非线性系统控制理论-第3课 状态空间模型

CHAPTER02·第三讲SECOND-ORDERBEHAVIOR&LIMITCYCLES非线性系统控制理论第2章状态空间模型课程非线性系统控制理论32学时·共16次课·每次2学时本讲内容二阶系统行为与极限环§2.3–§2.4第3次课·共16次本次课主要内容从"数学描述"走向"行为分析"·2个学时2.3相平面：二阶系统的"地图"

2.3奇异点按线性化矩阵特征值把平衡点分为节点、鞍点、焦点、中心；类型决定轨线如何汇聚或发散。2.4极限环与范德波尔方程非线性系统独有的稳定周期振荡；振幅与初值无关，范德波尔方程是典型范例。2.4庞加莱-班迪克森定理与混沌判定二阶系统极限环存在性；洛伦兹吸引子展示高阶系统的伪随机奇异行为。第2章|本次课主要内容Contents第3次课·共16次课02/20上节回顾

与

本次课定位建模完成之后，如何"看懂"系统的行为？REVIEW第3次课·回顾

利普希茨条件保证解存在唯一，是后续分析的前提

近似线性化=一阶泰勒展开+Jacobian矩阵，仅局部有效自治系统不含输入，轨线集合构成完整几何表示→本次课定位建立了模型，接下来要回答：这个系统到底会怎么动？本讲用相平面法分析二阶系统的定性行为，

并对极限环、混沌等非线性系统独有的现象建立直觉。与第1、2次课的衔接第1次课认识非线性现象：饱和、死区、多重平衡点、极限环、混沌第2次课建立数学模型：状态空间方程、平衡点、近似线性化本次课看清动态行为：奇点分类、相轨迹、极限环、混沌下次课定量预测振荡：描述函数法（第3章）第2章|上节回顾与本次课定位Review&Positioning第2章§2.3–§2.4·回顾与衔接03/2032学时教学路线全景16次课·三阶段递进·当前进度：第3次课第一阶段8学时/4次分析工具（当前所在）第1章

导论→第2章

状态空间模型→第3章

描述函数法第二阶段6学时/3次稳定性理论（核心）第4章Lyapunov方法·4.1–4.5节·课程最核心章节第三阶段14学时/7次综合设计方法第6章

反馈线性化→第7章MRAC自适应→第9章

反步法（重点）机动2学时/1次选学/习题课第8章

非线性观测器专题·综合复习·课堂报告非线性系统控制理论|课程路线32-ClassHourRoadmap16次课时间线蓝色=分析·藏蓝=稳定性·黄色=综合设计本讲定位：第2章安排2次课，第2次课完成§2.1–§2.2建模与线性化，本讲完成§2.3–§2.4二阶系统行为与极限环。第2章§2.3–§2.4·状态空间模型04/20CHAPTER02CHAPTERTWO非线性系统控制理论二阶系统行为与极限环本节从几何视角研究二阶非线性系统的定性行为，并认识非线性系统特有的周期振荡与混沌现象。2.3相平面分析、平衡点附近线性化与奇点六分类2.3相轨迹绘制：斜率场与等倾线；两个完整例题2.4极限环的定义、稳定性与范德波尔方程2.4庞加莱-班迪克森定理、极限集与洛伦兹吸引子相平面：二阶系统的"地图"用一个二维平面，装下系统所有的可能运动相平面上的轨线族一般二阶系统式(2-18)/(2-19)三个要点状态即坐标

轨线=解曲线一条轨线对应一个初值的一条完整解；轨线族构成相轨迹图。物理意义直观

2.3二阶非线性系统的行为|相平面ThePhasePlane第2章§2.3·式(2-18)/(2-19)06/20分类依据：线性化矩阵的特征值平衡点附近的行为，由Aₑ的特征值λ₁、λ₂

决定平衡点附近的线性化系统式(2-20)Jacobian矩阵式(2-21)

实特征值

复特征值

符号决定稳定特征值实部均为负→收敛（稳定）；存在正实部→发散（不稳定）。2.3二阶非线性系统的行为|分类依据Linearization&Eigenvalues第2章§2.3·式(2-20)/(2-21)07/20六类奇点总览按特征值λ₁、λ₂

在复平面上的分布分类奇点类型特征值条件相轨迹行为稳定节点Stablenode

所有轨线沿特征向量方向直接汇入平衡点不稳定节点Unstablenode

除平衡点外，所有轨线都向外发散鞍点Saddlepoint

只有两条轨线收敛到平衡点，其余均发散稳定焦点Stablefocus

所有轨线呈螺旋状收敛到平衡点不稳定焦点Unstablefocus

除平衡点外，所有轨线呈螺旋状发散中心Center

所有轨线都是围绕平衡点的闭轨线提示：特征值实部全负→稳定；存在正实部→不稳定；实部为零（纯虚根）→

中心，此时线性化不能判定非线性系统的稳定性。2.3二阶非线性系统的行为|奇点分类SixTypesofSingularPoints第2章§2.3·奇点分类08/20节点：汇聚与发散两个实特征值同号——轨线直接"扎入"或"放射"而出

稳定节点Stablenode

不稳定节点Unstablenode几何直觉：节点附近"没有旋涡"——轨线沿特征向量方向进出，是"直来直去"的汇聚或发散。2.3二阶非线性系统的行为|节点Stable/UnstableNode第2章§2.3·节点09/20鞍点

与

焦点一正一负实根→鞍点；共轭复根→螺旋状焦点

鞍点Saddlepointμ<0稳定焦点μ>0不稳定焦点2.3二阶非线性系统的行为|鞍点与焦点SaddlePoint&Focus第2章§2.3·鞍点与焦点10/20中心

与

相轨迹的绘制纯虚根给出闭轨；斜率和等倾线给出画法

中心Center轨线斜率式(2-22)

等倾线（Isocline）

先画出等倾线网，再沿各点方向"顺藤摸瓜"，即可绘出概略相轨迹图。现代实践中，多用软件（如MATLAB）精确绘制；等倾线法帮助我们建立定性直觉。2.3二阶非线性系统的行为|中心与绘制方法Center·Isoclines第2章§2.3·中心/式(2-22)11/20例2.1：一个系统，两个平衡点同一系统可以同时拥有稳定焦点与鞍点相轨迹示意图（图2-7）系统方程

在(0,0)处稳定焦点特征值为共轭复根、实部为负，故为稳定焦点。在(2,0)处鞍点

2.3例题|例2.1两个平衡点Example2.1第2章§2.3·式(2-23)/(2-24)/(2-25)12/20例2.2：同步电机的振动方程中心

与

鞍点交替出现——典型的"单摆"型相图相轨迹示意图（图2-8）振动方程与状态方程式(2-26)

平衡点式(2-27)

在(π/6,0)中心在(5π/6,0)鞍点

2.3例题|例2.2同步电机振动Example2.2第2章§2.3·式(2-26)~(2-29)13/20

从闭轨

到

极限环闭轨≠极限环：关键差别在于"是否吸引"线性简谐振动：一族闭轨，但互不吸引线性系统的周期解式(2-30)周期解是包围原点的圆形轨迹，半径由初值决定；

圆轨不具备鲁棒性，微小扰动即改变形状。定义2.4极限环

要点：极限环是"孤立"且"有吸引性"的闭轨——它把邻域的轨线拉向自己，或推离自己。2.4极限环和奇异吸引子|从闭轨到极限环ClosedOrbits&LimitCycles第2章§2.4·式(2-30)/定义2.414/20稳定极限环

与

不稳定极限环看"邻居"是被吸引，还是被排斥稳定极限环极限环附近的轨线渐近收敛到极限环上。

此时系统解呈现持续的等幅振荡，

并且振荡幅度与初值无关。不稳定极限环极限环附近的其它轨线都发散，

或收敛到其它平衡点、其它极限环。为什么重要？稳定极限环是"工程上可复现"的自持振荡：无论怎样起振，最终振荡幅度都一样。线性系统没有极限环——周期解只在简谐振动中出现，且可由初值连续调节。因此，"出现稳定极限环"是非线性系统独有的典型现象。稳定极限环：内外轨线都收敛到它不稳定极限环：内外轨线都远离它2.4极限环和奇异吸引子|极限环的稳定性StabilityofLimitCycles第2章§2.4·定义2.415/20例2.3：范德波尔方程负阻RLC电路的数学模型——极限环的经典范例ε=1：轨线收敛到极限环（图2-9）ε=10：张弛振荡，轨线紧贴x₂=f(x₁)（图2-10）范德波尔方程式(2-31)ε为正值常数；可视为"负电阻"RLC电路模型状态方程（x₁=y，x₂=ẏ）ε=0时退化为线性简谐振动另一种状态选择（Liénard变换）式(2-32)/(2-33)结论：原点是唯一平衡点且不稳定（不稳定节点或焦点，取决于ε）。

当ε较大时x₂≈f(x₁)，轨线沿该曲线运动后近似水平跳向另一侧，故ε越大振荡越接近"张弛振荡"。2.4例题|例2.3范德波尔方程Example2.3·VanderPol第2章§2.4·式(2-31)~(2-34)16/20庞加莱-班迪克森定理判定二阶系统极限环是否存在的有力工具解轨迹被"困"在有界区域内定理2.1庞加莱-班迪克森定理若二阶非线性系统的一个解轨迹完全处于一个有限区域内，

则下面情况至少一项成立：1该轨迹最终收敛于一个平衡点；2该轨迹最终收敛于一个渐近稳定的极限环；3该轨迹本身是一个极限环。极限集：刻画解的渐近行为定义2.5正极限点

定义2.6正极限集（ω-极限集）包含解轨迹所有正极限点的集合。类似可定义负极限集（α-极限集）。稳定的极限环是一个正极限集，稳定的平衡点也是正极限集。2.4极限环和奇异吸引子|存在性判据Poincaré–BendixsonTheorem第2章§2.4·定理2.1/定义2.5/2.617/20例2.4洛伦兹吸引子与混沌奇异极限集：轨线始终有界，却互不吸引、永不复现相轨迹在(x₁,x₃)平面上的投影（图2-13）洛伦兹方程的状态空间模型

三个平衡点，全都不稳定(0,0,0)、(√(bλ),√(bλ),λ)与(−√(bλ),−√(bλ),λ)。

原点的线性化矩阵式(2-35)必有一个正特征值。当σ>b+1且λ>(σ+1)(σ+b+1)/(σ−b−1)时，另外两个平衡点也不稳定。为什么叫"奇异"吸引子轨线满足有界性条件

式(2-36)，

却既不发散也不周期：这就是奇异极限集。混沌是一种伪随机解，

对初值极端敏感——这是第4章李雅普诺夫稳定性方法要面对的新问题。2.4极限环和奇异吸引子|混沌与奇异吸引子LorenzAttractor第2章§2.4·例2.4式(2-35)/(2-36)18/20本次课关键收获5个核心要点·从"相平面几何"到"混沌"的完整链条01相平面把"行为"变成几何图形二阶自治系统的解在(x₁,x₂)平面上画出的曲线即相轨迹；轨线上的箭头给出时间前进方向，奇点处斜率不定。02奇点类型由特征值唯一决定同号实根→节点，异号实根→鞍点，共轭复根→焦点，纯虚根→中心；只需在奇异点处做线性化再算λ₁、λ₂。03相轨迹可借斜率与等倾线手工绘制dx₂/dx₁=f₂/f₁给出轨线各处斜率；令其为常数即得等倾线，等倾线上所有点的轨线方向相同。04极限环是非线性系统独有的持续振荡它是孤立的闭轨：相邻轨线渐近收敛（稳定）或远离（不稳定）。稳定极限环的振荡幅度与初值无关，范德波尔方程是典范。05有界而不周期：混沌与奇异吸引子庞加莱-班迪克森定理