平均数为(2+4+6+8+10)/5=6。方差S²=[(2-6)²+(4-6)²+(6-6)²+(8-6)²+(10-6)²]/5=8。9.参考答案：3/8解析：根据二项分布的性质，命中2次的概率为C(3,2)×0.8²×0.2=3/8。10.参考答案：7/10解析：由于事件A与事件B互不相容，根据互斥事件的概率公式，事件A与事件B至少有一个发生的概率为P(A)+P(B)=0.3+0.4=7/10。三、判断题1.参考答案：√解析：事件A和其对立事件B是互斥且完备的，因此P(A)+P(B)=1。已知P(A)=0.6，所以P(B)=1-0.6=0.4。2.参考答案：√解析：标准差衡量数据的离散程度，标准差为0表示所有数据与均值相等，因此所有数据都相等。3.参考答案：√解析：一副标准扑克牌有52张，其中红桃有13张，所以抽到红桃的概率为13/52=1/4。4.参考答案：√解析：相关系数r的绝对值表示两个变量线性关系的强度，|r|越接近1，线性关系越强；|r|越接近0，线性关系越弱。5.参考答案：√解析：样本容量越大，样本分布越接近总体分布，因此样本的代表性越好。6.参考答案：×解析：概率为0.3的两个事件不一定等可能，等可能事件是指每个事件发生的概率相同，而这里只给出了单个事件的概率。7.参考答案：√解析：在一个只有男生和女生的班级中，抽到男生和抽到女生的概率之和为1，已知抽到男生的概率为0.5，所以抽到女生的概率也为0.5。8.参考答案：√解析：期望E(X)是随机变量X所有可能取值的加权平均值，其中权重为各取值对应的概率。9.参考答案：√解析：在独立性检验中，卡方统计量的值越大，表示观察频数与期望频数之间的差异越大，因此两个分类变量之间的关联性越强。10.参考答案：×解析：概率为0的事件称为不可能事件，但不可能事件在某些情况下可能被描述为概率为0，例如在连续型随机变量中，某个特定值的概率为0，但该值仍可能发生。四、简答题1.参考答案：古典概型的两个基本特征是：①试验中所有可能出现的基本事件是有限个；②每个基本事件出现的可能性相等。解析：古典概型是概率论中最基本的一种概率模型，其特征在于试验结果的有限性和等可能性。这是判断一个概率问题是否属于古典概型的关键依据。特征①确保了样本空间是有限的，特征②则要求每个基本事件发生的概率都是相同的，即1/n（n为基本事件总数）。这两个特征直接决定了古典概型概率的计算方法，即P(A)=事件A包含的基本事件数/基本事件总数。如果这两个特征不满足，则不能直接应用古典概型的计算公式。2.参考答案：频率分布直方图和频率分布折线图的主要区别在于：①表示方式不同，直方图用矩形的面积表示频数，折线图用线段的连接表示频率变化；②视觉效果不同，直方图更直观地显示数据分布的密集程度，折线图更清晰地展示频率的增减趋势。解析：频率分布直方图和折线图都是描述数据分布特征的常用工具，但它们在表现形式和侧重点上存在差异。直方图通过将数据区间划分为若干个小区间，用矩形的面积表示每个区间内数据的频数或频率，适用于展示数据分布的整体形态和集中趋势。折线图则通过将各小区间的中点用线段依次连接，形成连续的折线，更强调频率随区间的变化趋势，适用于比较不同数据集的分布动态。两者的绘制基础都是样本的频率分布表，但呈现方式不同导致它们在数据分析和展示时有各自的优势。3.参考答案：三种常见的抽样方法及其适用场景：①简单随机抽样，适用于总体个数较少、个体差异较小的情况，如从全班同学中随机抽取调查样本；②系统抽样，适用于总体个数较多、个体排列有序的情况，如按固定间隔从生产线上抽取产品进行检测；③分层抽样，适用于总体内部差异较大、需要保证各层次代表性时，如按年级比例从全校学生中抽样调查。解析：抽样方法的选择取决于总体的特点和研究目的。简单随机抽样是最基本的方法，每个个体被抽中的概率相等，操作简单但要求总体分布均匀。系统抽样通过固定间隔抽取，可以保证样本在空间或时间上的分布均匀性，适用于连续生产或有序排列的总体。分层抽样通过将总体划分为若干层，再在各层内独立抽样，可以有效提高样本的代表性，特别适用于总体内部差异明显的复杂总体。选择合适的抽样方法可以确保样本对总体的代表性，从而提高统计推断的可靠性。4.参考答案：样本频率分布直方图中，矩形的高代表每个小区间内的频率密度。解析：频率分布直方图是描述数据分布的重要工具，其绘制方法是将数据区间划分为若干个小区间（即组距），然后用矩形的面积表示每个区间内数据的频数或频率。由于各小区间的宽度可能不同，为了使矩形的面积能准确表示频率，矩形的高必须用频率除以组距得到，即频率密度。因此，直方图中矩形的高反映了单位组距内的频率，即数据在该区间内的密集程度。通过观察矩形的高，可以直观地了解数据分布的集中趋势和离散程度，这是直方图分析数据分布的核心原理。5.参考答案：总体是指所要研究的对象的全体，个体是总体中的每一个基本单位，样本是从总体中抽取的一部分个体。它们之间的关系是：样本是总体的一个子集，通过对样本的研究可以推断总体的特征。解析：在统计学中，总体和样本是基本概念。总体是研究对象的完整集合，可能包含无限多个个体或有限个个体。个体是构成总体的最小单位，每个个体都具有某些可测量的特征。样本则是从总体中按照一定规则抽取的部分个体，是总体的代表。由于总体往往规模庞大或无法全部观测，通常通过样本的数据来估计总体的参数（如均值、方差等）。样本的代表性直接影响统计推断的准确性，因此抽样方法的选择和样本量的确定至关重要。6.参考答案：离散型随机变量的分布列必须满足两个条件：①每个概率值非负，即P(xi)≥0，对所有可能的取值xi；②所有概率值之和等于1，即∑P(xi)=1，对所有可能的取值xi。解析：离散型随机变量是指取值可以一一列举的随机变量，其概率分布用分布列表示。分布列由随机变量的所有可能取值xi及其对应的概率P(xi)组成。这两个条件是概率分布的基本要求。条件①保证了概率的合理性，概率值不能为负数，这是概率论的基本公理之一。条件②则体现了概率的完备性，即所有可能结果的概率之和必须覆盖整个样本空间，即概率的总和为1。只有同时满足这两个条件，才能称其为合法的离散型随机变量分布列，否则该分布列是错误的。7.参考答案：线性回归方程中，系数b的统计意义是当自变量x增加一个单位时，因变量y的均值（或期望值）平均增加b个单位。解析：线性回归方程通常表示为y=a+bx，其中a是截距，b是斜率。斜率b反映了自变量x和因变量y之间的线性关系强度和方向。具体来说，b的值表示当x每增加一个单位时，y的预测值将如何变化。如果b0，说明x和y正相关，即x增加时y也倾向于增加；如果b0，说明x和y负相关，即x增加时y倾向于减少；如果b=0，说明x和y之间没有线性关系。b的统计意义在于它提供了变量间关系的量化度量，是回归分析的核心参数之一。8.参考答案：在假设检验中，犯第一类错误的含义是原假设H0为真时，错误地拒绝了H0，其概率用α表示；犯第二类错误的含义是原假设H0为假时，错误地接受了H0，其概率用β表示。区别在于：第一类错误是“弃真”错误，即错误地否定了真实情况；第二类错误是“取伪”错误，即错误地肯定了虚假情况。解析：假设检验是统计推断的重要方法，用于判断关于总体的某个假设是否成立。在假设检验中，我们通常设定两个假设：原假设H0和备择假设H1。检验的决策结果有两种可能：接受H0或拒绝H0。但由于样本的随机性，这两种决策都可能犯错误。第一类错误（α错误）发生的前提是H0实际上为真，但我们却错误地拒绝了它，这相当于“冤枉好人”。第二类错误（β错误）发生的前提是H0实际上为假，但我们却错误地接受了它，这相当于“放跑坏人”。α和β是控制检验严格性的两个重要参数，通常需要在检验前确定，它们之间存在反向关系，即减小α往往会导致增大β，反之亦然。五、应用题1.参考答案：3/10解析：首先计算总的抽取方式，即从50名学生中抽取3名学生的组合数，用组合公式C(50,3)=19600。接着计算恰好有2名男生和1名女生的抽取方式，即从30名男生中抽取2名男生的组合数C(30,2)=435，再乘以从20名女生中抽取1名女生的组合数C(20,1)=20，得到8700。因此，抽到的3名学生中