2026年江苏省南通市海门区中考数学二模试卷

关注公众号：多多小初资料库关注公众号：多多小初资料库2026年江苏省南通市海门区中考数学二模试卷一、单选题（每题3分，共10题，共30分）1.(3分)汉语是中华民族智慧的结晶，成语又是汉语中的精华，是中华文化的一大瑰宝，具有极强的表现力.下列成语描述的事件属于随机事件的是（）A.旭日东升B.画饼充饥C.守株待兔D.竹篮打水2.(3分)下列实数中，比-3小的数是（）A.-B.1C.0D.-π3.(3分)发展新能源汽车是我国从汽车大国迈向汽车强国的必由之路，以下四个新能源汽车标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A.B.C.D.4.(3分)某市决定改善城市容貌，绿化环境，计划经过两年时间，绿地面积增加44%，这两年平均每年绿地面积的增长率是（）A.20%B.11%C.22%D.44%5.(3分)船在航行过程中，通常通过测定角度来确定是否会遇到暗礁.如图，点A，B表示两个灯塔，暗礁分布在经过A，B两点的⊙O区域内，优弧AB上任一点C都是有触礁危险的临界点，∠ACB就是“危险角”已知∠AOB=110∘，要保证船D安全航行，则∠D的度数可能是（A.65B.60C.55D.506.(3分)如图，菱形OABC的顶点A在x轴正半轴上，反比例函数y=kx(x>0)的图象过点C和菱形对角线的交点M，若菱形的边长为3，则k的值为（A.2B.4C.4D.27.(3分)如图，在△ABC中，点D为△ABC的内心，∠A=60∘，CD=2，BD=4.则△DBC的面积是（A.4B.2C.2D.48.(3分)已知a为非负整数，关于x的方程2x-a1-x-a+4=0至少有一个整数根，则a可能取值的个数为（A.4B.3C.2D.19.(3分)如图，等边△ABC内切的图形来自我国古代的太极图，等边三角形内切圆中的黑色部分和白色部分关于等边△ABC的内心成中心对称，则圆中的黑色部分的面积与△ABC的面积之比是（）A.3B.3C.3D.310.(3分)如图，正方形ABCD的四个顶点分别在四条平行线l1、l2、l3、l4上，这四条平行线中相邻两条之间的距离依次为a、b、c.若32a+b=1，当aA.4B.3C.8D.1二、填空题（每题3分，共8题，共24分）11.(3分)分解因式：x2-2x+1-12.(3分)如图是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成两个扇形，同时转动两个转盘，转盘停止后，指针所指区域内的数字之和为0的概率是______.13.(3分)若6a=3b+12=2c，且b⩾0，c⩽9，设t=2a+b-c，则t的取值范围为.14.(3分)已知函数y=(k-1)x+2k-1与y=|x-1|，当满足0⩽x⩽3时，两个函数的图象存在2个公共点，则k满足的条件是15.(3分)如图，菱形ABCD边长为2，∠C=60∘.当点A在x轴上运动时，点D随之在y轴上运动，在运动过程中，点B到原点O的最大距离为16.(3分)如图，在平面直角坐标系中，已知点A(0,1)、B(0,1+t)、C(0,1-t)(其中t>0)，点P在以D(4,4)为圆心，1为半径的⊙D上运动，且始终满足∠BPC=90∘17.(3分)在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx-3a经过(-1,0)和(0,3)两点，直线y=x+1与抛物线交于A，B两点，P是直线AB上方的抛物线上一动点，当△ABP的面积最大值时，点P18.(3分)如图，在矩形ABCD中，已知AD=15，AB=8，P是AD边上任意一点，PE⊥BD，PF⊥AC，E，F分别是垂足，那么PE+PF=.三、解答题（共8题，共96分）19.(12分)计算：(1)35(2)&x+y(3)解不等式组：&2x-120.(12分)【项目背景】近年来，党和人民政府一直关心青少年的身心健康，在中小学配置专业心理老师，开设心理健康课，以提高青少年心理抗压和自我心理疏导能力.在开设心理健康课前后，某校对全校学生进行了两次心理健康知识测试，并随机抽取了50名学生，对他们的两次测试成绩进行对比分析，来检验心理健康课的开设效果.【数据收集与整理】收集这50名学生在心理健康课前和课后的测试成绩，并按照学生得分（满分100分，用x表示学生的分数）进行分组，分组如下：组别ABCDEx50⩽x<6060⩽x<7070⩽x<8080⩽x<9090⩽x⩽100整理1：学生在心理健康课后的部分测试成绩记录如下：…，79，80，81，82，83，84，85，85，85，85，85，89，89，89，89，89，89，90，…整理2：将心理健康课前测试成绩绘制成如图①的频数分布直方图，将心理健康课后测试成绩绘制成如图②的扇形统计图.整理3：这50名学生在心理健康课前测试成绩优良率（测试成绩大于或等于80分为优良）为20%.【数据处理和应用】任务1：心理健康课前测试成绩在C组的有______人，并补全频数分布直方图；任务2：心理健康课后这50名同学测试成绩的中位数是______,D组对应扇形的圆心角是______∘；任务3：已知心理健康课后的这50名同学的平均分为82.3分；心理健康课前测试成绩在A，B，C，D，E五组中的平均分分别为55，65，75，85，95；若心理健康课后的平均分比心理健康课前高出15%，就认为开设心理健康课的效果显著.请你通过计算说明该校开设的心理健康课是否达到“效果显著”？21.(12分)如图，BE是⊙O的直径，点A在EB的延长线上，弦PD⊥BE，垂足为C，连接OD，∠AOD=∠APC.(1)求证：AP是⊙O的切线.(2)若⊙O的半径是4，AP=43，求图中阴影部分的面积22.(12分)如图，一次函数y=kx+b(k，b为常数，k≠0)的图象与反比例函数y=mx(m为常数，m≠0)的图象交于点A(2,3)(1)求反比例函数和一次函数的解析式；(2)若点C是x轴正半轴上的一点，且∠BCA=90∘，求点C23.(12分)某景区对基础设施提档升级，计划购置一批A型和B型器材.购买1套A型器材比购买1套B型器材多50元：购买2套A型器材和3套B型器材共需1350元.(1)购买1套A型器材和1套B型器材各需多少元？(2)根据景区的实际情况，需购买A、B型器材的总数为50套，购买A、B型器材的总费用不超过14500元.①请问A型器材最多购买多少套？②从游客的实际需要出发，其中A型器材购买的数量不少于B型器材数量的3倍，该景区共有几种购买方案？试写出所有的购买方案.24.(12分)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx-4(a≠0)与x轴交于点A，B(2,0)两点，与y轴交于点C，点A在x轴的负半轴上，OA=OC，点(1)求抛物线的表达式；(2)点P是线段AD下方抛物线上的一个动点，过点P作PE∥BC交y轴于点E，过点P作PF∥y轴交AD于点F，点M，N为x轴上两个动点，点M在点N的左侧，MN=1，H(0，-218)，连接PN，MH，当PF+(3)将抛物线y=ax2+bx-4(a≠0)沿射线BC方向平移5个单位长度，得到新抛物线y1，过点A作AR⊥BC于点R，点Q是新抛物线y1上一点，当∠QAR=∠OCB时，请直接写出所有符合条件的点25.(12分)如图，已知射线AB与x轴和y轴分别交于点A(-3,0)和点B(0，33).动点P从点A出发，以1个单位长度/秒的速度沿x轴向右做匀速运动，过点P作PQ⊥AB于Q.设运动时间为t秒，且第一象限内有点(1)当n=3时，若PQ恰好经过点N，求t的值；(2)连接BP，记△BPQ面积为S△BPQ，△ABP面积为S①当S△BPQ⩽1②当S△BPQ=13S△ABP时，记Q26.(12分)【定义】在平面内，把一个图形上任意一点与另一个图形上任意一点之间的距离的最小值，称为这两个图形之间的距离，即A，B分别是图形M和图形N上任意一点，当AB的长最小时，称这个最小值为图形M与图形N之间的距离.例如，如图1，AB⊥l1，线段AB的长度称为点A与直线l1之间的距离，当l2∥l1时，线段AB的长度也是【应用】(1)如图2，在等腰Rt△BAC中，∠A=90∘，AB=AC，点D为AB边上一点，过点D作DE∥BC交AC于点E.若AB=6，AD=4，则DE与BC之间的距离是(2)如图3，已知直线l3：y=-x+4与双曲线C1：y=kx(x>0)交于A(1,m)与B两点，点A与点B之间的距离是______，点【拓展】(3)按规定，住宅小区的外延到高速路的距离不超过80m时，需要在高速路旁修建与高速路相同走向的隔音屏障（如图4).有一条“东南-西北”走向的笔直高速路，路旁某住宅小区建筑外延呈双曲线的形状，它们之间的距离小于80m.现以高速路上某一合适位置为坐标原点，建立如图5所示的直角坐标系，此时高速路所在直线l4的函数表达式为y=-x，小区外延所在双曲线C2的函数表达式为关注公众号：多多小初资料库关注公众号：多多小初资料库2026年江苏省南通市海门区中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、单选题（每题3分，共10题，共30分）1、【答案】C【知识点】随机事件2、【答案】D【知识点】实数大小比较,算术平方根3、【答案】B【知识点】轴对称图形,中心对称图形4、【答案】A【知识点】一元二次方程的应用-增长率问题5、【答案】D【知识点】圆周角定理6、【答案】D【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征,菱形的性质7、【答案】B【知识点】三角形的内切圆与内心8、【答案】B【知识点】无理方程9、【答案】A【知识点】三角形的内切圆与内心,等边三角形的性质,扇形面积的计算,中心对称10、【答案】A【知识点】全等三角形的判定与性质,正方形的性质二、填空题（每题3分，共8题，共24分）11、【答案】(x-1+y)【知识点】因式分解-运用公式法,因式分解-分组分解法12、【解答】解：画树状图如下：共有8种等可能的结果，其中指针所指区域内的数字之和为0的结果有3种，∴指针所指区域内的数字之和为0的概率为38故答案为：38【知识点】列表法与树状图法13、【答案】-2⩽t⩽-1【知识点】不等式的性质14、【解答】解：整理函数y=(k-1)x+2k-1得y=k当x=-2时，y=1，因此该一次函数恒过定点(-2,1)，当0⩽x⩽3时，y=|x-1|可分段写为：y={其图象为折线，端点坐标为(0,1)，(1,0)，(3,2)，当一次函数过点(1,0)时，将点代入解析式得：0=(k-1)×1+2k-1解得k=23，此时两个函数仅有当k=1时，一次函数解析式为y=1，根据函数图象可知，此时两个函数有2个公共点，当23<k⩽1时，两个函数有因此k满足的条件是23故答案为：23【知识点】一次函数图象与系数的关系15、【解答】解：取AD的中点E，连接OE、BE，OB，BD，∵OB⩽OE+BE，∴当O、E、B三点共线时OB取得最大值，∵四边形ABCD是菱形，∴AD=AB=2，∵∠C=60∴∠BAD=60∴△ABD为等边三角形，∴OE=AE=1，BE⊥AD，∴BE=2∴点B到原点O的最大距离为1+3故答案为：1+3【知识点】坐标与图形性质,菱形的性质16、【答案】4⩽t⩽6【知识点】点的坐标17、【答案】1【知识点】一次函数的性质,一次函数图象上点的坐标特征,二次函数图象上点的坐标特征,二次函数的最值18、【答案】120【知识点】矩形的性质三、解答题（共8题，共96分）19、【解答】解：(1)原式=3=3=43(2)将原方程组化简整理得：&5x+y=36①①+②×5得：46y=46，解得：y=1，代入②中，解得：x=7，∴方程组的解为&x=7(3)&2x-1解不等式①得：x⩾-1，解不等式②得：x<2，∴不等式组的解集为-1⩽x<2.【知识点】解二元一次方程组,解一元一次不等式组20、【解答】解：任务1：由题意可得：∴50×20%=10人，∴D组的人数为10-4=6人，则C组的人数为：50-10-18-10=12人，补全频数分布直方图如图，故答案为：12.任务2：根据图②可得心理健康课后这50名同学测试成绩的中位数在D组，其中E组占比为20%，共有50×20%=10人根据整理1：学生在心理健康课后的部分测试成绩记录如下：…，79，80，81，82，83，84，85，85，85，85，85，89，89，89，89，89，89，90，…∴D组80⩽x<90的人数为16人∴从大到小排列，第25，26个数据分别为81，80∴心理健康课后这50名同学测试成绩的中位数是80+81D组对应扇形的圆心角是16故答案为：80.5，115.2∘任务3：依题意，55×1082.3-70.2∴达到“效果显著”.【知识点】频数（率）分布表,频数（率）分布直方图,扇形统计图,中位数21、【解答】(1)证明：连接OP，如图，∵OD=OP，∴∠OPD=∠ODP，∵∠APC=∠AOD，∴∠OPD+∠APC=∠ODP+∠AOD，又∵PD⊥BE，∴∠ODP+∠AOD=90∴∠OPD+∠APC=90即∠APO=90∴OP⊥AP，∴AP是⊙O的切线；(2)解：在Rt△APO中，∵AP=43，PO=4∴AO=AP2∴∠A=30∴∠POA=60∴∠OPC=又∵PD⊥BE，∴PC=CD，∴∠POD=120∘，在Rt△OPC中，∵OC=2，OP=4，∴PC=O∴PD=2PC=43∴==16【知识点】切线的判定,扇形面积的计算22、【解答】解：（1）将点A、B的坐标代入反比例函数表达式得：m=2×3=-2a，解得：a=-3，m=6，即反比例函数的表达式为：y=6x，点将点A、B的坐标代入一次函数表达式得：&3=2k+b&-2=-3k+b则一次函数的表达式为：y=x+1；(2)设点C(x,0)由点A、B、C的坐标得，AB2=50，A∵∠BCA=90则AB即50=(x-2)解得：x=3或-4(舍去即点C(3,0)【知识点】点的坐标23、【解答】(1)解：设购买1套A型器材和1套B型器材各需x，y元，由题意可得：&x-y=50&2x+3y=1350答：购买1套A型器材和1套B型器材各需300、250元；(2)①设购买A型器材a套，则购买B型器材为(50-a)套，由题意可得：300a+250×(50-a)⩽14500解得a⩽40，答：A型器材最多购买40套；②设购买A型器材a套，则购买B型器材为(50-a)套，由①可得：a⩽40，根据题意可得：a⩾3(50-a)，解得a⩾∴75又∵a为正整数，∴a的取值为38，39，40，即有三种购买方案，具体为：A型器材为38套，B型器材12套，A型器材为39套，B型器材11套，A型器材为40套，B型器材10套.【知识点】二元一次方程组的应用-方案问题24、【解答】解：(1)抛物线y=ax2+bx-4(a≠0)与x轴交于点A，B(2,0)两点，与y轴交于点C，点当x=0时，得：y=-4，∴C(0,-4)∴OC=4，∵OA=OC，A在x轴负半轴，∴A(-4,0)将点A、点B的坐标分别代入得：&16a-4b-4=0解得：&a=∴抛物线的表达式为y=1(2)∵抛物线表达式为y=1∴顶点D(-1，设直线AD解析式为y=kx+b'，将点A，点D&-解得：&k=-∴直线AD解析式为y=-3设直线BC解析式为y=k'x-4，将点0=2k'解得：k'∴直线BC解析式为y=2x-4，∵PE∥BC，BC=2∴∠PEC=∠BCO，∴sin∴|x设P(m，12∴PF=y∴PF+5这是开口向下的二次函数，故当m=-72时，将m=-72代入得：∴P点坐标为(-7∵MN=1，将P向左移1个单位得P'则PP'=MN=1，∴四边形PP'∴P'作点H(0，-218)则PN=P'M，∴PN+MH=P'当点P'，M，H'共线时，PN+MH最小，最小值为∵P'∴PN+MH的最小值为1452(3)点Q的横坐标为13-2或-10+85∵BC=22+42∴抛物线y=12x2+x-4=12(x+1)2-9新抛物线解析式为：y1①当点Q位于直线AR上方时，∵AR⊥BC，∴∠ARC=90∵∠1=∠2，∠AOK=∠ARC=90∴∠OAK=∠KCR，即∠QAR=∠OCB，点Q是y1与x在y1当y1=0时，得：解得：x=-13-2(不合题意，舍去∴点Q的横坐标为13-2②当点Q位于直线AR下方时，如图2，∠LAK=∠OAK，∵∠OAK=∠KCR，∴tan∵A(-4,0)∴AO=4，∴OK=2，过点K作KG⊥AL，则KG=OK=2，设KL=x，GL=y，则x2∵tan∴42+x=∴(2y-2)解得：y=83或∴x=8∴OL=10∴L(0，设直线AL的解析式为y=k″x-1630=-4k″-解得：k″=-∴直线AL的解析式为y=-4联立得：-4整理得：3x解得：x=-10+853或x=∴点Q的横坐标为-10+85综上所述，点Q的横坐标为13-2或-10+【知识点】点的坐标25、【解答】解：（1）如图由点A(-3,0)和点B(0，3在Rt△PNH中，∠BAO=60当n=3时，点N(3,1)在Rt△PNH中，∠NPH=30∘，NH=1，又OH=xN=3∴AP=6+3即t=6+3(2)①当S△BPQ=1需要考虑两种可能：当点Q在点B下方时，点Q为线段AB的中点，此时容易出求AP=2AQ=6，即t=6，当点Q在点B上方时，AQ=9，此时容易出求AP=2