2026届高二数学试题解析版

2026届高二数学试题解析版一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。已知空间中两点A(1,2,−1)，B(2,1,2)，则向量AB在向量n=(2,1解析：首先计算向量AB=B−A=(1,−1,3)，根据投影向量模的计算公式，向量a在向量b方向上的投影模为|a⋅b||b|。代入计算得AB⋅n答案：B解析：根据等差数列下标和性质，a3+a7=2a5=10，因此a5=5；由前n项和的中项公式，S7=7a4=21，因此a答案：B解析：将圆的一般方程配方为标准式：(x−1)2+(y+2)2=m+5，可得圆心坐标为(1,−2)，半径r=m+5（要求m+5>0）。根据圆的弦长几何计算法，圆心到直线的距离d、半弦长、半径构成直角三角形，计算得d=|1−2解析：首先确定切点坐标，f(1)=1−2+1=0，即切点为(1,0A.140种B.84种C.35种D.30种答案：D解析：采用间接法计算，总选法为从7人中选3人，共C73=35种；减去全是男生的选法C33=1种、全是女生的选法C43=4种，因此符合要求的选法共35−1−4=30种。若采用直接法，可按性别比例分为1男2女、2男1女两类，C31C42+C32C41=18+12=30，结果一致。当限制条件为“同时包含两类元素”时，间接法计算量小于直接法，需注意避免重复计数或漏算类别。

6.已知椭圆解析：根据椭圆定义，椭圆上任意点到两焦点距离之和为2a，因此AF1+AF2=2a，BF1+BF2=2a。△AF1B的周长为AB+AF1+BF1=AF2+BF2+AF1解析：二项分布的期望与方差公式为E(X)=np，D(X)=np(1−p)，代入已知条件得np=3，np(1−p)=2，将np=3代入第二个式子得3(1−p)解析：以底面正方形中心为原点，为轴建立空间直角坐标系。底面正方形边长为2，对角线长，因此，棱锥高，各点坐标为，，，。由为中点得，因此向量，。异面直线所成角范围为，因此余弦值为两向量夹角余弦的绝对值，即。本题需注意建系的对称性，减少坐标计算误差，且必须对夹角余弦取绝对值，否则会得到错误的负角度余弦值。

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分。

9.关于函数，下列说法正确的是（）

A.的定义域为

B.在上单调递增

C.的单调递减区间是和

D.的值域为

答案：ABCDOOSz22OA=2OS=SA2−OA2=2A(2,0解析：对选项逐一验证：A选项，函数含分式1x，因此定义域为x≠0，表述正确；B选项，求导得f′(x)=1−1x2，当x>1时x2>1，f′(x)>0，函数单调递增，表述正确；C选项，令f′(x)<0，解得−1<x<0或0<x<1，由于x=0为间断点，两个递减区间不能合并，表述正确；D选项，当x>0时，由基本不等式x+1x解析：圆C圆心为(2,1)，半径r=1，逐一分析选项：A选项，设x+y=t，直线x+y−t=0与圆有交点时满足圆心到直线距离不超过半径，即|3−t|2≤1，解得3−2≤t≤3+2，因此x+y最大值为3+2，正确；B选项，圆心到直线3x−4y+8=0的距离为|6−4+8|5=2，因此圆上点到直线的最小距离为d−r=2−1=1，正确；C选项，yx表示圆上点与原点连线的斜率k，即直线kx−y=0与圆有交点，满足|解析：逐一分析选项：A选项，若a1<0、q>1，数列所有项为负且绝对值递增，整体单调递减，如a1=−1,q=2时数列是−1,−2,−4,…，错误；B选项，若a1<0、0<q<1，数列所有项为负且绝对值递减，整体单调递增，如a1=−1,q=1/2时数列是−1,−1/2,−1/4,…，错误；C选项，当q=1时，Sn=na1，代入得Sn解析：以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，各点坐标为，设，逐一分析选项：A选项，向量，，点积为，不垂直，错误；B选项，平面为的坐标平面，点到平面的距离恒为2，面积为，因此三棱锥体积为，为定值，正确；C选项，平面的法向量为，线面角满足，其最大值为，因此存在满足条件的点，正确；D选项，为中点时坐标为，平面的方程为，由点到平面距离公式得，正确。本题考查正方体中的动态立体几何问题，建系法是解决动点问题的高效方法，需注意线面角、面面垂直的向量判定规则。

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.6名同学排成一排照相，其中甲、乙两人必须相邻的排法共有____种（用数字作答）。AAB,AD,AA1x,y,zA(0,0,0),B答案：240解析：相邻问题采用捆绑法，将甲、乙视为一个整体，与其余4人共5个元素全排列，排列数为A55=120；甲、乙内部有A22=2种排序，因此总排法为120×2=240种。需注意捆绑后不要遗漏内部元素的排列顺序。

14.已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±3x，且与椭圆x28+y24=解析：函数定义域为x>0，求导得f′(x)=1x−1=1−xx，令f′(x)=0得x=1。当0<x解析：正态分布密度曲线关于对称轴对称，因此，由对称性得；又，因此。正态分布概率计算核心是利用对称性，需准确找到对称轴与对称区间。

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（10分）已知等差数列满足，，其前项和为。

（1）求数列的通项公式；

（2）若，求数列的前项和。

解析：x=μ=2P(X≥4)=1−P（1）设等差数列首项为a1，公差为d，根据题意列方程组：

解得a1=1，d=2，因此通项公式为an=1+2

（4分）评分说明：设出首项公差得2分，列对方程组得2分，正确求出通项得2分；正确化简bn得2分，利用裂项相消求和得2分。

18.（12分）在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⟂平面ABCD，PA=AD=2，A（1）证明：连接BD交AC于点O，因为ABCD是矩形，所以O为BD中点。又E为PD中点，因此在△PBD中，EO为中位线，故EO∥PB。因为EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，由线面平行判定定理得PB∥平面AEC。（5分）

（2）以A为原点，A

即两个平面垂直，夹角余弦值为0。（7分）评分说明：辅助线作法正确得2分，线面平行证明逻辑完整得3分；建系正确得2分，法向量计算正确得3分，二面角计算正确得2分。19.（12分）某学校为了解高二学生数学学习情况，随机抽取100名学生的某次数学考试成绩（满分150分，成绩为整数），将数据按[50,70),[70,90),[90,110),[110,130),[130,150]（1）由频率总和为1，得[50,70)与[70,90)的频率和为1−0.4−0.25−0.1=0.25。设[50,70)组频率为x，则[70,90)组频率为4x，解得x=0.05，4x=0.2。组距为20，因此两组小矩形的高分别为0.0520=0.0025，0.220

即80%分位数为122。（4分）

20.（12分）已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F，点M(2,m)在抛物线上，且|MF|=3（1）抛物线准线方程为x=−p2，由抛物线定义，|MF|=2+p2=3，解得p=2，因此抛物线标准方程为y2=4x，焦点F(1,0)。（4分）

（2）设直线l的方程为x=ty+1，联立抛物线方程得y2−4ty−4=0。设A(x1,y1)（1）当a=1时，f(x)=xlnx−x2+x，f(1)=0；求导得f′(x)=lnx+1−2x+1=lnx