2027届广东佛山顺德区高三一模数学试题含答案

高三数学1．答卷前，请务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上．用2B铅笔将试卷类型填涂在答题卡相应位置上，并在答题卡相应位置上填涂考生号.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，一项是符合题目要求的.1．已知复数的共轭复数是A．B．-iC．1+iD．1-i (x-1)=x}，则A∩B=4．已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，过F的直线l与C相交于A，B两点，若线段AB的中点到y轴的距离为3，则AB=A．4(x-1)(x-2)(x-3)(x-a)(x-b)的展开式中，含x4项的系数为-16，则a+b=6．已知函数f(x)=sin(ax+a)(a>0)在(-1,1)上单调，则实数a的取值范围是7．已知一个圆台的上、下底面半径分别为1和4，若该圆台内部存在一个与上下底面和侧面都相切的球，则该圆台的体积为(x,(x,)作圆O：x2+y2=1的切线l，则l的方程为 10．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，问塔的顶层有几盏灯．现将该塔各层的灯数按从上到下的顺序依次记为数列{an}(n=1,2,…,7)，则下列说法正确的是C．从数列{an}中任意取出不同的三项，这三项可能构成等差数列D．从该塔中随机抽取两层，使得这两层灯数之积大于1000的取法有9种11．已知点A，B分别为双曲线Γ：x2-y2=a2(a>0)的左右顶点，点P为Γ上异于A，B的动点，直线PA，PB与y轴的两个交点分别为C，D，下列结论正确的是A．双曲线Γ的离心率为2B．直线PA，PB的倾斜角互余C．以线段PD为直径的圆过Γ的顶点AD．CD的取值范围是(2a,+∞)14．如图所示，在六面体ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为4的正方形，侧棱AA1，BB1，，DD1均垂直于底面ABCD，且AA1=BB1=CC1=DD1=现需用一个平面将该六面体截成两部分，并重新拼接成一个新的三棱柱，则所拼成的新三棱柱中，最小的表面积为.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程1513分）已知△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c成等差数列，且sinB—sinA=sinC.（1）求角C的大小；（2）若-A.，求△ABC的周长.1615分）某医院为了了解甲、乙两种疗法对某种疾病的治疗效果，采用简单随机抽样的方法对治疗情况进行检查，得到如下数据：接受甲种疗法的病人共有70人，其中治愈了50人；接受乙种疗法的病人也是70人，其中治愈了60人.（1）请根据上述信息完成如下列联表；疗法疗效合计治愈未治愈甲乙合计（2）根据小概率值α=0.01的独立性检验，分析甲、乙两种治疗方案对疗效是否有影响；（3）按分层抽样的方法，在所有治愈的病人中抽出11人，再从这11人中随机抽出3人．设这3人中使用了甲种治疗方法的人数为X，求X的分布列以及数学期望.α0.050.010.005xα3.8416.6357.8791715分） 面ABCD．点F为CD的中点，点Q，T分别为线段PF，AB上的动点.（1）当点Q为PF的中点时，求证：平面QAB丄平面PCD；（2）求TQ的最小值；（3）当TQ取到最小值时，求平面CTQ与平面ABCD夹角的余弦值.1817分）（1）当a=0时，求函数f(x)的极值；（2）讨论函数f(x)的单调性；（3）讨论函数f(x)的零点个数.1917分）已知椭圆的上下顶点分别为A，B，右焦点的坐标为(1,0)．点P是椭圆C上位于第一象限或x正半轴上的动点，设直线PA，PB的斜率为k1，k2，且k1k2=-.（1）求椭圆C的方程；（2）过点P作圆x2+y2=b2的切线l交椭圆于点Q（点Q位于点P的下方）.(ⅱ)设直线QA的斜率为k3，请判断是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.高三数学答案题目要求的.选B.从而有2a≤,即a≤,又a>0，所以a∈(0,]，选A.【解析】记圆台的上下底面半径分别为r,R，高为h，母线为l，则l=r+R=5，所以x5.不妨设x4=a，22342323求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.【解析】当斜率不存在时，直线l:x=1与圆O相切；当斜率存在时，设l:y−即【解析】依题意，数列{an}是等比数列，首项为a1（顶层灯数公比q=2.则{an}的前7项和=381得：a1=3，选项A正确;数列{an}的通项公式为an=3.2n−1，假设存在三项ai,aj,ak(i<j<k)满足ai+ak=2aj,即3×2i−1+3×2k−1=2×3×2j−1，两边同除以3×2i−1得：1+2k−i=2j−i+1，由于i<j<k，所以k−i≥2,j−i≥1,即上式左边为奇数，右边为偶数，矛盾，所以不存在三项因为26=64,27=128，所以需满足m+n−2≥7，即m+n≥9，符合的组合有：(2,7),(3,6),(3,7),(4,5),(4,6),(4,7),(5,6),(5,7),(6,7)，所以选项D正确.【解析】对于选项A:Γ:x2−y2=a2可化为实半轴长为a，虚半轴长为a，半焦距为对于选项B:设直线PA,PB的倾斜角分别为θ1,θ2，点P(x0,y0)，则22x0−y0即直线PA,PB的斜率之积为1，当点P在一、三象限时;当点P在第二、四象限时，θ1,θ2均为钝角，选项B错误.[法1]如图，由上述分析知，直线PA,PD的斜率之积kPA⋅kPD=1，由题意得直线AD,PD的斜确.[法2]设点P(x0,y0)，直线PD的方程为：y−0=令又由于x−a2=y，所以kAD⋅kAP=−1，即PA丄AD，以线段PD为对于选项D:|CD|的取值范围是(2a,+∞)，选项D正确.[法2]同选项C法二，可知yC=所以从而可知|CD|的取值范围是(2a,+∞)，选项D正确.因为2a51=a1+a101,2b51=b2+b100，所以a51+b51==56.【解析】设切点的横坐标为t，则y'=t+=2，解得t=1，因此切点纵坐标为y=t+lnt=1，把(1,1)带入直线y=2x+m，解得m=−1【解析】经分析，只有以下几种分割方式符合题意，其中点E,F是其所在边中点.DCADACFFA1ADACCCBADCEAFEEDADDADDAFFFFD1D1B1BCBCBCFD1D1B1BCBCBC表面积最小，且最小值为88.又因为a，b，c成等差数列，从而可得a+c=2b，--------- 9分 甲乙根据小概率值α=0.01的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，因此我们认为H0成立，即认（3）根据分层抽样，在抽出的11人中，选择甲、乙两种治疗方案的人数分别为：5人，6人.由此可得X的分布列为X0123P 4 17.【解析】（1）证明：如图，设点E为AB中点，连接PE，EF.根据题意四边形ABCD为正方形，AB=2可得EF=2.又因为PA=PB=-5，所以PE=2.即可得ΔPEF为等腰三角形.当点Q为PF的中点时，可得EQ丄PF.------------------------------1分因为PA=PB，所以PE丄AB.结合正方形性质可得EF丄AB.又因为PE⊂平面PEF，EF⊂平面PEF，PE∩EF=E，又因为AB//CD，即可得CD丄EQ.（2）因为平面PAB丄平面ABCD，结合第（1）问的结论即可如图建系，以点E为原点，EB，EF，EP为x，y，z轴建立空间直角坐标系.---------------------------------------------------------------------------6分则可设点T(t,0,0)，Q(0,m,2−m).------------------------------------7分TQ2=t2+m2+(2−m)2=t2+2m2−4m+4=t2+2(m−1)2+2，（注：结合第（1）问，说明T为中点时，TQ是公垂线段，进而求出TQ=2，此法扣1分）（3）由第（2）问可知，当TQ取到最小值时，点T，Q分别为AB，PF的中点.此时点C(1,2,0)，T(0,0,0)，Q(0,1,1).设平面CTQ的一个法向量为m=(x,y,z)→根据题干信息易得平面ABCD的一个法向量为n=(0,0,1).---------------------------- = =66 从而可得平面CTQ与平面ABCD夹角的余弦值为.----------因此函数f(x)有极小值f(1)=−e.----------------------------------当a≤0时，f(x)在(−∞,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增；----------------------------------6分当a>0时，令f(x)=0，可得x=1或x=lna-----------------------------------------------------------7分当0<a<e时，f(x)在(−∞,lna)上单调递增，在(lna,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增；当a=e时，f(x)在R上单调递增；--------------------------------------------------------------------------9分当a>e时，f(x)在(−∞,1)上单调递增，在(1,lna)上单调递减，在(lna,+∞)上单调递增；（3）方法一（分类讨论注意到所以无论a为何值，f(x)至少有一当0<a<e时，f(x)的极大值为2<0，此时f仅有一个零点；当a=e时，此时f(x)仅有一个零点；2时，此时f(x)有三个零点；2时，此时f(x)有两个零点；综上即可得：当a∈[0,2e)时，f(x)仅有一个零点；2)u(e2,分先分后总，后面的综合结论（1分为何值，f(x)至少有一个零点2，且0不是零点.------------------------令f(x)=0可得a=.令g(x)=，求导可得g′从而可得g(x)在(−∞,0)上单调递减，在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调g(x)→+∞.-----------------------------------------------------当a∈[0,2e)时，f(x)仅有1个零点；----------------------------------15分当a∈(−∞,0)u{2e}u{e2}时，f(x)有两个零点；-+∞)时，f(x)有三个零点；----------------------17分（1）当点P为椭圆C的右端点时，点P的坐标为(a,0). 22（2）方法一i）设点P(x1,y1)，Q(x2,y2)，由题意可知y1>y2.设直线PQ的方程为y=kx+t，因为直线PQ与ΘO相切，k2k2+14t2124k2124k222x1−x2.2(x1+x2)2x1−x2. 43k1+k2248k2(1+k2)43k1+k2248k2(1+k2) 特别地，当直线